一般化された関数

数学において、一般化関数とは、実数または複素数上の関数の概念を拡張した対象である。例えば、分布理論など、複数の理論が認められている。一般化関数は、不連続関数を滑らかな関数のように扱う場合や、点電荷などの離散的な物理現象を記述する場合に特に有用である。物理学や工学を中心に幅広く応用されている。偏微分方程式や群表現の理論における技術的な要件が、その重要な動機となっている。

これらのアプローチに共通する特徴の一つは、日常的な数値関数の演算子的な側面に基づいている点である。初期の歴史は演算に関するいくつかの考え方と関連しており、現代の発展の中には佐藤幹雄の代数解析と密接に関係しているものもある。

19世紀の数学では、例えばグリーン関数の定義、ラプラス変換、リーマンの三角級数理論などに、一般化関数論の様々な側面が現れた。ただし、これらの三角級数は必ずしも可積分関数のフーリエ級数ではなかった。これらは当時、数学解析における互いに関連性のない側面であった。

工学分野におけるラプラス変換の集中的な利用は、演算計算と呼ばれる記号的手法のヒューリスティックな利用につながった。発散級数を用いた正当化がなされたため、これらの手法は純粋数学の観点からは疑問視された。これらは、後に一般化関数法が応用される典型的な例である。演算計算に関する影響力のある書籍としては、オリバー・ヘヴィサイドの1899年の著書『電磁気理論』が挙げられる。

ルベーグ積分が導入されたとき、数学の中心となる一般化関数の概念が初めて登場しました。ルベーグの理論では、積分可能な関数は、ほとんど至るところで同じ値をとる他の関数と等価です。つまり、各点における値は（ある意味で）その関数の最も重要な特徴ではありません。関数解析では、積分可能な関数の本質的な特徴、すなわち他の関数に対する線形汎関数を定義する方法が明確に定式化されています。これにより、弱微分を定義することができます。

1920年代後半から1930年代にかけて、さらに基本的なステップが踏まれました。ポール・ディラックは、ディラックのデルタ関数を大胆に定義しました（これは彼の科学的形式主義の一側面です）。これは、密度（電荷密度など）として考えられていた測度を真の関数として扱うためでした。偏微分方程式理論に取り組んでいたセルゲイ・ソボレフは、偏微分方程式の弱解（つまり、一般化された関数ではあるが、通常の関数ではない解）を定義するために、一般化関数の最初の厳密な理論を定義しました。 ^{[ 1 ]}当時、関連する理論を提案していたのは、サロモン・ボフナーとクルト・フリードリヒスでした。ソボレフの研究は、ローラン・シュワルツによって拡張されました。^{[ 2 ]}

最も決定的な発展は、ローラン・シュワルツによって開発された分布理論であり、位相ベクトル空間の双対性の原理を体系的に解明した。応用数学におけるその主なライバルは、滑らかな近似の列を用いるモルファイア理論である（「ジェームズ・ライトヒル」の説明）。^{[ 3 ]}

この理論は非常に成功し、現在でも広く用いられているが、分布は通常乗算できないという大きな欠点がある。つまり、ほとんどの古典的な関数空間とは異なり、分布は代数を形成しない。例えば、ディラックのデルタ関数を二乗しても意味がない。1954年頃のシュワルツの研究は、これが本質的な難しさであることを示した。

乗算問題に対するいくつかの解決策が提案されている。その一つは、Yu. V. Egorov ^{[ 4 ]}による単純な定義に基づいている（下記の書籍リストにある Demidov の書籍に掲載されている彼の記事も参照）。この定義は、一般化された関数に対する任意の演算、および一般化された関数間の演算を可能にする。

乗算を可能にする別の解決策は、量子力学の経路積分定式化によって提案されている。これは、座標変換の下で不変である量子力学のシュレーディンガー理論と等価である必要があるため、この性質は経路積分にも共有されなければならない。これにより、 H. クライナートと A. チェルヴィヤコフによって示されたように、一般化された関数のすべての積が固定される。 ^{[ 5 ]}結果は、次元正則化から導出できるものと等価である 。^{[ 6 ]}

一般化関数の代数の構成法はいくつか提案されており、中でもYu. M. Shirokov ^{[ 7 ]}によるものや、E. Rosinger、Y. Egorov、R. Robinson によるものがある。前者の場合、乗算は一般化関数の何らかの正則化によって決定される。後者の場合、代数は分布の乗算 として構成される。両方のケースについて以下で説明する。

これらには、整域である畳み込み代数の分数体に基づいたヤン・ミクシンスキーの畳み込み商理論、および（当初は）解析関数の境界値に基づいていたが、現在は層理論を利用しているハイパー関数理論が含まれる。

ブルハットは、典型的な関数領域である多様体を超えた局所コンパクト群のクラス上に、シュワルツ・ブルハット関数と呼ばれるテスト関数のクラスを導入した。その応用は主に数論、特にアデール代数群に関するものである。アンドレ・ワイルはこの言語でテイトの論文を書き直し、イデール群上のゼータ分布を特徴づけ、さらにL関数の明示的な公式にも応用した。

理論が拡張されたもう一つの方法は、滑らかなベクトル束の一般化された切断として扱うことである。これはシュワルツのパターンに基づいており、テスト対象に双対な対象、すなわちコンパクトな台を持つ束の滑らかな切断を構成する。最も発展した理論は、微分形式に双対なド・ラーム電流の理論である。これらは、微分形式がド・ラームコホモロジーを生み出すのと同様に、本質的にホモロジー的である。これらを用いて、非常に一般的なストークスの定理を定式化することができる。

• 別保＝レヴィ空間
• ディラックのデルタ関数
• 一般化固有関数
• 分布（数学）
• 過剰機能
• 指標のラプラシアン
• リグドヒルベルト空間
• 分布の極限
• 一般化された空間
• 超流通

• シュワルツ、L. (1950)。分布理論。 Vol.  1. パリ：ヘルマン。OCLC 889264730。 第2巻。OCLC 889391733 
• Beurling, A. (1961).準解析性と一般分布について（多重講義）。スタンフォード大学サマーインスティテュート。OCLC 679033904。 
• ゲルファンド, イズライル・モイシェヴィッチ;ヴィレンキン、ナウム・ヤコブレヴィッチ（1964年）。一般化された関数。 Vol. I ～ VI.学術出版局。OCLC 728079644。  
• Hörmander, L. (2015) [1990].線形偏微分作用素の解析（第2 版）. Springer. ISBN 978-3-642-61497-2。
• 小松弘著『分布理論入門』第2版、岩波書店、東京、1983年。
• Colombeau, J.-F. (2000) [1983].新しい一般化関数と分布の乗算. Elsevier. ISBN 978-0-08-087195-0。
• ウラジミロフ、VS;ドロジノフ、ユウ。 N.;ザヴヤロフ、BI (2012) [1988]。一般化関数のタウバー定理。スプリンガー。ISBN 978-94-009-2831-2。
• Oberguggenberger, M. (1992).分布の乗法と偏微分方程式への応用. Longman. ISBN 978-0-582-08733-0OCLC 682138968​​ 
• 森本正人（1993）。佐藤の超関数入門。アメリカ数学会。ISBN 978-0-8218-8767-7。
• デミドフ、AS（2001）。数理物理学における一般化関数：主なアイデアと概念。ノヴァ・サイエンス。ISBN 9781560729051。
• Grosser, M.; Kunzinger, M.; Oberguggenberger, Michael; Steinbauer, R. (2013) [2001].一般相対性理論への応用を伴う一般化関数の幾何学的理論. Springer. ISBN 978-94-015-9845-3。
• エストラーダ、R.、カンワル、R. (2012).漸近解析への分布アプローチ。理論と応用（第2 版）。ビルクハウザー・ボストン。ISBN 978-0-8176-8130-2。
• ウラジミロフ、VS（2002）。一般化関数の理論の方法。テイラー＆フランシス。ISBN 978-0-415-27356-5。
• クライナート、H. (2009).量子力学、統計学、高分子物理学、金融市場における経路積分（第5 版）. ワールドサイエンティフィック. ISBN 9789814273572。（オンライン版はこちら。2008年6月15日にWayback Machineにアーカイブ済み）。一般化関数の積については、第11章を参照してください。
• Pilipovi, S.; Stankovic, B.; Vindas, J. (2012).一般化関数の漸近挙動. World Scientific. ISBN 9789814366847。