観測可能

物理学において、観測量とは測定可能な物理的性質または物理量のことです。古典力学では、観測量は、位置や運動量など、システムのすべての可能な状態の集合上の実数値「関数」です。量子力学では、観測量は線形演算子によって記述されます。例えば、これらの演算子は、システムをさまざまな電磁場にさらして最終的に値を読み取ることを表す場合があります。

物理的に意味のある観測量は、異なる参照系で異なる観測者によって行われた観測を関連付ける変換法則も満たさなければならない。これらの変換法則は状態空間の自己同型写像​​、すなわち、対象となる空間の特定の数学的性質を保存する全単射変換である。

量子系におけるすべての観測可能な量は、線形演算子によって表される。 ジョン・アーチボルド・ホイーラーは、演算子を説明するために機械のアナロジーを用いた。量子状態が機械に入力され、結果状態が出力される。結果状態は、演算子の固有状態のいずれかとなる。入力が固有状態であれば、出力もその固有状態となる。それ以外の場合、出力は非決定論的となる。つまり、演算子と入力に応じて、いずれかの固有状態が確率的に得られることになる。^{[ 1 ]： 70}

量子力学では、観測量は、量子状態空間を表す分離可能な複素ヒルベルト空間上の線形自己共役演算子に対応します。^{[ 2 ]}観測量は、演算子の固有値に対応する特定の測定結果に値を割り当てます。これらの結果が物理的に許容される状態（つまり、ヒルベルト空間に属する状態）を表す場合、固有値は実数になります。ただし、その逆は必ずしも真ではありません。^{[ 3 ] [ 4 ] [ 5 ]}その結果、量子システムの特定の状態に対する観測量の値を決定できるのは、特定の測定のみです。古典力学では、観測量の値を決定するために任意の測定を行うことができます。

量子系の状態と観測量の値との関係を記述するには、線形代数が必要となる。量子力学の数学的定式化では、位相定数を除いて、純粋状態はヒルベルト空間V内の非ゼロベクトルによって与えられる。2 つのベクトルvとw が同じ状態を指定するのは、次の場合に限る。${\displaystyle \mathbf {w} =c\mathbf {v} }$ゼロでないいくつかの${\displaystyle c\in \mathbb {C} }$観測量はV上の自己共役演算子によって与えられる。すべての自己共役演算子が物理的に意味のある観測量に対応するわけではない。^{[ 6 ] [ 7 ] [ 8 ] [ 9 ]}また、すべての物理的観測量が非自明な自己共役演算子に関連付けられているわけではない。たとえば、量子論では、質量は非自明な演算子としてではなく、ハミルトニアンのパラメータとして現れる。^{[ 10 ]}

量子力学における変換法則の場合、必要な自己同型写像​​は、ヒルベルト空間Vのユニタリ（または反ユニタリ）線形変換である。ガリレオ相対性理論または特殊相対性理論の下では、参照系の数学は特に単純であり、物理的に意味のある観測量の集合を大幅に制限する。

量子力学において、観測量の測定は、一見すると直感に反する性質を示す。具体的には、システムがヒルベルト空間内のベクトルで記述される状態にある場合、測定プロセスは非決定論的ではあるが統計的に予測可能な方法でその状態に影響を与える。特に、測定が適用された後、単一のベクトルによる状態記述は破壊され、統計的アンサンブルに置き換えられる可能性がある。量子物理学における測定操作の不可逆性は、測定問題と呼ばれることもあり、量子操作によって数学的に記述される。量子操作の構造により、この記述は、元のシステムをより大きなシステムのサブシステムとみなし、元のシステムの状態をより大きなシステムの状態の部分トレースで与える相対状態解釈によって提供される記述と数学的に等価である。

量子力学では、動的変数${\displaystyle A}$位置、並進（線形）運動量、軌道角運動量、スピン、全角運動量などはそれぞれ自己共役演算子に関連付けられている。${\displaystyle {\hat {A}}}$量子システムの状態に作用する演算子の固有値${\displaystyle {\hat {A}}}$動的変数が観測可能な値に対応します。たとえば、${\displaystyle |\psi _{a}\rangle }$は観測量の固有ケット（固有ベクトル）である。${\displaystyle {\hat {A}}}$固有値を持つ${\displaystyle a}$、そしてヒルベルト空間に存在する。すると $${\displaystyle {\hat {A}}|\psi _{a}\rangle =a|\psi _{a}\rangle .}$$

この固有方程式は、観測可能なものの測定が${\displaystyle {\hat {A}}}$対象となるシステムがその状態にある間に作成されます${\displaystyle |\psi _{a}\rangle }$すると、その特定の測定値の観測値は固有値を返す必要がある${\displaystyle a}$確実に。ただし、対象となるシステムが一般的な状態にある場合${\displaystyle |\phi \rangle \in {\mathcal {H}}}$（そして${\displaystyle |\phi \rangle }$そして${\displaystyle |\psi _{a}\rangle }$は単位ベクトルであり、の固有空間は${\displaystyle a}$が一次元の場合、固有値は${\displaystyle a}$確率で返されます${\displaystyle |\langle \psi _{a}|\phi \rangle |^{2}}$ボルンの法則により。

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