最初のいくつかの実球面調和関数の視覚的表現。青色の部分は関数が正である領域を表し、黄色の部分は負である領域を表します。表面の原点からの距離は、絶対値を示します。Y ℓ m （ θ 、 φ ） {\displaystyle Y_{\ell }^{m}(\theta ,\varphi )} （ θ 、 φ ） {\displaystyle (\theta ,\varphi )} 数学 や物理学 において、球面調和関数は 球面 上で定義される特殊な関数 です。これらは多くの科学分野で偏微分方程式 を解く際によく用いられます。球面調和関数表には、 よく用いられる球面調和関数の一覧が掲載されています。
球面調和関数は直交関数 の完全な集合、すなわち正規直交基底 を形成するため、球面上で定義された特定の関数は、これらの球面調和関数の和として表すことができます。これは、 フーリエ級数によって 円関数 （正弦関数と余弦関数）の和として表せる円上で定義された周期関数 と似ています。フーリエ級数の正弦関数と余弦関数と同様に、球面調和関数は（空間）角周波数 によって整理することができ、右の図の関数の行に示されています。さらに、球面調和関数は、 3次元回転群である SO(3) の既約表現 の基底関数 であり、 SO(3)の群論的 議論において中心的な役割を果たします。
球面調和関数は、球面領域におけるラプラス方程式 の解から得られます。ラプラス方程式の解となる関数は調和関数と呼ばれます。その名前にもかかわらず、球面調和関数は デカルト座標系 において最も単純な形をとり、次数 の同次多項式 として定義できます。ℓ {\displaystyle \ell } （ x 、 y 、 z ） {\displaystyle (x,y,z)} 球面座標との関連がすぐに生じる。 r ℓ \displaystyle r^{\ell }} ℓ {\displaystyle \ell } θ {\displaystyle \theta } φ {\displaystyle \varphi } 方向 単位ベクトル r {\displaystyle \mathbf {r} } not functions on the sphere which are harmonic with respect to the Laplace-Beltrami operator for the standard round metric on the sphere: the only harmonic functions in this sense on the sphere are the constants, since harmonic functions satisfy the Maximum principle . Spherical harmonics, as functions on the sphere, are eigenfunctions of the Laplace-Beltrami operator (see Higher dimensions ).
A specific set of spherical harmonics, denoted Y ℓ m ( θ , φ ) {\displaystyle Y_{\ell }^{m}(\theta ,\varphi )} Y ℓ m ( r ) {\displaystyle Y_{\ell }^{m}({\mathbf {r} })} Pierre Simon de Laplace in 1782.[ 1] orthogonal system, and are thus basic to the expansion of a general function on the sphere as alluded to above.
Spherical harmonics are important in many theoretical and practical applications, including the representation of multipole electrostatic and electromagnetic fields , electron configurations , gravitational fields , geoids , the magnetic fields of planetary bodies and stars, and the cosmic microwave background radiation . In 3D computer graphics , spherical harmonics play a role in a wide variety of topics including indirect lighting (ambient occlusion , global illumination , precomputed radiance transfer , etc.) and modelling of 3D shapes.
History Pierre-Simon Laplace , 1749–1827Spherical harmonics were first investigated in connection with the Newtonian potential of Newton's law of universal gravitation in three dimensions. In 1782, Pierre-Simon de Laplace had, in his Mécanique Céleste , determined that the gravitational potential R 3 → R \displaystyle \mathbb {R} ^{3}\to \mathbb {R} } x m i x i
V ( x ) = ∑ i m i | x i − x | . {\displaystyle V(\mathbf {x} )=\sum _{i}{\frac {m_{i}}{|\mathbf {x} _{i}-\mathbf {x} |}}.}
Each term in the above summation is an individual Newtonian potential for a point mass. Just prior to that time, Adrien-Marie Legendre had investigated the expansion of the Newtonian potential in powers of r = | x | r 1 = | x 1 | r ≤ r 1
1 | x 1 − x | = P 0 ( cos γ ) 1 r 1 + P 1 ( cos γ ) r r 1 2 + P 2 ( cos γ ) r 2 r 1 3 + ⋯ {\displaystyle {\frac {1}{|\mathbf {x} _{1}-\mathbf {x} |}}=P_{0}(\cos \gamma ){\frac {1}{r_{1}}}+P_{1}(\cos \gamma ){\frac {r}{r_{1}^{2}}}+P_{2}(\cos \gamma ){\frac {r^{2}}{r_{1}^{3}}}+\cdots }
where γ x x 1 P i : [ − 1 , 1 ] → R {\displaystyle P_{i}:[-1,1]\to \mathbb {R} } Legendre polynomials , and they can be derived as a special case of spherical harmonics. Subsequently, in his 1782 memoir, Laplace investigated these coefficients using spherical coordinates to represent the angle γ x 1 x Legendre polynomials § Applications for more detail.)
In 1867, William Thomson (Lord Kelvin) and Peter Guthrie Tait introduced the solid spherical harmonics in their Treatise on Natural Philosophy solid harmonics were homogeneous polynomial solutions R 3 → R \displaystyle \mathbb {R} ^{3}\to \mathbb {R} } Laplace's equation ∂ 2 u ∂ x 2 + ∂ 2 u ∂ y 2 + ∂ 2 u ∂ z 2 = 0. {\displaystyle {\frac {\partial ^{2}u}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}u}{\partial y^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}u}{\partial z^{2}}}=0.} Harmonic polynomial representation .) The term "Laplace's coefficients" was employed by William Whewell to describe the particular system of solutions introduced along these lines, whereas others reserved this designation for the zonal spherical harmonics that had properly been introduced by Laplace and Legendre.
19世紀に発展したフーリエ級数は、 熱方程式 や波動方程式 の解法など、矩形領域におけるさまざまな物理問題の解決を可能にした。これは、関数を三角関数の級数に展開することによって実現できた。フーリエ級数における三角関数は 弦 の基本振動モードを表すのに対し、球面調和関数はほぼ同じように球の 基本振動モードを表す。フーリエ級数の理論の多くの側面は、三角関数ではなく球面調和関数による展開によって一般化できた。さらに、三角関数が複素指数関数 として等価に表せるのと同様に、球面調和関数も複素数値関数として等価な形式を持つことができた。これは、ラプラスとルジャンドルが最初に研究した天体力学 のような、球対称性 を持つ問題にとって大きな利点となった。
物理学における球面調和関数の普及は、20世紀に誕生した量子力学 におけるその重要性の基礎を築いた。（複素数値の）球面調和関数S 2 → C \displaystyle S^{2}\to \mathbb {C} } は軌道角運動量 演算子 の二乗の固有関数 である。− 私 ℏ r × ∇ 、 {\displaystyle -i\hbar \mathbf {r} \times \nabla ,} したがって、それらは原子軌道 の 異なる量子化された 配置を表している。
実数（ラプラス）球面調和関数Y ℓ m {\displaystyle Y_{\ell m}} ℓ = 0 、 … 、 4 {\displaystyle \ell =0,\dots ,4} m = 0 、 … 、 ℓ {\displaystyle m=0,\dots ,\ell } Y ℓ （ − m ） {\displaystyle Y_{\ell (-m)}} z 軸を中心に回転させた状態で表示されます。90 ∘ / m 90°/m 実数球面調和関数の別図Y ℓ m {\displaystyle Y_{\ell m}} ラプラス方程式は 、スカラー場f のラプラシアン がゼロであることを規定する。（ここでスカラー場は複素数、すなわち（滑らかな）関数に対応するものと理解される。）f : R 3 → C {\displaystyle f:\mathbb {R} ^{3}\to \mathbb {C} } 球面座標 では次のようになります。[ 2 ]
∇ 2 f = 1 r 2 ∂ ∂ r （ r 2 ∂ f ∂ r ） + 1 r 2 罪 θ ∂ ∂ θ （ 罪 θ ∂ f ∂ θ ） + 1 r 2 罪 2 θ ∂ 2 f ∂ φ 2 = 0. ${\displaystyle \nabla ^{2}f={\frac {1}{r^{2}}}{\frac {\partial }{\partial r}}\left(r^{2}{\frac {\partial f}{\partial r}}\right)+{\frac {1}{r^{2}\sin \theta }}{\frac {\partial }{\partial \theta }}\left(\sin \theta {\frac {\partial f}{\partial \theta }}\right)+{\frac {1}{r^{2}\sin ^{2}\theta }}{\frac {\partial ^{2}f}{\partial \varphi ^{2}}}=0.}$
f ( r , θ , φ ) = R ( r ) Y ( θ , φ )変数分離法 により、ラプラス方程式を課すことで、2 つの微分方程式が得られます。 1 R d d r （ r 2 d R d r ） = λ 、 1 Y 1 罪 θ ∂ ∂ θ （ 罪 θ ∂ Y ∂ θ ） + 1 Y 1 罪 2 θ ∂ 2 Y ∂ φ 2 = − λ 。 {\displaystyle {\frac {1}{R}}{\frac {d}{dr}}\left(r^{2}{\frac {dR}{dr}}\right)=\lambda ,\qquad {\frac {1}{Y}}{\frac {1}{\sin \theta }}{\frac {\partial }{\partial \theta }}\left(\sin \theta {\frac {\partial Y}{\partial \theta }}\right)+{\frac {1}{Y}}{\frac {1}{\sin ^{2}\theta }}{\frac {\partial ^{2}Y}{\partial \varphi ^{2}}}=-\lambda .} 2 番目の式は、 Y が Y ( θ , φ ) = Θ( θ ) Φ( φ )
1 Φ d 2 Φ d φ 2 = − m 2 {\displaystyle {\frac {1}{\Phi }}{\frac {d^{2}\Phi }{d\varphi ^{2}}}=-m^{2}} λ 罪 2 θ + 罪 θ Θ d d θ （ 罪 θ d Θ d θ ） = m 2 ${\displaystyle \lambda \sin ^{2}\theta +{\frac {\sin \theta }{\Theta }}{\frac {d}{d\theta }}\left(\sin \theta {\frac {d\Theta }{d\theta }}\right)=m^{2}}$
ある数m 先験的に 、m Φ は周期が 2π を 周期関数 でなければならないため、m は Φは複素指数関数 e ± imφ Y ( θ , φ ) は、 θ = 0, π Θ に課すことは、パラメータλ を ℓ ≥ | m |を 満たす λ = ℓ ( ℓ + 1) の形に強制するシュトゥルム・リウヴィル問題です 。これは、軌道角運動量 の観点からも以下で 説明されています。さらに、変数変換t = cos θ ルジャンドル方程式に変換され、その解は 関連するルジャンドル多項式 P m ℓ (cos θ ) の倍数です。最後に、 R R ( r ) = A r ℓ + B r − ℓ − 1 R 3 B = 0 と なります。[ 3 ]
ここでは、解は特別な形式Y ( θ , φ ) = Θ( θ ) Φ( φ )を持つと仮定した。 ℓ 2 ℓ + 1 個あり、それぞれ− ℓ ≤ m ≤ ℓ m Y ℓ m : S 2 → C {\displaystyle Y_{\ell }^{m}:S^{2}\to \mathbb {C} } これらは、ここでは複素指数関数 として表される三角関数 と、関連するルジャンドル多項式の積です。
Y ℓ m （ θ 、 φ ） = N e 私 m φ P ℓ m （ コス θ ） {\displaystyle Y_{\ell }^{m}(\theta ,\varphi )=Ne^{im\varphi }P_{\ell }^{m}(\cos {\theta })}
満たす r 2 ∇ 2 Y ℓ m （ θ 、 φ ） = − ℓ （ ℓ + 1 ） Y ℓ m （ θ 、 φ ） 。 {\displaystyle r^{2}\nabla ^{2}Y_{\ell }^{m}(\theta ,\varphi )=-\ell (\ell +1)Y_{\ell }^{m}(\theta ,\varphi ).}
ここY ℓ m : S 2 → C {\displaystyle Y_{\ell }^{m}:S^{2}\to \mathbb {C} } は、次数ℓ 、階数 m の球面調和関数 と呼ばれます。P ℓ m : [ − 1 、 1 ] → R {\displaystyle P_{\ell }^{m}:[-1,1]\to \mathbb {R} } 関連ルジャンドル多項式 、N [ 4 ] θ φ は 緯度 θ 0 、赤道で π /2φ 、 つまり 角は、 0 ≤ φ < 2 π のすべての値をとることができます。固定された整数ℓ Y ( θ , φ )Y : S 2 → C {\displaystyle Y:S^{2}\to \mathbb {C} } r 2 ∇ 2 Y = − ℓ （ ℓ + 1 ） Y {\displaystyle r^{2}\nabla ^{2}Y=-\ell (\ell +1)Y} 、 Y ℓ m : S 2 → C {\displaystyle Y_{\ell }^{m}:S^{2}\to \mathbb {C} } r ℓ Y ( θ , φ )は球面座標における同次多項式 の表現である。R 3 → C {\displaystyle \mathbb {R} ^{3}\to \mathbb {C} } 下記参照）、次元を数えると、そのような線形独立な多項式 が 2ℓ + 1 個存在することがわかります。
一般的な解決策f : R 3 → C {\displaystyle f:\mathbb {R} ^{3}\to \mathbb {C} } ラプラス方程式 へΔ f = 0 {\displaystyle \Delta f=0} r ℓ 線形結合 である。
f （ r 、 θ 、 φ ） = ∑ ℓ = 0 ∞ ∑ m = − ℓ ℓ f ℓ m r ℓ Y ℓ m （ θ 、 φ ） 、 {\displaystyle f(r,\theta ,\varphi )=\sum _{\ell =0}^{\infty }\sum _{m=-\ell }^{\ell }f_{\ell }^{m}r^{\ell }Y_{\ell }^{m}(\theta ,\varphi ),}
どこでf ℓ m ∈ C {\displaystyle f_{\ell }^{m}\in \mathbb {C} } r ℓ Y ℓ m は 正則 ）固体高調波として知られています。 R 3 → C {\displaystyle \mathbb {R} ^{3}\to \mathbb {C} } 球体において有効である。
r < R = 1 lim sup ℓ → ∞ | f ℓ m | 1 / ℓ 。 {\displaystyle r<R={\frac {1}{\limsup _{\ell \to \infty }|f_{\ell }^{m}|^{{1}/{\ell }}}}.}
のためにr > R {\displaystyle r>R} r {\displaystyle r} 不規則な 固体倍音） R 3 ∖ { 0 } → C {\displaystyle \mathbb {R} ^{3}\setminus \{\mathbf {0} \}\to \mathbb {C} } ローラン級数 (約 )の既知領域の解を展開する必要があります。r = ∞ {\displaystyle r=\infty } テイラー級数 （約r = 0 {\displaystyle r=0} f ℓ m ∈ C {\displaystyle f_{\ell }^{m}\in \mathbb {C} }
軌道角運動量 量子力学では、ラプラスの球面調和関数は軌道角運動量の観点から理解される [ 5 ] L = − 私 ℏ （ x × ∇ ） = L x 私 + L y j + L z k 。 {\displaystyle \mathbf {L} =-i\hbar (\mathbf {x} \times \mathbf {\nabla } )=L_{x}\mathbf {i} +L_{y}\mathbf {j} +L_{z}\mathbf {k} .} は ħ = 1L 2 = − r 2 ∇ 2 + （ r ∂ ∂ r + 1 ） r ∂ ∂ r = − 1 罪 θ ∂ ∂ θ 罪 θ ∂ ∂ θ − 1 罪 2 θ ∂ 2 ∂ φ 2 。 {\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {L} ^{2}&=-r^{2}\nabla ^{2}+\left(r{\frac {\partial }{\partial r}}+1\right)r{\frac {\partial }{\partial r}}\\&=-{\frac {1}{\sin \theta }}{\frac {\partial }{\partial \theta }}\sin \theta {\frac {\partial }{\partial \theta }}-{\frac {1}{\sin ^{2}\theta }}{\frac {\partial ^{2}}{\partial \varphi ^{2}}}.\end{aligned}}} L z = − 私 （ x ∂ ∂ y − y ∂ ∂ x ） = − 私 ∂ ∂ φ 。 {\displaystyle {\begin{aligned}L_{z}&=-i\left(x{\frac {\partial }{\partial y}}-y{\frac {\partial }{\partial x}}\right)\\&=-i{\frac {\partial }{\partial \varphi }}.\end{aligned}}}
これらの演算子は可換であり、R 3 上の重み関数 として正規分布 に関して二乗可積分な関数fの 重み付き ヒルベルト空間 上の密に定義された 自己共役演算子 です。 1 （ 2 π ） 3 / 2 ∫ R 3 | f （ x ） | 2 e − | x | 2 / 2 d x < ∞ 。 {\displaystyle {\frac {1}{(2\pi )^{3/2}}}\int _{\mathbb {R} ^{3}}|f(x)|^{2}e^{-|x|^{2}/2}\,dx<\infty .} L 2は 正演算子 である。
Y が L2 Lz の L 2 Y = λ Y L z Y = m Y {\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {L} ^{2}Y&=\lambda Y\\L_{z}Y&=mY\end{aligned}}} m とλ に対して。ここで、m は 実際には整数でなければなりません。なぜなら、Y は 2π を割り切る周期を持つ座標φ で周期的になければならないからです。さらに、 L 2 = L x 2 + L y 2 + L z 2 {\displaystyle \mathbf {L} ^{2}=L_{x}^{2}+L_{y}^{2}+L_{z}^{2}} L x L y L zはそれぞれ自己共役であるため、 λ ≥ m 2
この結合固有空間をE λ , m 昇降演算子を 次のように 定義する。L + = L x + 私 L y L − = L x − 私 L y {\displaystyle {\begin{aligned}L_{+}&=L_{x}+iL_{y}\\L_{-}&=L_{x}-iL_{y}\end{aligned}}} L + L − は L 2 L + L − L z 特別な線形リー代数 になります。s l 2 （ C ） {\displaystyle {\mathfrak {sl}}_{2}(\mathbb {C} )} [ L z 、 L + ] = L + 、 [ L z 、 L − ] = − L − 、 [ L + 、 L − ] = 2 L z 。 {\displaystyle [L_{z},L_{+}]=L_{+},\quad [L_{z},L_{-}]=-L_{-},\quad [L_{+},L_{-}]=2L_{z}.} L + : E λ , m E λ , m +1L − : E λ , m E λ , m −1L k + : E λ , m E λ , m + k は 、 k が十分に大きい場合、ゼロでなければなりません。なぜなら、 λ ≥ m 2 ∈ E λ , m を k を 最小の整数とします 。 L + k Y = 0. {\displaystyle L_{+}^{k}Y=0.} L − L + = L 2 − L z 2 − L z {\displaystyle L_{-}L_{+}=\mathbf {L} ^{2}-L_{z}^{2}-L_{z}} 0 = L − L + k Y = （ λ − （ m + k ） 2 − （ m + k ） ） Y 。 {\displaystyle 0=L_{-}L_{+}^{k}Y=(\lambda -(m+k)^{2}-(m+k))Y.} λ = ℓ ( ℓ + 1) はℓ = m + k
上記はすべて球面座標表現で計算されたものであり、⟨ θ 、 φ | l m ⟩ = Y l m （ θ 、 φ ） {\displaystyle \langle \theta ,\varphi |lm\rangle =Y_{l}^{m}(\theta ,\varphi )} 球面ケット基底 ではより抽象的に表現できる。
調和多項式表現 球面調和関数は、特定の多項式関数を単位球に制限したものとして表現できる。R 3 → C {\displaystyle \mathbb {R} ^{3}\to \mathbb {C} } p : R 3 → C {\displaystyle p:\mathbb {R} ^{3}\to \mathbb {C} } 同質で ℓ {\displaystyle \ell } p （ λ x ） = λ ℓ p （ x ） {\displaystyle p(\lambda \mathbf {x} )=\lambda ^{\ell }p(\mathbf {x} )} λ ∈ R {\displaystyle \lambda \in \mathbb {R} } x ∈ R 3 {\displaystyle \mathbf {x} \in \mathbb {R} ^{3}} p {\displaystyle p} 調和的 Δ p = 0 、 {\displaystyle \Delta p=0,} Δ {\displaystyle \Delta } はラプラシアン です。次に、各についてℓ {\displaystyle \ell } A ℓ = { 調和多項式 R 3 → C 次数が同質である ℓ } 。 {\displaystyle \mathbf {A} _{\ell }=\left\{{\text{harmonic polynomials }}\mathbb {R} ^{3}\to \mathbb {C} {\text{ that are homogeneous of degree }}\ell \right\}.}
例えば、ℓ = 1 {\displaystyle \ell =1} A 1 {\displaystyle \mathbf {A} _{1}} R 3 → C {\displaystyle \mathbb {R} ^{3}\to \mathbb {C} } ℓ = 2 {\displaystyle \ell =2} A 2 = スパン C （ x 1 x 2 、 x 1 x 3 、 x 2 x 3 、 x 1 2 − x 2 2 、 2 x 3 2 − x 1 2 − x 2 2 ） 。 {\displaystyle \mathbf {A} _{2}=\operatorname {span} _{\mathbb {C} }(x_{1}x_{2},\,x_{1}x_{3},\,x_{2}x_{3},\,x_{1}^{2}-x_{2}^{2},\,2x_{3}^{2}-x_{1}^{2}-x_{2}^{2}).}
いかなる場合でもℓ {\displaystyle \ell } H ℓ {\displaystyle \mathbf {H} _{\ell }} ℓ {\displaystyle \ell } S 2 {\displaystyle S^{2}} A ℓ {\displaystyle \mathbf {A} _{\ell }} 6 ] 調和関数の球面への制限） という
例えば、任意のc ∈ C {\displaystyle c\in \mathbb {C} } p （ x 1 、 x 2 、 x 3 ） = c （ x 1 + 私 x 2 ） ℓ {\displaystyle p(x_{1},x_{2},x_{3})=c(x_{1}+ix_{2})^{\ell }} ℓ {\displaystyle \ell } コドメインを持つ R 3 → C {\displaystyle \mathbb {R} ^{3}\to \mathbb {C} } x 3 {\displaystyle x_{3}} p {\displaystyle p} （ r 、 θ 、 φ ） {\displaystyle (r,\theta ,\varphi )} r = 1 {\displaystyle r=1} p （ θ 、 φ ） = c 罪 （ θ ） ℓ （ コス （ φ ） + 私 罪 （ φ ） ） ℓ 、 {\displaystyle p(\theta ,\varphi )=c\sin(\theta )^{\ell }(\cos(\varphi )+i\sin(\varphi ))^{\ell },} p （ θ 、 φ ） = c （ 1 − コス 2 （ θ ） ） ℓ e 私 ℓ φ 。 {\displaystyle p(\theta ,\varphi )=c\left({\sqrt {1-\cos ^{2}(\theta )}}\right)^{\ell }e^{i\ell \varphi }.} 関連ルジャンドル多項式 の公式を使用した後P ℓ ℓ {\displaystyle P_{\ell }^{\ell }} Y ℓ ℓ （ θ 、 φ ） 。 {\displaystyle Y_{\ell }^{\ell }(\theta ,\varphi ).} [ 7 ] 特殊なケース 。）
慣例
直交性と正規化 ラプラス球面調和関数には、いくつかの異なる正規化方法が一般的に用いられている。S 2 → C {\displaystyle S^{2}\to \mathbb {C} }
球面調和関数のグラフY ℓ m （ θ 、 φ ） {\displaystyle Y_{\ell }^{m}(\theta ,\varphi )} ℓ = 2 {\displaystyle \ell =2} m = 1 {\displaystyle m=1} φ = π {\displaystyle \varphi =\pi } − 2 − 2 私 {\displaystyle -2-2i} 2 + 2 私 {\displaystyle 2+2i} コンドン・ショートリー段階を含めるとP ℓ m {\displaystyle P_{\ell }^{m}} Y ℓ m （ θ 、 φ ） = （ 2 ℓ + 1 ） 4 π （ ℓ − m ） ! （ ℓ + m ） ! P ℓ m （ コス θ ） e 私 m φ 。 {\displaystyle Y_{\ell }^{m}(\theta ,\varphi )={\sqrt {{\frac {(2\ell +1)}{4\pi }}{\frac {(\ell -m)!}{(\ell +m)!}}}}\,P_{\ell }^{m}(\cos {\theta })\,e^{im\varphi }.} [ 11 ]
同じ正規直交関数は量子力学ではしばしば[ 12 ] [ 13 ]のように記述される。 Y ℓ m （ θ 、 φ ） = （ − 1 ） m （ 2 ℓ + 1 ） 4 π （ ℓ − m ） ! （ ℓ + m ） ! P ～ ℓ m （ コス θ ） e 私 m φ 、 {\displaystyle Y_{\ell }^{m}(\theta ,\varphi )=(-1)^{m}{\sqrt {{\frac {(2\ell +1)}{4\pi }}{\frac {(\ell -m)!}{(\ell +m)!}}}}\,{\widetilde {P}}_{\ell }^{m}(\cos {\theta })\,e^{im\varphi },} P ～ ℓ m {\displaystyle {\widetilde {P}}_{\ell }^{m}}
コンドン・ショートリー位相のどちらの配置でも、正規直交球面調和関数は以下を満たす。 ∫ θ = 0 π ∫ φ = 0 2 π Y ℓ m Y ℓ ′ m ′ * d Ω = δ ℓ ℓ ′ δ m m ′ 、 {\displaystyle \int _{\theta =0}^{\pi }\int _{\varphi =0}^{2\pi }Y_{\ell }^{m}\,Y_{\ell '}^{m'}{}^{*}\,d\Omega =\delta _{\ell \ell '}\,\delta _{mm'},} δ ij はクロネッカーのデルタ であり、d Ω = sin( θ ) dφ dθ で [ 9 ] ∫ | Y ℓ m | 2 d Ω = 1. {\displaystyle \int {|Y_{\ell }^{m}|^{2}d\Omega }=1.}
測地学 [ 14 ] 4 π {\displaystyle 4\pi } Y ℓ m （ θ 、 φ ） = （ 2 ℓ + 1 ） （ ℓ − m ） ! （ ℓ + m ） ! P ℓ m （ コス θ ） e 私 m φ 、 {\displaystyle Y_{\ell }^{m}(\theta ,\varphi )={\sqrt {{(2\ell +1)}{\frac {(\ell -m)!}{(\ell +m)!}}}}\,P_{\ell }^{m}(\cos {\theta })\,e^{im\varphi },} 1 4 π ∫ θ = 0 π ∫ φ = 0 2 π Y ℓ m Y ℓ ′ m ′ * d Ω = δ ℓ ℓ ′ δ m m ′ 。 {\displaystyle {\frac {1}{4\pi }}\int _{\theta =0}^{\pi }\int _{\varphi =0}^{2\pi }Y_{\ell }^{m}\,Y_{\ell '}^{m'}{}^{*}d\Omega =\delta _{\ell \ell '}\,\delta _{mm'}.} [ 15 ]
一方、磁気学 [ 14 ] Y ℓ m （ θ 、 φ ） = （ ℓ − m ） ! （ ℓ + m ） ! P ℓ m （ コス θ ） e 私 m φ 、 {\displaystyle Y_{\ell }^{m}(\theta ,\varphi )={\sqrt {\frac {(\ell -m)!}{(\ell +m)!}}}\,P_{\ell }^{m}(\cos {\theta })\,e^{im\varphi },} ∫ θ = 0 π ∫ φ = 0 2 π Y ℓ m Y ℓ ′ m ′ * d Ω = 4 π （ 2 ℓ + 1 ） δ ℓ ℓ ′ δ m m ′ 。 {\displaystyle \int _{\theta =0}^{\pi }\int _{\varphi =0}^{2\pi }Y_{\ell }^{m}\,Y_{\ell '}^{m'}{}^{*}d\Omega ={\frac {4\pi }{(2\ell +1)}}\delta _{\ell \ell '}\,\delta _{mm'}.} ジュリオ・ラカ にちなんでラカの正規化と呼ばれている。
本稿で用いる位相規約では、複素球面調和関数は以下を満たす。 Y ℓ m * （ θ 、 φ ） = （ − 1 ） m Y ℓ − m （ θ 、 φ ） 、 {\displaystyle Y_{\ell }^{m}{}^{*}(\theta ,\varphi )=(-1)^{m}Y_{\ell }^{-m}(\theta ,\varphi ),} *は 複素共役 を表します。同様に、（ − 1 ） m = （ − 1 ） − m {\displaystyle (-1)^{m}=(-1)^{-m}} m {\displaystyle m} （ − 1 ） − m {\displaystyle (-1)^{-m}} この方程式は、球面調和関数とウィグナーD行列 の関係からも導かれる。[ 9 ]
複素球面調和関数が正規化され位相が調整されていると仮定すると、 Y ℓ m * = （ − 1 ） m Y ℓ − m 、 {\displaystyle Y_{\ell }^{m}{}^{*}=(-1)^{m}Y_{\ell }^{-m},} Y ℓ m : S 2 → R {\displaystyle Y_{\ell m}:S^{2}\to \mathbb {R} } Y ℓ m : S 2 → C {\displaystyle Y_{\ell }^{m}:S^{2}\to \mathbb {C} } Y ℓ m = { 私 2 （ Y ℓ m − （ − 1 ） m Y ℓ − m ） もし m < 0 Y ℓ 0 もし m = 0 1 2 （ Y ℓ − m + （ − 1 ） m Y ℓ m ） もし m > 0. = { 私 2 （ Y ℓ − | m | − （ − 1 ） m Y ℓ | m | ） もし m < 0 Y ℓ 0 もし m = 0 1 2 （ Y ℓ − | m | + （ − 1 ） m Y ℓ | m | ） もし m > 0. = { 2 （ − 1 ） m ℑ [ Y ℓ | m | ] もし m < 0 Y ℓ 0 もし m = 0 2 （ − 1 ） m ℜ [ Y ℓ m ] もし m > 0. {\displaystyle {\begin{aligned}Y_{\ell m}&={\begin{cases}{\dfrac {i}{\sqrt {2}}}\left(Y_{\ell }^{m}-(-1)^{m}\,Y_{\ell }^{-m}\right)&{\text{if}}\ m<0\\Y_{\ell }^{0}&{\text{if}}\ m=0\\{\dfrac {1}{\sqrt {2}}}\left(Y_{\ell }^{-m}+(-1)^{m}\,Y_{\ell }^{m}\right)&{\text{if}}\ m>0.\end{cases}}\\&={\begin{cases}{\dfrac {i}{\sqrt {2}}}\left(Y_{\ell }^{-|m|}-(-1)^{m}\,Y_{\ell }^{|m|}\right)&{\text{if}}\ m<0\\Y_{\ell }^{0}&{\text{if}}\ m=0\\{\dfrac {1}{\sqrt {2}}}\left(Y_{\ell }^{-|m|}+(-1)^{m}\,Y_{\ell }^{|m|}\right)&{\text{if}}\ m>0.\end{cases}}\\&={\begin{cases}{\sqrt {2}}\,(-1)^{m}\,\Im [{Y_{\ell }^{|m|}}]&{\text{if}}\ m<0\\Y_{\ell }^{0}&{\text{if}}\ m=0\\{\sqrt {2}}\,(-1)^{m}\,\Re [{Y_{\ell }^{m}}]&{\text{if}}\ m>0.\end{cases}}\end{aligned}}} Y ℓ m : S 2 → C {\displaystyle Y_{\ell }^{m}:S^{2}\to \mathbb {C} } Y ℓ m : S 2 → R {\displaystyle Y_{\ell m}:S^{2}\to \mathbb {R} } Y ℓ m = { 1 2 （ Y ℓ | m | − 私 Y ℓ 、 − | m | ） もし m < 0 Y ℓ 0 もし m = 0 （ − 1 ） m 2 （ Y ℓ | m | + 私 Y ℓ 、 − | m | ） もし m > 0. {\displaystyle Y_{\ell }^{m}={\begin{cases}{\dfrac {1}{\sqrt {2}}}\left(Y_{\ell |m|}-iY_{\ell ,-|m|}\right)&{\text{if}}\ m<0\\[4pt]Y_{\ell 0}&{\text{if}}\ m=0\\[4pt]{\dfrac {(-1)^{m}}{\sqrt {2}}}\left(Y_{\ell |m|}+iY_{\ell ,-|m|}\right)&{\text{if}}\ m>0.\end{cases}}}
実球面調和関数Y ℓ m : S 2 → R {\displaystyle Y_{\ell m}:S^{2}\to \mathbb {R} } これらはテッセラル球面調和関数 とも呼ばれることがある。[ 16 ] Y ℓ m : S 2 → C {\displaystyle Y_{\ell }^{m}:S^{2}\to \mathbb {C} } Y ℓ m {\displaystyle Y_{\ell m}} m > 0m < 0Y ℓ m = { （ − 1 ） m 2 2 ℓ + 1 4 π （ ℓ − | m | ） ! （ ℓ + | m | ） ! P ℓ | m | （ コス θ ） 罪 （ | m | φ ） もし m < 0 2 ℓ + 1 4 π P ℓ 0 （ コス θ ） もし m = 0 （ − 1 ） m 2 2 ℓ + 1 4 π （ ℓ − m ） ! （ ℓ + m ） ! P ℓ m （ コス θ ） コス （ m φ ） もし m > 0 。 {\displaystyle Y_{\ell m}={\begin{cases}\left(-1\right)^{m}{\sqrt {2}}{\sqrt {{\dfrac {2\ell +1}{4\pi }}{\dfrac {(\ell -|m|)!}{(\ell +|m|)!}}}}\;P_{\ell }^{|m|}(\cos \theta )\ \sin(|m|\varphi )&{\text{if }}m<0\\[4pt]{\sqrt {\dfrac {2\ell +1}{4\pi }}}\ P_{\ell }^{0}(\cos \theta )&{\text{if }}m=0\\[4pt]\left(-1\right)^{m}{\sqrt {2}}{\sqrt {{\dfrac {2\ell +1}{4\pi }}{\dfrac {(\ell -m)!}{(\ell +m)!}}}}\;P_{\ell }^{m}(\cos \theta )\ \cos(m\varphi )&{\text{if }}m>0\,.\end{cases}}} P ℓ m {\displaystyle P_{\ell }^{m}} [ 8 ]
同じ正弦と余弦の係数は、デカルト座標系を扱う次の小節でも見られます。
実数球面調和関数の一覧については、こちらを ご覧ください。ℓ = 4 {\displaystyle \ell =4}
対称性 球面調和関数は、空間反転（パリティ）と回転の操作において、深く重要な特性を持つ。
パリティ 球面調和関数は明確なパリティを持ちます。つまり、原点に関する反転に関して偶関数か奇関数かのいずれかになります。反転は演算子で表されます。P Ψ （ r ） = Ψ （ − r ） {\displaystyle P\Psi (\mathbf {r} )=\Psi (-\mathbf {r} )} r {\displaystyle \mathbf {r} } Y ℓ m （ − r ） = （ − 1 ） ℓ Y ℓ m （ r ） 。 {\displaystyle Y_{\ell }^{m}(-\mathbf {r} )=(-1)^{\ell }Y_{\ell }^{m}(\mathbf {r} ).}
球面角の観点から見ると、パリティは座標を持つ点を変換します。{ θ 、 φ } {\displaystyle \{\theta ,\varphi \}} { π − θ 、 π + φ } {\displaystyle \{\pi -\theta ,\pi +\varphi \}} Y ℓ m （ θ 、 φ ） → Y ℓ m （ π − θ 、 π + φ ） = （ − 1 ） ℓ Y ℓ m （ θ 、 φ ） {\displaystyle Y_{\ell }^{m}(\theta ,\varphi )\to Y_{\ell }^{m}(\pi -\theta ,\pi +\varphi )=(-1)^{\ell }Y_{\ell }^{m}(\theta ,\varphi )} 関連するルジャンドル多項式は (−1) ℓ + m を与え、指数関数からは(−1) m が得られ、これらを合わせると球面調和関数のパリティは(−1) ℓ となります。）
実球面調和関数、および高次元の球面調和関数ではパリティが引き続き成り立ちます。次数ℓ の球面調和関数に点反射を適用すると、符号が (−1) ℓ
球面調和関数展開 ラプラス球面調和関数Y ℓ m : S 2 → C {\displaystyle Y_{\ell }^{m}:S^{2}\to \mathbb {C} } 二乗可積分関数 のヒルベルト空間 の正規直交基底を形成する。 L C 2 （ S 2 ） {\displaystyle L_{\mathbb {C} }^{2}(S^{2})} S 2 {\displaystyle S^{2}} f : S 2 → C {\displaystyle f:S^{2}\to \mathbb {C} }
f （ θ 、 φ ） = ∑ ℓ = 0 ∞ ∑ m = − ℓ ℓ f ℓ m Y ℓ m （ θ 、 φ ） 。 {\displaystyle f(\theta ,\varphi )=\sum _{\ell =0}^{\infty }\sum _{m=-\ell }^{\ell }f_{\ell }^{m}\,Y_{\ell }^{m}(\theta ,\varphi ).}
この展開は平均二乗収束の意味で成り立つ。つまり球面のL2における収束であり、
リム N → ∞ ∫ 0 2 π ∫ 0 π | f （ θ 、 φ ） − ∑ ℓ = 0 N ∑ m = − ℓ ℓ f ℓ m Y ℓ m （ θ 、 φ ） | 2 罪 θ d θ d φ = 0. {\displaystyle \lim _{N\to \infty }\int _{0}^{2\pi }\int _{0}^{\pi }\left|f(\theta ,\varphi )-\sum _{\ell =0}^{N}\sum _{m=-\ell }^{\ell }f_{\ell }^{m}Y_{\ell }^{m}(\theta ,\varphi )\right|^{2}\sin \theta \,d\theta \,d\varphi =0.}
展開係数はフーリエ係数 のアナログであり、上記の式に球面調和関数の複素共役を乗じ、立体角 Ωで積分し、上記の直交関係を利用することで得られます。これは基本的なヒルベルト空間理論によって厳密に正当化されます。正規直交化された調和関数の場合、次のようになります。
f ℓ m = ∫ Ω f （ θ 、 φ ） Y ℓ m * （ θ 、 φ ） d Ω = ∫ 0 2 π d φ ∫ 0 π d θ 罪 θ f （ θ 、 φ ） Y ℓ m * （ θ 、 φ ） 。 {\displaystyle f_{\ell }^{m}=\int _{\Omega }f(\theta ,\varphi )\,Y_{\ell }^{m*}(\theta ,\varphi )\,d\Omega =\int _{0}^{2\pi }d\varphi \int _{0}^{\pi }\,d\theta \,\sin \theta f(\theta ,\varphi )Y_{\ell }^{m*}(\theta ,\varphi ).}
係数がℓ に関して十分に速く（例えば指数関数的に ）減少する場合、級数もf に一様に収束します 。
二乗積分可能な関数f : S 2 → R {\displaystyle f:S^{2}\to \mathbb {R} } Y ℓ m : S 2 → R {\displaystyle Y_{\ell m}:S^{2}\to \mathbb {R} }
f （ θ 、 φ ） = ∑ ℓ = 0 ∞ ∑ m = − ℓ ℓ f ℓ m Y ℓ m （ θ 、 φ ） 。 {\displaystyle f(\theta ,\varphi )=\sum _{\ell =0}^{\infty }\sum _{m=-\ell }^{\ell }f_{\ell m}\,Y_{\ell m}(\theta ,\varphi ).}
級数の収束は、実球面調和関数において、同じ意味で再び成立する。Y ℓ m : S 2 → R {\displaystyle Y_{\ell m}:S^{2}\to \mathbb {R} } 二乗可積分関数 のヒルベルト空間 の正規直交基底を形成する。 L R 2 （ S 2 ） {\displaystyle L_{\mathbb {R} }^{2}(S^{2})} Y ℓ m {\displaystyle Y_{\ell m}} f : S 2 → R {\displaystyle f:S^{2}\to \mathbb {R} } f ℓ m {\displaystyle f_{\ell m}} f ℓ m {\displaystyle f_{\ell }^{m}} Y ℓ m {\displaystyle Y_{\ell }^{m}} f : S 2 → C ⊃ R {\displaystyle f:S^{2}\to \mathbb {C} \supset \mathbb {R} }
完全性関係 完全性関係は、すべてのインデックスの和とディラックのデルタ関数 との間の分布等式です。球面調和関数の場合、ディラックのデルタは、球面上の方位角と極角の2つのディラックのデルタ関数のテンソル積です。関係は[ 19 ]
∑ l = 0 ∞ ∑ m = − l l Y l m * （ θ ′ 、 ϕ ′ ） Y l m （ θ 、 ϕ ） = δ （ ϕ − ϕ ′ ） δ （ コス θ − コス θ ′ ） 。 {\displaystyle \sum _{l=0}^{\infty }\sum _{m=-l}^{l}Y_{lm}^{*}(\theta \,',\,\phi \,')Y_{lm}(\theta ,\,\phi )=\delta (\phi -\phi \,')\,\delta (\cos \theta -\cos \theta \,').}
スペクトル分析
信号処理におけるパワースペクトル 信号処理の 文献では、関数f の全パワーは、関数の二乗の積分をその定義域の面積で割ったものとして定義されています。実数単位パワー球面調和関数の直交性を利用すると、単位球上で定義された関数の全パワーが、 パーセバルの定理 の一般化によってそのスペクトル係数と関連付けられることが容易に確認できます(ここでは、定理はシュミット半正規化調和関数について述べられており、直交調和関数では関係が若干異なります)。[ 20 ] [ 21 ]
1 4 π ∫ Ω | f （ Ω ） | 2 d Ω = ∑ ℓ = 0 ∞ S f f （ ℓ ） 、 {\displaystyle {\frac {1}{4\,\pi }}\int _{\Omega }|f(\Omega )|^{2}\,d\Omega =\sum _{\ell =0}^{\infty }S_{f\!f}(\ell ),} S f f （ ℓ ） = 1 2 ℓ + 1 ∑ m = − ℓ ℓ | f ℓ m | 2 {\displaystyle S_{f\!f}(\ell )={\frac {1}{2\ell +1}}\sum _{m=-\ell }^{\ell }|f_{\ell m}|^{2}}
は、（シュミット半正規化高調波の場合）角パワースペクトルとして定義されます。同様に、2つの関数のクロスパワーは次のように定義できます。 1 4 π ∫ Ω f （ Ω ） g * （ Ω ） d Ω = ∑ ℓ = 0 ∞ S f g （ ℓ ） 、 {\displaystyle {\frac {1}{4\,\pi }}\int _{\Omega }f(\Omega )\,g^{\ast }(\Omega )\,d\Omega =\sum _{\ell =0}^{\infty }S_{fg}(\ell ),} S f g （ ℓ ） = 1 2 ℓ + 1 ∑ m = − ℓ ℓ f ℓ m g ℓ m * {\displaystyle S_{fg}(\ell )={\frac {1}{2\ell +1}}\sum _{m=-\ell }^{\ell }f_{\ell m}g_{\ell m}^{\ast }}
はクロスパワースペクトルとして定義されます。関数f g f 00 g 00 S ff ℓ )S fg ℓ )は、それぞれ次数ℓ における関数の分散と共分散への寄与を表します。クロスパワースペクトルは、次の形式のべき乗則でよく近似されることが一般的です。
S f f （ ℓ ） = C ℓ β 。 {\displaystyle S_{f\!f}(\ell )=C\,\ell ^{\beta }.}
β = 0、 波長β > 0の場合、スペクトルは「青色」と呼ばれます。S ff ( ℓ )次 のセクションでf
代数的性質
加法定理 非常に興味深く、有用な数学的結果の一つに、球面調和関数の加法定理 がある。球面座標を持つ2つのベクトルr r′が与えられた場合、 （ r 、 θ 、 φ ） {\displaystyle (r,\theta ,\varphi )} （ r 、 θ ′ 、 φ ′ ） {\displaystyle (r,\theta ',\varphi ')} γ {\displaystyle \gamma } コス γ = コス θ ′ コス θ + 罪 θ 罪 θ ′ コス （ φ − φ ′ ） {\displaystyle \cos \gamma =\cos \theta '\cos \theta +\sin \theta \sin \theta '\cos(\varphi -\varphi ')} ルジャンドル多項式 によって担われます。
加法定理は [ 23 ]
ここで、Pℓ は 次数ℓ のルジャンドル多項式 です。この式は、実数および複素数の調和関数の両方に有効です。[ 24 ] この結果は、単位球内のポアソン核 の性質を使用して解析的に証明することも、ベクトルyを z 軸に沿って回転させてから右辺を直接計算することによって幾何学的に証明することもできます。[ 25 ]
特に、x = y [ 26 ]を与える。 ∑ m = − ℓ ℓ Y ℓ m * （ x ） Y ℓ m （ x ） = 2 ℓ + 1 4 π {\displaystyle \sum _{m=-\ell }^{\ell }Y_{\ell }^{m}{}^{*}(\mathbf {x} )\,Y_{\ell }^{m}(\mathbf {x} )={\frac {2\ell +1}{4\pi }}} cos 2 θ + sin 2 θ = 1 を 2 次元に一般化したものである。
展開式（１ P ℓ （ x ⋅ y ） {\displaystyle P_{\ell }(\mathbf {x} \cdot \mathbf {y} )} は、次数ℓ のゾーン球面調和関数 の定数倍である。この観点から、より高次元への以下の一般化が得られる。Y j を n 次元 球面上の次数ℓ の球面調和関数の空間H ℓ Z x （ ℓ ） {\displaystyle Z_{\mathbf {x} }^{(\ell )}} x に対応する次数ℓ のゾーン調和は、[ 27 ]のように分解される。
さらに、ゾーン調和Z x （ ℓ ） （ y ） {\displaystyle Z_{\mathbf {x} }^{(\ell )}({\mathbf {y} })} 適切なゲーゲンバウアー多項式 の定数倍として与えられる。
( 2 3 x yが n =2における( 1 )が得られる。最後に、 x = y 薄暗い H ℓ ω n − 1 = ∑ j = 1 薄暗い （ H ℓ ） | Y j （ x ） | 2 {\displaystyle {\frac {\dim \mathbf {H} _{\ell }}{\omega _{n-1}}}=\sum _{j=1}^{\dim(\mathbf {H} _{\ell })}|Y_{j}({\mathbf {x} })|^{2}} 、ω n −1は ( n −1) 球の体積である。
収縮ルール もう1つの便利な恒等式は、2つの球面調和関数の積を球面調和関数の和として表します[ 28 ]。 Y 1 α （ θ 、 φ ） Y b β （ θ 、 φ ） = （ 2 1 + 1 ） （ 2 b + 1 ） 4 π ∑ c = 0 ∞ ∑ γ = − c c （ − 1 ） γ 2 c + 1 （ 1 b c α β − γ ） （ 1 b c 0 0 0 ） Y c γ （ θ 、 φ ） = （ 2 1 + 1 ） （ 2 b + 1 ） 4 π ∑ c = | 1 − b | 1 + b 1 2 c + 1 ⟨ 1 α b β | c α + β ⟩ ⟨ 1 0 b 0 | c 0 ⟩ Y c γ （ θ 、 φ ） {\displaystyle {\begin{aligned}Y_{a}^{\alpha }\left(\theta ,\varphi \right)Y_{b}^{\beta }\left(\theta ,\varphi \right)&={\sqrt {\frac {\left(2a+1\right)\left(2b+1\right)}{4\pi }}}\sum _{c=0}^{\infty }\sum _{\gamma =-c}^{c}\left(-1\right)^{\gamma }{\sqrt {2c+1}}{\begin{pmatrix}a&b&c\\\alpha &\beta &-\gamma \end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}a&b&c\\0&0&0\end{pmatrix}}Y_{c}^{\gamma }\left(\theta ,\varphi \right)\\&={\sqrt {\frac {\left(2a+1\right)\left(2b+1\right)}{4\pi }}}\sum _{c=|a-b|}^{a+b}{\frac {1}{\sqrt {2c+1}}}\left\langle a\,\alpha \,b\,\beta |c\,\alpha +\beta \right\rangle \left\langle a\,0\,b\,0|c\,0\right\rangle Y_{c}^{\gamma }\left(\theta ,\varphi \right)\end{aligned}}} c {\displaystyle c} γ {\displaystyle \gamma } この和にゼロでない項をもたらすものは、 3j シンボル の選択規則によって決定されます。
クレブシュ・ゴルダン係数は、2 つの球面調和関数の積を球面調和関数自体で展開した際に現れる係数です。本質的に同じ計算を行うためのさまざまな手法があり、ウィグナー3-jm 記号 、ラカー係数 、スレーター積分 などが含まれます。抽象的に言えば、クレブシュ・ゴルダン係数は、回転群 の2 つの既約表現の テンソル積 を既約表現の和として表します。適切に正規化すれば、係数は重複度になります。
球面調和関数の一覧 最初のいくつかの正規直交ラプラス球面調和関数の解析的表現Y ℓ m : S 2 → C {\displaystyle Y_{\ell }^{m}:S^{2}\to \mathbb {C} } Y 0 0 （ θ 、 φ ） = 1 2 1 π {\displaystyle Y_{0}^{0}(\theta ,\varphi )={\frac {1}{2}}{\sqrt {\frac {1}{\pi }}}}
Y 1 − 1 （ θ 、 φ ） = 1 2 3 2 π 罪 θ e − 私 φ Y 1 0 （ θ 、 φ ） = 1 2 3 π コス θ Y 1 1 （ θ 、 φ ） = − 1 2 3 2 π 罪 θ e 私 φ {\displaystyle {\begin{aligned}Y_{1}^{-1}(\theta ,\varphi )&={\frac {1}{2}}{\sqrt {\frac {3}{2\pi }}}\,\sin \theta \,e^{-i\varphi }\\Y_{1}^{0}(\theta ,\varphi )&={\frac {1}{2}}{\sqrt {\frac {3}{\pi }}}\,\cos \theta \\Y_{1}^{1}(\theta ,\varphi )&={\frac {-1}{2}}{\sqrt {\frac {3}{2\pi }}}\,\sin \theta \,e^{i\varphi }\end{aligned}}}
Y 2 − 2 （ θ 、 φ ） = 1 4 15 2 π 罪 2 θ e − 2 私 φ Y 2 − 1 （ θ 、 φ ） = 1 2 15 2 π 罪 θ コス θ e − 私 φ Y 2 0 （ θ 、 φ ） = 1 4 5 π （ 3 コス 2 θ − 1 ） Y 2 1 （ θ 、 φ ） = − 1 2 15 2 π 罪 θ コス θ e 私 φ Y 2 2 （ θ 、 φ ） = 1 4 15 2 π 罪 2 θ e 2 私 φ {\displaystyle {\begin{aligned}Y_{2}^{-2}(\theta ,\varphi )&={\frac {1}{4}}{\sqrt {\frac {15}{2\pi }}}\,\sin ^{2}\theta \,e^{-2i\varphi }\\Y_{2}^{-1}(\theta ,\varphi )&={\frac {1}{2}}{\sqrt {\frac {15}{2\pi }}}\,\sin \theta \,\cos \theta \,e^{-i\varphi }\\Y_{2}^{0}(\theta ,\varphi )&={\frac {1}{4}}{\sqrt {\frac {5}{\pi }}}\,(3\cos ^{2}\theta -1)\\Y_{2}^{1}(\theta ,\varphi )&={\frac {-1}{2}}{\sqrt {\frac {15}{2\pi }}}\,\sin \theta \,\cos \theta \,e^{i\varphi }\\Y_{2}^{2}(\theta ,\varphi )&={\frac {1}{4}}{\sqrt {\frac {15}{2\pi }}}\,\sin ^{2}\theta \,e^{2i\varphi }\end{aligned}}}
高次元 古典的な球面調和関数は、単位球面上の複素数値関数として定義される。S 2 {\displaystyle S^{2}} ユークリッド空間内 R 3 {\displaystyle \mathbb {R} ^{3}} R n {\displaystyle \mathbb {R} ^{n}} S n − 1 → C {\displaystyle S^{n-1}\to \mathbb {C} } [ 31 ] Pℓ を n 個の実変数に関する次数ℓ の複素数値同次多項式 の空間とし、 ここでは関数として考える。R n → C {\displaystyle \mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {C} } pが P ℓ λ ∈ R {\displaystyle \lambda \in \mathbb {R} }
p （ λ x ） = λ ℓ p （ x ） 。 {\displaystyle p(\lambda \mathbf {x} )=\lambda ^{\ell }p(\mathbf {x} ).}
Aℓ を、 Pℓ のすべての 調和多項式 からなる部分空間とする。 A ℓ := { p ∈ P ℓ ∣ Δ p = 0 } 。 {\displaystyle \mathbf {A} _{\ell }:=\{p\in \mathbf {P} _{\ell }\,\mid \,\Delta p=0\}\,.} 固体球面調和関数 である。Hℓを 単位球面上の関数の空間とする 。 S n − 1 := { x ∈ R n ∣ | x | = 1 } {\displaystyle S^{n-1}:=\{\mathbf {x} \in \mathbb {R} ^{n}\,\mid \,\left|x\right|=1\}} A ℓ H ℓ := { f : S n − 1 → C ∣ 一部の人にとって p ∈ A ℓ 、 f （ x ） = p （ x ） すべての人々のために x ∈ S n − 1 } 。 {\displaystyle \mathbf {H} _{\ell }:=\left\{f:S^{n-1}\to \mathbb {C} \,\mid \,{\text{ for some }}p\in \mathbf {A} _{\ell },\,f(\mathbf {x} )=p(\mathbf {x} ){\text{ for all }}\mathbf {x} \in S^{n-1}\right\}.}
以下の性質が成り立つ。
空間H ℓ 稠密 であるC （ S n − 1 ） {\displaystyle C(S^{n-1})} S n − 1 {\displaystyle S^{n-1}} 一様 位相に関して、ストーン・ワイエルシュトラス の定理により、これらの空間の和は球面上の二乗可積分関数の空間L 2 ( S n −1L 2 の すべてのf ∈ H ℓ Δ S n − 1 f = − ℓ （ ℓ + n − 2 ） f 。 {\displaystyle \Delta _{S^{n-1}}f=-\ell (\ell +n-2)f.} 、Δ S n −1 はS n −1 ラプラス・ベルトラミ演算子 である。この演算子は、3 次元のラプラシアンの角度部分のアナログである。すなわち、n 次元のラプラシアンは次のように分解される。∇ 2 = r 1 − n ∂ ∂ r r n − 1 ∂ ∂ r + r − 2 Δ S n − 1 = ∂ 2 ∂ r 2 + n − 1 r ∂ ∂ r + r − 2 Δ S n − 1 {\displaystyle \nabla ^{2}=r^{1-n}{\frac {\partial }{\partial r}}r^{n-1}{\frac {\partial }{\partial r}}+r^{-2}\Delta _{S^{n-1}}={\frac {\partial ^{2}}{\partial r^{2}}}+{\frac {n-1}{r}}{\frac {\partial }{\partial r}}+r^{-2}\Delta _{S^{n-1}}} ストークスの定理 と前述の性質から、空間H ℓ はL 2 ( S n −1∫ S n − 1 f g ¯ d Ω = 0 {\displaystyle \int _{S^{n-1}}f{\bar {g}}\,\mathrm {d} \Omega =0} f ∈ H ℓ g ∈ H k ( k ≠ ℓ 逆に、空間H ℓ はΔ S n −1 の固有空間に正確に一致する。特に、スペクトル定理を リースポテンシャル に適用すると、Δ S n − 1 − 1 {\displaystyle \Delta _{S^{n-1}}^{-1}} H ℓ がL 2 ( S n −1 すべての同次多項式p ∈ P ℓ [ 32 ] p （ x ） = p ℓ （ x ） + | x | 2 p ℓ − 2 + ⋯ + { | x | ℓ p 0 ℓ e v e n | x | ℓ − 1 p 1 （ x ） ℓ o d d {\displaystyle p(x)=p_{\ell }(x)+|x|^{2}p_{\ell -2}+\cdots +{\begin{cases}|x|^{\ell }p_{0}&\ell {\rm {\ even}}\\|x|^{\ell -1}p_{1}(x)&\ell {\rm {\ odd}}\end{cases}}} p j A j 薄暗い H ℓ = （ n + ℓ − 1 n − 1 ） − （ n + ℓ − 3 n − 1 ） = （ n + ℓ − 2 n − 2 ） + （ n + ℓ − 3 n − 2 ） 。 {\displaystyle \dim \mathbf {H} _{\ell }={\binom {n+\ell -1}{n-1}}-{\binom {n+\ell -3}{n-1}}={\binom {n+\ell -2}{n-2}}+{\binom {n+\ell -3}{n-2}}.} 高次元球面調和関数の直交基底は、変数分離 法を用いて、球面ラプラシアンに対するシュトゥルム・リウヴィル問題を解くことにより、 帰納的に構築することができる。 Δ S n − 1 = 罪 2 − n φ ∂ ∂ φ 罪 n − 2 φ ∂ ∂ φ + 罪 − 2 φ Δ S n − 2 {\displaystyle \Delta _{S^{n-1}}=\sin ^{2-n}\varphi {\frac {\partial }{\partial \varphi }}\sin ^{n-2}\varphi {\frac {\partial }{\partial \varphi }}+\sin ^{-2}\varphi \Delta _{S^{n-2}}} φは S n −1[ 33 ]である。 Y ℓ 1 、 … ℓ n − 1 （ θ 1 、 … θ n − 1 ） = 1 2 π e 私 ℓ 1 θ 1 ∏ j = 2 n − 1 j P ¯ ℓ j ℓ j − 1 （ θ j ） {\displaystyle Y_{\ell _{1},\dots \ell _{n-1}}(\theta _{1},\dots \theta _{n-1})={\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}e^{i\ell _{1}\theta _{1}}\prod _{j=2}^{n-1}{}_{j}{\bar {P}}_{\ell _{j}}^{\ell _{j-1}}(\theta _{j})} | ℓ1 | ≤ ℓ2 ≤ ⋯ ≤ ℓn - 1 を 。積 に れる 関数 はルジャンドル 関数 を用いて定義さ れる 。 j P ¯ L ℓ （ θ ） = 2 L + j − 1 2 （ L + ℓ + j − 2 ） ! （ L − ℓ ） ! 罪 2 − j 2 （ θ ） P L + j − 2 2 − （ ℓ + j − 2 2 ） （ コス θ ） 。 {\displaystyle {}_{j}{\bar {P}}_{L}^{\ell }(\theta )={\sqrt {{\frac {2L+j-1}{2}}{\frac {(L+\ell +j-2)!}{(L-\ell )!}}}}\sin ^{\frac {2-j}{2}}(\theta )P_{L+{\frac {j-2}{2}}}^{-\left(\ell +{\frac {j-2}{2}}\right)}(\cos \theta )\,.}
表現論との関連性 次数ℓの球面調和関数の空間 は 、 点周りの回転の対称群( SO(3) )とその二重被覆SU(2)の 表現 である。実際、回転は2次元球面 に作用し、関数合成によって Hℓにも作用する 。 ψ ↦ ψ ∘ ρ − 1 {\displaystyle \psi \mapsto \psi \circ \rho ^{-1}} ψ は球面調和関数、ρ は回転である。表現Hℓ は 既約表現 である。 [ 34 ]
H ℓ A ℓ R 3 上の次数ℓ の調和多項式です。ψ ∈ A ℓ 偏極 により、係数が存在します。 ψ 私 1 … 私 ℓ {\displaystyle \psi _{i_{1}\dots i_{\ell }}} ψ （ x 1 、 … 、 x n ） = ∑ 私 1 … 私 ℓ ψ 私 1 … 私 ℓ x 私 1 ⋯ x 私 ℓ 。 {\displaystyle \psi (x_{1},\dots ,x_{n})=\sum _{i_{1}\dots i_{\ell }}\psi _{i_{1}\dots i_{\ell }}x_{i_{1}}\cdots x_{i_{\ell }}.} ψ が調和的である という条件は、テンソルが ψ 私 1 … 私 ℓ {\displaystyle \psi _{i_{1}\dots i_{\ell }}} 添え字のペアごとにトレースが ゼロでなければならない。したがって、 SO(3) の既約表現として、H ℓ は ℓのトレース ゼロ対称テンソル の空間と同型である。
より一般的には、同様の記述は高次元でも成り立ちます。n次元 球面 上の球面調和関数の空間H ℓ ℓテンソルに対応する SO( n +1) の既約表現です。しかし、SO(2) およびSO(3) のすべての既約テンソル表現はこのタイプであるのに対し、高次元の特殊直交群には、この方法では生じない追加の既約表現があります。
特殊直交群には、テンソル表現ではない追加のスピン表現が あり、通常は 球面調和関数ではありません。例外はSO(3)のスピン表現 です。厳密に言えば、これらはSO(3)の二重被覆SU(2)の表現です。SU(2)は単位 四元数 の群と同一視され、したがって3次元球面 と一致します。3次元球面上の球面調和関数の空間は、四元数乗算による作用に関して、SO(3)の特定のスピン表現です。
半球調和関数との関連性 球面調和関数は、2 つの関数セットに分けられます。[ 35 ]
注記 ↑ 3次元における球面調和関数のさまざまなアプローチに関する歴史的説明は、 MacRobert 1967の第 4 章に記載されています。「 ラプラス 球面調和関数」という用語は一般的に使用されています。Courant & Hilbert 1962 およびMeijer & Bauer 2004 を参照してください。 ↑ ここで採用されている球面調和関数へのアプローチは、（ Courant & Hilbert 1962 、§V.8、§VII.5） に記載されている。 ↑ 物理的な応用では、無限遠でゼロになる解を採用することが多く、その結果A = 0 ↑ Weisstein, Eric W. "Spherical Harmonic" . mathworld.wolfram.com . 2023-05-10 に取得. ↑ エドモンズ 1957 、§2.5 ↑ ホール 2013 セクション 17.6↑ Hall 2013 補題 17.161 2 3 Weisstein, Eric W. 「Condon-Shortley Phase」 . MathWorld—A Wolfram Web Resource . Wolfram Research . 2026-05-02 取得 。 1 2 3 「DLMF: §14.30 球面調和関数と回転楕円調和関数」 。NIST 数学関数デジタルライブラリ 。米国国立標準技術研究所。 2026年5月2日 取得 。 ↑ Heiskanen and Moritz, Physical Geodesy , 1967, eq. 1-62. ↑ ウィリアムズ、アール・G. (1999). フーリエ音響学：音響放射と近接場音響ホログラフィー . サンディエゴ、カリフォルニア州：アカデミック・プレス. ISBN 0-08-050690-9 OCLC 181010993 ↑ メサイア、アルバート( 1999). 量子力学：2巻を1冊にまとめたもの （2巻を1冊にまとめた完全復刻 版）。ニューヨーク州ミネオラ：ドーバー出版。520–523 頁 。ISBN 0-486-40924-4 。↑ クロード・コーエン＝タンヌージ;バーナード・ディウ;フランク・ラロエ (1996)。 量子力学 。スーザン・リード・ヘムリー訳。他 。ワイリー・インターサイエンス: ワイリー。 ISBN 978-0-471-56952-7 。1 2 ブレイクリー、リチャード (1995)。 重力と磁気応用におけるポテンシャル理論 。ケンブリッジ、イギリス、 ニューヨーク：ケンブリッジ大学出版局。p . 113。ISBN 978-0-521-41508-8 。↑ 引用エラー: 指定された名前の参照SHTOOLS complexが呼び出されましたが、定義されていません (ヘルプ ページを参照してください)。 ↑ Whittaker & Watson 1927 、p. 392 。 ↑ 例えば、Garg, A.著『Classical Electrodynamics in a Nutshell』（Princeton University Press、2012年）の付録Aを参照。 ↑ Li, Feifei; Braun, Carol; Garg, Anupam (2013), "スピンのためのWeyl-Wigner-Moyal形式", Europhysics Letters , 102 (6) 60006, arXiv : 1210.4075 , Bibcode : 2013EL....10260006L , doi : 10.1209/0295-5075/102/60006 , S2CID 119610178 ↑ ジャクソン、ジョン・デヴィッド (1999)。 古典電気力学 (第 3 版、[Nachdr.] 版)。ニューヨーク州ホーボーケン：ワイリー。 p. 108.ISBN 978-0-471-30932-1 。↑ Dahlen, FA; Simons, Frederik J. (2008). "地球物理学および宇宙論における球面上のスペクトル推定". Geophysical Journal International . 174 (3): 774– 807. arXiv : 0705.3083 . doi : 10.1111/j.1365-246X.2008.03854.x . ↑ 引用エラー: 指定された名前の参照SteinWeissが呼び出されましたが、定義されていません (ヘルプ ページを参照してください)。 ↑ 引用エラー: 指定された名前の参照DaiXuが呼び出されましたが、定義されていません (ヘルプ ページを参照してください)。 ↑ Edmonds, AR (1996). Angular Momentum In Quantum Mechanics . Princeton University Press. p. 63 . ↑ これは、次数ℓ の球面調和関数の任意の正規直交基底に対して有効です。単位べき乗調和関数の場合は、 4π の係数を取り除く必要があります。 ↑ Whittaker & Watson 1927 、p. 395 ↑ 未販売 1927 ↑ スタイン＆ ワイス 1971 、§IV.2 ↑ Brink, DM; Satchler, GR Angular Momentum . Oxford University Press. p. 146. ↑ 「球面振動 – 球面調和関数」 。 ↑ エレメンコ、ヤコブソン、 ナディラシビリ 2007 ↑ Solomentsev 2001 ; Stein & Weiss 1971 、§Iv.2 ↑ 参照： Axler, Sheldon; Ramey, Wade (1995)『 Harmonic Polynomials and Dirichlet-Type Problems』の系1.8 ↑ 樋口篤（1987） 「N球面上の対称テンソル球面調和関数とド・ジッター群SO(N,1)への応用」 . Journal of Mathematical Physics . 28 (7): 1553– 1566. Bibcode : 1987JMP....28.1553H . doi : 10.1063/1.527513 . ↑ ホール 2013 系 17.17↑ Zheng Y, Wei K, Liang B, Li Y, Chu X (2019-12-23). "球面キャップ上のゼルニケ関数：光学面フィッティングとグラフィックスレンダリングにおける原理と応用" . Optics Express . 27 (26): 37180– 37195. Bibcode : 2019OExpr..2737180Z . doi : 10.1364/OE.27.037180 . ISSN 1094-4087 . PMID 31878503 . ↑ N. Vilenkin、「特殊関数と群表現の理論」 、Am. Math. Soc. Transl.、第22巻、（1968年）。 ↑ JD タルマン、『特殊関数、群論的アプローチ』（ EP ウィグナー の講義に基づく）、WA ベンジャミン、ニューヨーク（1968年）。 ↑ W. ミラー、『対称性と変数分離』、 アディソン・ウェスリー、レディング（1977年）。 ↑ A. Wawrzyńczyk、『群表現と特殊関数』 、ポーランド科学出版社、ワルシャワ（1984年）。
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![{\displaystyle P_{\ell }^{m}:[-1,1]\to \mathbb {R} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8bcd29cb47240ca25b474d11e2950d80c27d937a)
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![{\displaystyle Y_{\ell }^{m}={\begin{cases}{\dfrac {1}{\sqrt {2}}}\left(Y_{\ell |m|}-iY_{\ell ,-|m|}\right)&{\text{if}}\ m<0\\[4pt]Y_{\ell 0}&{\text{if}}\ m=0\\[4pt]{\dfrac {(-1)^{m}}{\sqrt {2}}}\left(Y_{\ell |m|}+iY_{\ell ,-|m|}\right)&{\text{if}}\ m>0.\end{cases}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/27971bab040e0ab0b2533f34865c0a6225cb12d2)
![{\displaystyle Y_{\ell m}={\begin{cases}\left(-1\right)^{m}{\sqrt {2}}{\sqrt {{\dfrac {2\ell +1}{4\pi }}{\dfrac {(\ell -|m|)!}{(\ell +|m|)!}}}}\;P_{\ell }^{|m|}(\cos \theta )\ \sin(|m|\varphi )&{\text{if }}m<0\\[4pt]{\sqrt {\dfrac {2\ell +1}{4\pi }}}\ P_{\ell }^{0}(\cos \theta )&{\text{if }}m=0\\[4pt]\left(-1\right)^{m}{\sqrt {2}}{\sqrt {{\dfrac {2\ell +1}{4\pi }}{\dfrac {(\ell -m)!}{(\ell +m)!}}}}\;P_{\ell }^{m}(\cos \theta )\ \cos(m\varphi )&{\text{if }}m>0\,.\end{cases}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/82957dbe5a19da8a71f723079f2402554753bb91)
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![{\displaystyle Y_{4}^{-2}={\frac {1}{r^{4}}}\left[{\tfrac {9}{4\pi }}\cdot {\tfrac {5}{32}}\right]^{1/2}\left(7z^{2}-r^{2}\right)\left(x-iy\right)^{2}=\left[{\tfrac {9}{4\pi }}\cdot {\tfrac {5}{32}}\right]^{1/2}\left(7\cos ^{2}\theta -1\right)\left(\sin ^{2}\theta e^{-2i\varphi }\right)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4bcad8b6882705b752928a0c469aa0ef2f9e306f)
![{\displaystyle Y_{\ell }^{m}({\mathbf {r} }')=\sum _{m'=-\ell }^{\ell }[D_{mm'}^{(\ell )}({\mathcal {R}})]^{*}Y_{\ell }^{m'}({\mathbf {r} }),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d90f021b19abdcb67fe194dea9981c6473be594a)
![{\displaystyle \Re [Y_{\ell m}]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fe4514a0a6a49a33432a4bf36efe1f6fa05cb3dc)
![{\displaystyle \Re [Y_{\ell }^{m}]=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/26617636b368a6d09ed57405f1fb8652eb51e617)
![{\displaystyle \Im [Y_{\ell }^{m}]=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2b2fb51f4ee139b5891db76afaa139113a04982d)
