下限と上限

数学において、半順序集合の部分集合の最小値（略称inf、複数形infima）は、 の各要素以下となる 内の最大の元（もしそのような元が存在するなら）である。 ^[1]の最小値が存在すれば一意であり、またb がの下限であれば、b はの最小の下限値以下である。したがって、最大下限値（略称GLB ）という用語も一般的に使用されている。^[1]半順序集合の部分集合の最大値（略称sup、複数形suprema ）は、 の各要素以上となる 内の最小の元（もしそのような元が存在するなら）である。 ^[1]の最大値が存在するなら一意であり、またb がの上限であれば、 の最大値はb以下である。したがって、上限値は最小上限値（またはLUB）とも呼ばれます。 ^[1] ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle P}$${\displaystyle P}$${\displaystyle S,}$${\displaystyle S}$${\displaystyle S}$${\displaystyle S}$${\displaystyle S}$${\displaystyle P}$${\displaystyle P}$${\displaystyle S,}$${\displaystyle S}$${\displaystyle S}$${\displaystyle S}$

厳密に言えば、最小値は最大値の概念と双対です。実数の最小値と最大値は解析学、特にルベーグ積分において重要な一般的な特殊なケースです。しかし、一般的な定義は、任意の半順序集合が考慮される 順序理論のより抽象的な設定でも有効です。

最小値と最大値の概念は、最小値と最大値に近いですが、解析においては、最小値や最大値を持たない特殊な集合をより適切に特徴付けるため、より有用です。たとえば、正の実数 ( は含まない) の集合には最小値がありません。これは、 の任意の要素を単純に半分に分割して、それでも の範囲内にあるより小さい数にすることができるためです。ただし、実数に対する正の実数の最小値は 1 つだけ存在します。これは、すべての正の実数よりも小さく、下限として使用できる他のどの実数よりも大きくなります。集合の最小値は、常に、かつ、問題となっている集合の上位集合を基準としてのみ定義されます。たとえば、正の実数の内部に (自身の上位集合として) 正の実数の最小値は存在せず、また、正の実数部を持つ複素数の内部に正の実数の最小値も存在しません。 ${\displaystyle \mathbb {R} ^{+}}$${\displaystyle 0}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{+}}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{+}.}$${\displaystyle 0,}$

半順序集合の部分 集合の下限は、${\displaystyle S}$ ${\displaystyle (P,\leq )}$${\displaystyle a}$${\displaystyle P}$

• ${\displaystyle a\leq x}$全ての${\displaystyle x\in S.}$

の下限は、 の下限値（または最大下限値、または を満たす）と呼ばれます。 ${\displaystyle a}$${\displaystyle S}$${\displaystyle S}$

• のすべての下限値について(は他のどの下限値よりも大きい)。${\displaystyle y}$${\displaystyle S}$${\displaystyle P,}$ ${\displaystyle y\leq a}$${\displaystyle a}$

同様 に、半順序集合の部分集合の上限は、${\displaystyle S}$${\displaystyle (P,\leq )}$${\displaystyle b}$${\displaystyle P}$

• ${\displaystyle b\geq x}$全ての${\displaystyle x\in S.}$

の上限は、 の上限（または最小上限、または結合）と呼ばれます。 ${\displaystyle b}$${\displaystyle S}$${\displaystyle S}$

• のすべての上限について(は他のどの上限よりも小さい)。${\displaystyle z}$${\displaystyle S}$${\displaystyle P,}$ ${\displaystyle z\geq b}$${\displaystyle b}$

最小値と最大値は必ずしも存在するわけではありません。のサブセットの最小値は、 に下限がまったくない場合、または下限の集合に最大元が含まれていない場合には、存在し得ません。(この例として のサブセットがあります。には 1.5 などの上限がありますが、 には最大値がありません。) ${\displaystyle S}$${\displaystyle P}$${\displaystyle S}$${\displaystyle \{x\in \mathbb {Q} :x^{2}<2\}}$${\displaystyle \mathbb {Q} }$${\displaystyle \mathbb {Q} }$

その結果、特定の最小値が存在することがわかっている半順序集合が特に興味深いものになります。たとえば、格子は、すべての空でない有限部分集合が最大値と最小値の両方を持つ半順序集合であり、完全格子は、すべての部分集合が最大値と最小値の両方を持つ半順序集合です。このような考慮から生じる半順序集合のさまざまなクラスの詳細については、完全性プロパティに関する記事を参照してください。

部分集合の上限が存在する場合、それは一意です。 に最大要素が含まれている場合、その要素が上限です。そうでない場合、上限は に属していません(または存在しません)。同様に、下限が存在する場合、それは一意です。に最小要素が含まれている場合、その要素が下限です。そうでない場合、下限は に属していません(または存在しません)。 ${\displaystyle S}$${\displaystyle S}$${\displaystyle S}$${\displaystyle S}$${\displaystyle S}$

部分集合の最小値が存在すると仮定しても、必ずしも に属するとは限らない。存在する場合、それはの最小または最小の要素である。 同様に、 の最大値がに属する場合、それは の最大値または最大要素である。${\displaystyle S}$${\displaystyle P,}$${\displaystyle S.}$${\displaystyle S.}$${\displaystyle S}$${\displaystyle S,}$${\displaystyle S.}$

たとえば、負の実数 (ゼロを除く) の集合を考えてみましょう。この集合には最大元がありません。集合のどの要素にも、それより大きい別の要素があるからです。たとえば、任意の負の実数には、それより大きい別の負の実数が存在します。一方、ゼロ以上のすべての実数は、この集合の上限になります。したがって、 は負の実数の最小の上限なので、上限は 0 です。この集合には上限はありますが、最大元はありません。 ${\displaystyle x,}$${\displaystyle {\tfrac {x}{2}},}$${\displaystyle 0}$

ただし、最大元と最小元の定義はより一般的です。特に、集合には多数の最大元と最小元を含めることができますが、最小値と最大値は一意です。

最大値と最小値は検討中のサブセットのメンバーである必要がありますが、サブセットの最小値と最大値は、それ自体がそのサブセットのメンバーである必要はありません。

最後に、部分的に順序付けられた集合には、最小の上限がなくても、多数の最小の上限が存在する場合があります。最小の上限とは、上限でもある厳密に小さい要素が存在しない上限です。これは、各最小の上限が他のすべての上限よりも小さいということではなく、単に大きくないというだけです。「最小」と「最小」の区別は、指定された順序が完全な順序でない場合にのみ可能です。実数などの完全に順序付けられた集合では、概念は同じです。

例として、自然数のすべての有限部分集合の集合を とし、 のすべての集合を、上記のように部分集合の包含によって順序付けられた整数の集合および正の実数の集合と一緒に取ることによって得られる部分順序集合を考えます。すると、明らかにと は両方とも自然数のすべての有限集合よりも大きくなります。しかし、どちらもより小さくはなく、その逆も真ではありません。どちらの集合も最小の上限ですが、どちらも上限ではありません。 ${\displaystyle S}$${\displaystyle S}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} }$${\displaystyle \mathbb {R} ^{+},}$${\displaystyle \mathbb {Z} }$${\displaystyle \mathbb {R} ^{+}}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{+}}$${\displaystyle \mathbb {Z} }$

最小上限特性は、実数の集合に典型的な前述の完全性特性の一例です。この特性は、デデキント完全性と呼ばれることもあります。

順序付けられた集合が、上限を持つ の空でない部分集合はすべて最小の上限も持つという性質を持つ場合、その集合は最小上限特性を持つと言われます。上で述べたように、すべての実数の集合は最小上限特性を持ちます。同様に、整数の集合は最小上限特性を持ちます。が の空でない部分集合であり、のすべての要素が 以下であるような数が存在する場合、の上限である整数の最小上限が存在し、 の他のすべての上限以下になります。順序付けられた集合は最小上限特性も持ち、空の部分集合も最小上限、つまり集合全体の最小値を持ちます。 ${\displaystyle S}$${\displaystyle S}$${\displaystyle S}$${\displaystyle \mathbb {R} }$${\displaystyle \mathbb {Z} }$${\displaystyle S}$${\displaystyle \mathbb {Z} }$${\displaystyle n}$${\displaystyle s}$${\displaystyle S}$${\displaystyle n,}$${\displaystyle u}$${\displaystyle S,}$${\displaystyle S}$${\displaystyle S.}$

最小上限特性を欠く集合の例としては、有理数の集合が挙げられます。を となるすべての有理数の集合とすると、には上限 (たとえば、または) がありますが、 には最小上限はありません。を最小上限と仮定すると、任意の 2 つの実数と(および を含む)の間には、それ自体が最小上限 ( の場合) であるか、より大きい のメンバー( の場合) である必要がある有理数が存在するため、直ちに矛盾が導き出されます。別の例としては、超実数があります。正の無限小の集合には最小上限はありません。 ${\displaystyle \mathbb {Q} ,}$${\displaystyle S}$${\displaystyle q}$${\displaystyle q^{2}<2.}$${\displaystyle S}$${\displaystyle 1000,}$${\displaystyle 6}$${\displaystyle \mathbb {Q} }$${\displaystyle p\in \mathbb {Q} }$${\displaystyle x}$${\displaystyle y}$${\displaystyle {\sqrt {2}}}$${\displaystyle p}$${\displaystyle r,}$${\displaystyle p>{\sqrt {2}}}$${\displaystyle S}$${\displaystyle p}$${\displaystyle p<{\sqrt {2}}}$

対応する最大下限特性があります。順序付き集合が最大下限特性を持つのは、最小上限特性も持つ場合のみです。集合の下限の集合の最小上限は最大下限であり、集合の上限の集合の最大下限は集合の最小上限です。

半順序集合において、すべての有界部分集合に上限がある場合、これは、から までのすべての関数を含み、すべて に対してであることが必要条件となる関数空間内の任意の集合にも当てはまります。たとえば、これは実関数に適用されます。また、これらは関数の特殊なケースと見なすことができるため、実数組および実数列にも適用されます。 ${\displaystyle P}$${\displaystyle X,}$${\displaystyle X}$${\displaystyle P,}$${\displaystyle f\leq g}$${\displaystyle f(x)\leq g(x)}$${\displaystyle x\in X.}$${\displaystyle n}$

最小上限特性は、最高値の指標です。

解析学では、実数の部分集合の最小値と最大値が特に重要である。例えば、負の実数には最大元がなく、その最大値は（負の実数ではない）である。^[1]実数の完全性は 、実数の任意の有界な空でない部分集合が最小値と最大値を持つことを意味し（そしてそれと同値である） 。 が下方に有界でない場合、形式的には と書くことが多い。が空の場合、 と書く。${\displaystyle S}$${\displaystyle 0}$${\displaystyle S}$${\displaystyle S}$${\displaystyle \inf _{}S=-\infty .}$${\displaystyle S}$${\displaystyle \inf _{}S=+\infty .}$

が任意の実数の集合である場合、かつ、かつ、そうでなければ^[2]${\displaystyle A}$${\displaystyle A\neq \varnothing }$${\displaystyle \sup A\geq \inf A,}$${\displaystyle -\infty =\sup \varnothing <\inf \varnothing =\infty .}$

が実数の集合である場合、 （ でない限り）および${\displaystyle A\subseteq B}$${\displaystyle \inf A\geq \inf B}$${\displaystyle A=\varnothing \neq B}$${\displaystyle \sup A\leq \sup B.}$

内膜と上膜の識別

の下限が存在する場合（つまり、 が実数である場合）、 が任意の実数である場合、 が下限であり、任意の に対してが存在する場合がこれに限ります。 同様に、 が実数であり、 が任意の実数である場合、 が上限であり、任意のに対してが存在する場合がこれに限ります。${\displaystyle A}$${\displaystyle \inf A}$${\displaystyle p}$${\displaystyle p=\inf A}$${\displaystyle p}$${\displaystyle \epsilon >0}$${\displaystyle a_{\epsilon }\in A}$${\displaystyle a_{\epsilon }<p+\epsilon .}$${\displaystyle \sup A}$${\displaystyle p}$${\displaystyle p=\sup A}$${\displaystyle p}$${\displaystyle \epsilon >0}$${\displaystyle a_{\epsilon }\in A}$${\displaystyle a_{\epsilon }>p-\epsilon .}$

数列の極限との関係

が任意の空でない実数の集合である場合、 には必ず非減少数列が存在し、 となる。同様に、には（異なる可能性もあるが）非増加数列が存在し、 となる。${\displaystyle S\neq \varnothing }$${\displaystyle s_{1}\leq s_{2}\leq \cdots }$${\displaystyle S}$${\displaystyle \lim _{n\to \infty }s_{n}=\sup S.}$${\displaystyle s_{1}\geq s_{2}\geq \cdots }$${\displaystyle S}$${\displaystyle \lim _{n\to \infty }s_{n}=\inf S.}$

このような数列の極限として最小値と最大値を表現すると、数学のさまざまな分野の定理を適用できます。たとえば、が連続関数で、がその定義域内の点の列で、点に収束する場合、必然的に に収束するという、位相幾何学のよく知られた事実を考えてみましょう。これは、が実数（すべてがに含まれる）で、が定義域に と が含まれる連続関数である場合 、 （たとえば）^{[注 1] が}集合の付着点であることを保証すること を意味します 。想定されていることに加えて、連続関数 が増加または非減少関数でもある場合、次のように結論付けることもできます。 これは、たとえば、 が定義域の sup ノルムが有限である実数値（または複素数 ）関数である場合はいつでも、負でないすべての実数 に対して であると結論付けるのに使用できます。によって定義されるマップは、定義 域に常に と が含まれる連続非減少関数であるためです。${\displaystyle f}$${\displaystyle s_{1},s_{2},\ldots }$${\displaystyle p,}$${\displaystyle f\left(s_{1}\right),f\left(s_{2}\right),\ldots }$${\displaystyle f(p).}$${\displaystyle \lim _{n\to \infty }s_{n}=\sup S}$${\displaystyle s_{1},s_{2},\ldots }$${\displaystyle S}$${\displaystyle f}$${\displaystyle S}$${\displaystyle \sup S,}$$${\displaystyle f(\sup S)=f\left(\lim _{n\to \infty }s_{n}\right)=\lim _{n\to \infty }f\left(s_{n}\right),}$$${\displaystyle f(\sup S)}$${\displaystyle f(S)\,{\stackrel {\scriptscriptstyle {\text{def}}}{=}}\,\{f(s):s\in S\}.}$${\displaystyle f}$${\displaystyle \sup f(S)=f(\sup S).}$${\displaystyle g}$${\displaystyle \Omega \neq \varnothing }$ ${\displaystyle \|g\|_{\infty }\,{\stackrel {\scriptscriptstyle {\text{def}}}{=}}\,\sup _{x\in \Omega }|g(x)|}$${\displaystyle q,}$ $${\displaystyle \|g\|_{\infty }^{q}~{\stackrel {\scriptscriptstyle {\text{def}}}{=}}~\left(\sup _{x\in \Omega }|g(x)|\right)^{q}=\sup _{x\in \Omega }\left(|g(x)|^{q}\right)}$$${\displaystyle f:[0,\infty )\to \mathbb {R} }$${\displaystyle f(x)=x^{q}}$${\displaystyle [0,\infty )}$${\displaystyle S:=\{|g(x)|:x\in \Omega \}}$${\displaystyle \sup S\,{\stackrel {\scriptscriptstyle {\text{def}}}{=}}\,\|g\|_{\infty }.}$

この議論は に焦点を当てていますが、適切な変更（が非減少ではなく非増加であることを要求するなど）により、 についても同様の結論に達することができます。 またはで定義されるその他のノルムには、の弱空間ノルム、ルベーグ空間のノルム、および演算子ノルムが含まれます。（または）に収束するの単調なシーケンスも、以下に示す式の多くを証明するために使用できます。これは、実数の加算と乗算が連続演算であるためです。 ${\displaystyle \sup ,}$${\displaystyle \inf }$${\displaystyle f}$${\displaystyle \sup }$${\displaystyle \inf }$${\displaystyle L^{p,w}}$${\displaystyle 1\leq p<\infty }$ ${\displaystyle L^{\infty }(\Omega ,\mu ),}$${\displaystyle S}$${\displaystyle \sup S}$${\displaystyle \inf S}$

次の式は、集合上の算術演算を便利に一般化する表記法に依存しています。全体を通して、は実数の集合です。 ${\displaystyle A,B\subseteq \mathbb {R} }$

セットの合計

2つの集合と実数のミンコフスキー和は、各集合から1つずつの数のペアの算術和の可能なすべてからなる集合 である 。ミンコフスキー和の最小値と最大値は次式を満たし 、 ${\displaystyle A}$${\displaystyle B}$$${\displaystyle A+B~:=~\{a+b:a\in A,b\in B\}}$$$${\displaystyle \inf(A+B)=(\inf A)+(\inf B)}$$$${\displaystyle \sup(A+B)=(\sup A)+(\sup B).}$$

集合の積

2 つの集合と実数の 乗算は、ミンコフスキー和と同様に定義されます。${\displaystyle A}$${\displaystyle B}$$${\displaystyle A\cdot B~:=~\{a\cdot b:a\in A,b\in B\}.}$$

とが正の実数の空でない集合である場合、同様に上限についても^[3]${\displaystyle A}$${\displaystyle B}$${\displaystyle \inf(A\cdot B)=(\inf A)\cdot (\inf B)}$${\displaystyle \sup(A\cdot B)=(\sup A)\cdot (\sup B).}$

集合のスカラー積

実数と実数の集合の積は、 ${\displaystyle r}$${\displaystyle B}$$${\displaystyle rB~:=~\{r\cdot b:b\in B\}.}$$

if then while if then と表記法 を使用すると、次のようになります。 ${\displaystyle r\geq 0}$$${\displaystyle \inf(r\cdot A)=r(\inf A)\quad {\text{ and }}\quad \sup(r\cdot A)=r(\sup A),}$$${\displaystyle r\leq 0}$$${\displaystyle \inf(r\cdot A)=r(\sup A)\quad {\text{ and }}\quad \sup(r\cdot A)=r(\inf A).}$$${\displaystyle r=-1}$${\textstyle -A:=(-1)A=\{-a:a\in A\},}$$${\displaystyle \inf(-A)=-\sup A\quad {\text{ and }}\quad \sup(-A)=-\inf A.}$$

集合の逆数

を含まない任意 の集合に対して、${\displaystyle S}$${\displaystyle 0,}$$${\displaystyle {\frac {1}{S}}~:=\;\left\{{\tfrac {1}{s}}:s\in S\right\}.}$$

が空でない 場合、この等式は定義が使用される 場合にも成立します。^[注2]この等式は 、 次のようにも書くことができます 。さらに、がの場合に限り、が^[注2]の場合に限り、${\displaystyle S\subseteq (0,\infty )}$$${\displaystyle {\frac {1}{\sup _{}S}}~=~\inf _{}{\frac {1}{S}}}$$${\displaystyle \sup _{}S=\infty }$${\displaystyle {\frac {1}{\infty }}:=0}$${\displaystyle {\frac {1}{\displaystyle \sup _{s\in S}s}}=\inf _{s\in S}{\tfrac {1}{s}}.}$${\displaystyle \inf _{}S=0}$${\displaystyle \sup _{}{\tfrac {1}{S}}=\infty ,}$ ${\displaystyle \inf _{}S>0,}$${\displaystyle {\tfrac {1}{\inf _{}S}}=\sup _{}{\tfrac {1}{S}}.}$

逆の順序関係を持つ半順序集合を で表す場合、つまり、すべてに対して を宣言する場合、 内 の部分集合の最小値は内の最大値に等しく、逆もまた同様です。 ${\displaystyle P^{\operatorname {op} }}$${\displaystyle P}$${\displaystyle x{\text{ and }}y,}$$${\displaystyle x\leq y{\text{ in }}P^{\operatorname {op} }\quad {\text{ if and only if }}\quad x\geq y{\text{ in }}P,}$$${\displaystyle S}$${\displaystyle P}$${\displaystyle S}$${\displaystyle P^{\operatorname {op} }}$

実数の部分集合に対しては、別の種類の双対性が成り立つ。ここで${\displaystyle \inf S=-\sup(-S),}$${\displaystyle -S:=\{-s~:~s\in S\}.}$

• 数値の集合の最小値は、その数値は下限値ですが、最大の下限値ではないため、最小値ではありません。${\displaystyle \{2,3,4\}}$${\displaystyle 2.}$${\displaystyle 1}$
• より一般的には、集合に最小の要素がある場合、その最小の要素はその集合の最小値です。この場合、その最小値は集合の最小値とも呼ばれます。
• ${\displaystyle \inf\{1,2,3,\ldots \}=1.}$
• ${\displaystyle \inf\{x\in \mathbb {R} :0<x<1\}=0.}$
• ${\displaystyle \inf \left\{x\in \mathbb {Q} :x^{3}>2\right\}={\sqrt[{3}]{2}}.}$
• ${\displaystyle \inf \left\{(-1)^{n}+{\tfrac {1}{n}}:n=1,2,3,\ldots \right\}=-1.}$
• が極限値を持つ減少列である場合、${\displaystyle \left(x_{n}\right)_{n=1}^{\infty }}$${\displaystyle x,}$${\displaystyle \inf x_{n}=x.}$

• 数の集合の上限は、その数は上限ですが、最小の上限ではないため、上限ではありません。${\displaystyle \{1,2,3\}}$${\displaystyle 3.}$${\displaystyle 4}$
• ${\displaystyle \sup\{x\in \mathbb {R} :0<x<1\}=\sup\{x\in \mathbb {R} :0\leq x\leq 1\}=1.}$
• ${\displaystyle \sup \left\{(-1)^{n}-{\tfrac {1}{n}}:n=1,2,3,\ldots \right\}=1.}$
• ${\displaystyle \sup\{a+b:a\in A,b\in B\}=\sup A+\sup B.}$
• ${\displaystyle \sup \left\{x\in \mathbb {Q} :x^{2}<2\right\}={\sqrt {2}}.}$

最後の例では、有理数集合の上限は無理数であり、これは有理数が不完全であることを意味します。

上限の基本的な性質の1つは 、任意の関数 に対して$${\displaystyle \sup\{f(t)+g(t):t\in A\}~\leq ~\sup\{f(t):t\in A\}+\sup\{g(t):t\in A\}}$$ ${\displaystyle f}$${\displaystyle g.}$

の部分集合の上限は、が「を割り切る」を表す場合、の要素の最小公倍数です。${\displaystyle S}$${\displaystyle (\mathbb {N} ,\mid \,)}$${\displaystyle \,\mid \,}$${\displaystyle S.}$

ある集合のサブセットを含む集合の上限は、半順序集合（は のべき集合、はサブセット）を考慮したときのサブセットの和集合です。 ${\displaystyle S}$${\displaystyle X}$${\displaystyle (P(X),\subseteq )}$${\displaystyle P}$${\displaystyle X}$${\displaystyle \,\subseteq \,}$

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• R・ティレル・ロッカフェラー;ウェッツ、ロジャー J.-B. (2009 年 6 月 26 日)。変分分析。 Grundlehren der mathematischen Wissenschaften。 Vol. 317. ベルリン、ニューヨーク: Springer Science & Business Media。ISBN 9783642024313. OCLC  883392544.

• 「上限と下限」、数学百科事典、EMS Press、2001 [1994]
• Breitenbach, Jerome R. & Weisstein, Eric W. 「最小値と最大値」。MathWorld。