スカラー（数学）

ベクトル空間は、ベクトルの集合（加法アーベル群）、スカラーの集合（体）、およびスカラーkとベクトルvを入力として別のベクトルk vを生成するスカラー乗算演算によって定義されます。たとえば、座標空間では、スカラー乗算${\displaystyle k(v_{1},v_{2},\dots ,v_{n})}$収量${\displaystyle (kv_{1},kv_{2},\dots ,kv_{n})}$（線形）関数空間において、kfは関数x ↦ k ( f ( x ))である。

スカラーは、有理数、代数数、実数、複素数、有限体など、あらゆる体から取ることができます。

線形代数の基本定理によれば、すべてのベクトル空間には基底が存在します。したがって、体K上のすべてのベクトル空間は、対応する座標ベクトル空間と同型であり、各座標はKの要素から構成されます(例えば、座標 ( a ₁ , a ₂ , ..., a _n )、ここでa _i ∈ K、nは対象となるベクトル空間の次元です)。例えば、次元nのすべての実ベクトル空間は、 n次元実空間R ⁿと同型です。

あるいは、ベクトル空間Vには、 V内のすべてのベクトルvにスカラー || v ||を割り当てるノルム関数を装備することもできます。定義により、vにスカラーkを掛けると、そのノルムも | k | 倍になります。|| v || をvの長さと解釈すると、この操作はvの長さをk 倍にスケーリングすることとして記述できます。ノルムを備えたベクトル空間は、ノルム付きベクトル空間（またはノルム付き線形空間）と呼ばれます。

ノルムは通常、ベクトル空間Vのスカラー体Kの要素として定義されますが、これにより K は符号の概念をサポートする体に限定されます。さらに、V の次元が 2 以上の場合、K は平方根演算と 4 つの算術演算に関して閉じていなければなりません。したがって、有理数体Qは除外されますが、無理数体は許容されます。このため、すべてのスカラー積空間がノルム付きベクトル空間であるとは限りません。

スカラーの集合が体を形成するという要件が緩和され、環を形成するだけでよい場合（例えば、スカラーの除法が定義される必要はなく、スカラーが可換である必要もない）、結果として得られるより一般的な代数構造はモジュールと呼ばれます。

この場合、「スカラー」は複雑な対象になり得る。例えば、Rが環である場合、積空間R ⁿのベクトルは、 Rの要素をスカラーとするn  × n行列との加群にすることができる。別の例としては、多様体理論において、接束の切断空間が多様体上の実関数の代数上の加群を形成することが挙げられる。 

ベクトル空間とモジュールのスカラー乗算は、スケーリングの一種である線形変換の特殊なケースです。