抽象ウィーナー空間

抽象ウィーナー空間の概念は、無限次元空間上のガウス測度の構造を理解するためにレナード・グロスが開発した数学的構成である。この構成は、キャメロン・マーティン空間が果たす基本的な役割を強調している。古典的なウィーナー空間は典型的な例である。

ガウス測度の構造定理は、すべてのガウス測度が抽象的なウィーナー空間構成によって表現できること を述べています。

を実ヒルベルト空間とし、無限次元かつ可分であると仮定する。物理学の文献では、次のような積分がよく使われる。 ${\displaystyle H}$

${\frac {1}{Z}}\int _{H}f(v)e^{-{\frac {1}{2}}\Vert v\Vert ^{2}}Dv、$

ここで、 は正規化定数、 は上の存在しないルベーグ測度であると考えられます。このような積分は、特に、量子場の理論のユークリッド経路積分定式化の文脈で生じます。数学的なレベルでは、このような積分は、元のヒルベルト空間 上の測度に対する積分として解釈することはできません。一方、 は、を稠密な部分空間として含むバナッハ空間であるとします。が よりも「十分に大きい」場合、上記の積分は 上の明確に定義された（ガウス）測度に対する積分として解釈できます。その場合、このペアは抽象ウィーナー空間と呼ばれます。 ${\displaystyle Z}$${\displaystyle Dv}$${\displaystyle H}$${\displaystyle H}$${\displaystyle B}$${\displaystyle H}$${\displaystyle B}$${\displaystyle H}$${\displaystyle B}$${\displaystyle (H,B)}$

典型的な例は古典的なウィーナー空間であり、ここで は における第1導関数を持ちを満たす区間上の実数値関数のヒルベルト空間であり、ノルムは次のように与えられる。 ${\displaystyle H}$${\displaystyle b}$${\displaystyle [0,T]}$${\displaystyle L^{2}}$${\displaystyle b(0)=0}$

${\displaystyle \left\Vert b\right\Vert ^{2}=\int _{0}^{T}b'(t)^{2}\,dt.}$

その場合、 は、上限ノルムを持つ上の連続関数のバナッハ空間とみなすことができます。この場合、 上の測度は、原点から始まるブラウン運動を記述するウィーナー測度です。元の部分空間はキャメロン・マーティン空間と呼ばれ、ウィーナー測度に関して測度ゼロの集合を形成します。 ${\displaystyle B}$${\displaystyle [0,T]}$${\displaystyle B}$${\displaystyle H\subset B}$

上の例が意味するのは、ウィーナー測度の 形式的な表現が次のように与えられるということである。$${\displaystyle d\mu (b)={\frac {1}{Z}}\exp \left\{-{\frac {1}{2}}\int _{0}^{T}b'(t)^{2}\,dt\right\}\,Db.}$$

この形式的な表現は、ウィーナー測度が のパスの空間上に存在するはずであることを示唆していますが、実際にはそうではありません。(ブラウンパスは、確率 1 でどこでも微分不可能であることが知られています。) ${\textstyle \int _{0}^{T}b'(t)^{2}\,dt<\infty }$

グロスの抽象ウィーナー空間構成は、古典的なウィーナー空間の状況を抽象化し、 上にガウス測度が存在するための必要かつ十分な（確認が難しい場合もありますが）条件を提供します。 ガウス測度はではなく上に存在するものの、の特性を制御するのは ではなく の幾何学です。グロス自身が述べているように^[1]（表記法に合わせて改変）、「しかし、実ヒルベルト空間上の正規分布を扱った IE Segal の研究によって初めて、ヒルベルト空間の役割が確かに中心的であり、 上の解析に関する限り、 の役割はCameron と Martin の定理の多くにとって補助的なものであり、場合によっては不必要でさえあることが明らかになりました。」グロスの抽象ウィーナー空間構成の魅力的な特徴の 1 つは、 を出発点として を補助的なオブジェクトとして扱うことです。 ${\displaystyle B}$${\displaystyle \mu}$${\displaystyle B}$${\displaystyle H}$${\displaystyle H}$${\displaystyle B}$${\displaystyle \mu}$${\displaystyle H}$${\displaystyle B}$${\displaystyle B}$${\displaystyle H}$${\displaystyle B}$

このセクションの前半で登場したの正式な表現は、純粋に形式的な物理学風の表現ですが、 の特性を理解するのに非常に役立ちます。特に、これらの表現を使用して、に対する変換された測度の密度の (正しい!) 式を簡単に導くことができます(の場合)。( Cameron–Martin の定理を参照してください。) ${\displaystyle \mu}$${\displaystyle \mu}$${\displaystyle d\mu (b+h)}$${\displaystyle d\mu (b)}$${\displaystyle h\in H}$

を実数上に定義されたヒルベルト空間とし、無限次元かつ可分であると仮定する。における円筒集合は、 上の線型関数の有限集合の値によって定義される集合である。具体的には、が 上の連続線型関数であり、 がのボレル集合であるとする。すると、集合 ${\displaystyle H}$${\displaystyle H}$${\displaystyle H}$${\displaystyle \phi _{1},\ldots ,\phi _{n}}$${\displaystyle H}$${\displaystyle E}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$$${\displaystyle C=\left\{v\in H\mid (\phi _{1}(v),\ldots ,\phi _{n}(v))\in E\right\}.}$$

このタイプの集合は円筒集合と呼ばれます。すべての円筒集合の集合は の集合の代数を形成しますが、 -代数ではありません。 ${\displaystyle H}$${\displaystyle \sigma}$

円筒集合上の「測度」を定義する自然な方法は、次のとおりです。リースの表現定理により、線形関数はのベクトルとの内積として与えられます。グラム・シュミット法に照らして、 が正規直交であると仮定しても問題ありません。その場合、 上の標準ガウス測度に関する の測度を、上で定義した円筒集合に関連付けることができます。つまり、 を定義します 。 ここで は上の標準ルベーグ測度です。 上の標準ガウス測度の積構造のため、 が適切に定義されていることを示すのは難しくありません。つまり、同じ集合を複数の方法で円筒集合として表現できますが、 の値は常に同じです。 ${\displaystyle \phi _{1},\ldots ,\phi _{n}}$${\displaystyle v_{1},\ldots ,v_{n}}$${\displaystyle H}$${\displaystyle v_{1},\ldots ,v_{n}}$${\displaystyle C}$${\displaystyle E}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$$${\displaystyle \mu (C)=(2\pi )^{-n/2}\int _{E\subset \mathbb {R} ^{n}}e^{-\Vert x\Vert ^{2}/2}\,dx,}$$${\displaystyle dx}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$${\displaystyle \mu}$${\displaystyle C}$${\displaystyle \mu (C)}$

集合汎関数は上の標準ガウス円筒集合測度と呼ばれる。 が無限次元であると仮定すると（ここで仮定しているように） 、は の円筒集合の集合によって生成される -代数上の可算加法測度には拡張されない。上の 標準ガウス測度の振る舞いを考察することで困難さを理解することができる。${\displaystyle \mu}$${\displaystyle H}$${\displaystyle H}$${\displaystyle \mu}$ ${\displaystyle \sigma}$${\displaystyle H}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{n},}$$${\displaystyle (2\pi )^{-n/2}e^{-\Vert x\Vert ^{2}/2}\,dx.}$$

この尺度に関する二乗ノルムの期待値は、次のように 基本的なガウス積分として計算される。$${\displaystyle (2\pi )^{-n/2}\int _{\mathbb {R} ^{n}}\Vert x\Vert ^{2}e^{-\Vert x\Vert ^{2}/2}\,dx=(2\pi )^{-n/2}\sum _{i=1}^{n}\int _{\mathbb {R} }x_{i}^{2}e^{-x_{i}^{2}/2}\,dx_{i}=n.}$$

つまり、 上の標準ガウス測度に従ってランダムに選択されたベクトルの原点からの典型的な距離は、 が無限大に近づくにつれて、この典型的な距離も無限大に近づくため、 上には明確に定義された「標準ガウス」測度が存在しないことがわかります。 (原点からの典型的な距離は無限大であるため、測度は実際には空間 上に存在しません。) ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$${\displaystyle {\sqrt {n}}.}$${\displaystyle n}$${\displaystyle H}$${\displaystyle H}$

ここで、 が可分なバナッハ空間であり、 がにおいて像が稠密である単射連続線型写像であると仮定します。このとき、 を の内部の像と同一視し、を の稠密部分集合とみなすことは無害（かつ便利）です。次に、の以前に定義された円筒集合測度（ における円筒集合）として円筒集合の測度を定義することで、 における円筒集合測度を構築できます。 ${\displaystyle B}$${\displaystyle i:H\rightarrow B}$ ${\displaystyle B}$${\displaystyle H}$${\displaystyle B}$${\displaystyle H}$${\displaystyle B}$${\displaystyle B}$${\displaystyle C\subset B}$${\displaystyle C\cap H}$${\displaystyle H}$

抽象ウィーナー空間構成の考え方は、が より十分に大きい場合、 上の円筒集合測度は、 上の円筒集合測度とは異なり、生成された -代数上の可算加法測度に拡張されるというものです。 Gross の原著論文^[2]では、これが当てはまるための 上の必要十分条件が示されています。 上の測度はガウス測度と呼ばれ、部分空間はCameron–Martin 空間と呼ばれます。が の内部で測度ゼロの集合を形成することを強調することが重要です。これは、ガウス測度が 上でのみ存在し、 上では存在しないことを強調するものです。 ${\displaystyle B}$${\displaystyle H}$${\displaystyle B}$${\displaystyle H}$${\displaystyle \sigma }$${\displaystyle B}$${\displaystyle B}$${\displaystyle H\subset B}$${\displaystyle H}$${\displaystyle B}$${\displaystyle B}$${\displaystyle H}$

この議論全体の結論は、動機のセクションで説明した種類のガウス積分は厳密な数学的解釈を持つが、形式表現の指数にノルムが発生する空間上には存在しないということである。むしろ、それらはより大きな空間に存在する。

抽象ウィーナー空間の構成は、単にガウス測度を構築する方法の 1 つではありません。むしろ、無限次元バナッハ空間上のすべてのガウス測度は、このようにして発生します。(ガウス測度 の構造定理を参照してください。) つまり、無限次元の可分バナッハ空間 ( 上) 上のガウス測度が与えられた場合、キャメロン-マーティン部分空間を特定することができ、その時点でペアは抽象ウィーナー空間になり、 は関連するガウス測度になります。 ${\displaystyle \mu }$${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle H\subset B}$${\displaystyle (H,B)}$${\displaystyle \mu }$

• ${\displaystyle \mu }$はボレル測度です。これは、Bの開集合によって生成されるボレル σ 代数上で定義されます。
• ${\displaystyle \mu }$は、任意の線形関数f ∈ B ^∗、f ≠ 0に対してf _∗ ( ) がR上のガウス測度であるという意味でガウス測度です。${\displaystyle \mu }$
• したがって、は厳密に正であり、局所的に有限です。${\displaystyle \mu }$
• 不足変換の挙動は、キャメロン・マーティンの定理によって記述されます。${\displaystyle \mu }$
• 2つの抽象ウィーナー空間i ₁  : H ₁ → B ₁とi ₂  : H ₂ → B ₂が与えられている場合、 が示せます。 完全には、すなわち、直積B ₁ × B ₂上の抽象ウィーナー測度は、 2つの因子B ₁とB ₂上の抽象ウィーナー測度の積です。${\displaystyle \gamma _{12}=\gamma _{1}\otimes \gamma _{2}}$$${\displaystyle (i_{1}\times i_{2})_{*}(\mu ^{H_{1}\times H_{2}})=(i_{1})_{*}\left(\mu ^{H_{1}}\right)\otimes (i_{2})_{*}\left(\mu ^{H_{2}}\right),}$$${\displaystyle \mu _{12}}$
• H (およびB ) が無限次元の場合、 Hの像は測度 0 を持ちます。 この事実はコルモゴロフのゼロ-1 法則の結果です。

抽象ウィーナー空間の典型的な例は、連続パスの空間 であり、古典ウィーナー空間として知られています。これは、 がで与えられ 、内積 がで与えられる 抽象ウィーナー空間であり 、 は0 から始まり、一様ノルムを持つから への連続写像の空間です。この場合、ガウス測度はウィーナー測度であり、これは原点から始まる におけるブラウン運動を記述します。${\displaystyle H}$$${\displaystyle H:=L_{0}^{2,1}([0,T];\mathbb {R} ^{n}):=\{{\text{Absolutely continuous paths starting at 0 with square-integrable first derivative}}\}}$$$${\displaystyle \langle \sigma _{1},\sigma _{2}\rangle _{L_{0}^{2,1}}:=\int _{0}^{T}\langle {\dot {\sigma }}_{1}(t),{\dot {\sigma }}_{2}(t)\rangle _{\mathbb {R} ^{n}}\,dt,}$$${\displaystyle B}$${\displaystyle [0,T]}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$${\displaystyle \mu }$${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$

この場合に に関して測度ゼロの集合を形成する一般的な結果は、 はどこでも微分可能ではないことが知られている典型的なブラウン運動経路の粗さを反映しています。これは、 における経路の仮定された微分可能性とは対照的です。 ${\displaystyle H}$${\displaystyle \mu }$${\displaystyle H}$

• ベソフ測度 – ベソフノルムを用いたガウス測度の一般化
• キャメロン・マーティン定理 – ヒルベルト空間上のガウス測度（ウィーナー測度）の変換を定義する定理。
• フェルドマン・ハジェックの定理 – 確率論における理論
• ガウス測度の構造定理 – 数学定理
• 無限次元ルベーグ測度は存在しない – 数学の伝説Pages displaying short descriptions of redirect targets

• ベル、デニス R. (2006)。マリアヴァン計算。ニューヨーク州ミネオラ: Dover Publications Inc. p. x+ 113。ISBN 0-486-44994-7MR  2250060 。（セクション1.1を参照）
• Gross, Leonard (1967)。「抽象ウィーナー空間」。第 5 回バークレーシンポジウム議事録。数学、統計学、確率論 (カリフォルニア州バークレー、1965/66)、第 2 巻: 確率論への貢献、第 1 部。カリフォルニア州バークレー: カリフォルニア大学出版局。pp. 31–42。MR 0212152  。
• クオ、フイ・シュン（1975）。バナッハ空間におけるガウス測度。ベルリン・ニューヨーク：シュプリンガー。p. 232。ISBN 978-1419645808。