調和関数

調和関数は開集合内で無限回微分可能です。実際、調和関数は実解析関数です。

調和関数は次の最大値原理を満たす：もし⁠${\displaystyle K}$はの空でないコンパクト部分集合である${\displaystyle U}$⁠、それから⁠${\displaystyle f}$制限されている${\displaystyle K}$境界上で最大値と最小値をとる${\displaystyle K}$⁠ . もし⁠${\displaystyle U}$⁠は接続されています。これは、 ⁠${\displaystyle f}$局所的な最大値または最小値を持つことはできません。ただし、例外的な場合として、${\displaystyle f}$は定数です。同様の性質は、劣調和関数にも示すことができます。

もし​${\displaystyle B(x,r)}$中心がのボールです${\displaystyle x}$⁠と半径⁠${\displaystyle r}$⁠これは開集合に完全に含まれる$\displaystyle \Omega \subset \mathbb {R} ^{n}}$⁠、すると値⁠${\displaystyle u(x)}$調和関数の${\displaystyle u:\Omega \to \mathbb {R} }$ボールの中心は、の平均値で与えられる。${\displaystyle u}$ボールの表面上の平均値は、の平均値にも等しい。${\displaystyle u}$ボールの内部で。言い換えれば、 $${\displaystyle u(x)={\frac {1}{n\omega _{n}r^{n-1}}}\int _{\partial B(x,r)}u\,d\sigma ={\frac {1}{\omega _{n}r^{n}}}\int _{B(x,r)}u\,dV}$$ どこで$\displaystyle \omega _{n}}$は単位球の体積です。${\displaystyle n}$寸法と​${\displaystyle \sigma }$⁠は⁠${\displaystyle (n-1)}$次元表面積測定。

逆に、（体積）平均値の性質を満たす局所的に積分可能な関数はすべて、無限回微分可能かつ調和関数である。

畳み込みの観点から言えば、 $$\displaystyle \chi _{r}:={\frac {1}{|B(0,r)|}}\chi _{B(0,r)}={\frac {n}{\omega _{n}r^{n}}}\chi _{B(0,r)}}$$は半径 ⁠ の球の特性関数 を表す。${\displaystyle r}$原点を基準として、正規化して${\displaystyle \textstyle \int _{\mathbb {R} ^{n}}\chi _{r}\,dx=1}$⁠、関数⁠${\displaystyle u}$⁠は、 ⁠で調和しています${\displaystyle \Omega }$⁠の場合に限り $${\displaystyle u(x)=u*\chi _{r}(x)}$$すべての人 にとって${\displaystyle x}$そして​​${\displaystyle r}$⁠そのため⁠${\displaystyle B(x,r)\subset \Omega }$⁠ .

証明の概略。調和関数の平均値の性質とその逆の証明は、任意の⁠に対して非同次方程式が成り立つことを観察することで直ちに得られる。${\displaystyle 0<s<r}$⁠$${\displaystyle \Delta w=\chi _{r}-\chi _{s}}$$ 簡単な明示的な解決策を認める${\displaystyle w_{r,s}}$クラスの​${\displaystyle C_{1,1}}$コンパクトなサポート付き${\displaystyle B(0,r)}$したがって、もし${\displaystyle u}$⁠は調和的である⁠${\displaystyle \Omega }$⁠$${\displaystyle 0=\Delta u*w_{r,s}=u*\Delta w_{r,s}=u*\chi _{r}-u*\chi _{s}}$$ セットに含まれる${\displaystyle \Omega _{r}}$すべてのポイントの中で${\displaystyle x}$⁠で⁠${\displaystyle \Omega }$⁠と共に⁠${\displaystyle \operatorname {dist} (x,\partial \Omega )>r}$⁠

以来​${\displaystyle u}$は連続である${\displaystyle \Omega }$⁠、${\displaystyle u*\chi _{s}}$に収束する${\displaystyle u}$⁠として⁠${\displaystyle s\to 0}$平均値の特性を示す${\displaystyle u}$⁠で⁠${\displaystyle \Omega }$逆に、もし${\displaystyle u}$⁠はどれですか${\displaystyle L_{\mathrm {loc} }^{1}}$平均値の性質を満たす関数${\displaystyle \Omega }$つまり 、$${\displaystyle u*\chi _{r}=u*\chi _{s}}$$ 保持する⁠${\displaystyle \Omega _{r}}$すべての人々のために${\displaystyle 0<s<r}$⁠次に、反復する${\displaystyle m}$畳み込みを倍にして${\displaystyle \xi _{r}}$1つは以下を持つ： $${\displaystyle u=u*\chi _{r}=u*\chi _{r}*\cdots *\chi _{r}\,,\qquad x\in \Omega _{mr},}$$その ため${\displaystyle u}$⁠は${\displaystyle C^{m-1}(\Omega _{mr})}$なぜなら​${\displaystyle m}$⁠ -倍反復畳み込み⁠${\displaystyle \xi _{r}}$⁠はクラス${\displaystyle C^{m-1}}$サポート付き ${\displaystyle B(0,mr)}$⁠ . 以来⁠${\displaystyle r}$そして​​${\displaystyle m}$任意であり、${\displaystyle u}$⁠は${\displaystyle C^{\infty }(\Omega )}$それも。さらに、 $${\displaystyle \Delta u*w_{r,s}=u*\Delta w_{r,s}=u*\chi _{r}-u*\chi _{s}=0}$$すべての人 にとって${\displaystyle 0<s<r}$そのため​${\displaystyle \Delta u=0}$⁠で⁠${\displaystyle \Omega }$変分法の基本定理により、調和性と平均値の性質の等価性を証明する。

平均値の性質に関するこの記述は、次のように一般化できます。もし⁠${\displaystyle h}$は、でサポートされている任意の球対称関数です。${\displaystyle B(x,r)}$⁠そのため⁠${\displaystyle \textstyle \int h=1}$⁠、それから⁠${\displaystyle u(x)=h*u(x)}$つまり、次の加重平均を取ることができます。${\displaystyle u}$約1ポイントで回復する${\displaystyle u(x)}$特に、​${\displaystyle h}$⁠になる⁠${\displaystyle C^{\infty }}$関数を使用すると、値を取得できます。${\displaystyle u}$たとえどんな時点でも、私たちが知っているのは${\displaystyle u}$分布として作用する。ワイルの補題を参照。

させて $${\displaystyle V\subset {\overline {V}}\subset \Omega }$$有界 領域内の連結集合である${\displaystyle \Omega }$⁠。そして、すべての非負の調和関数に対して、${\displaystyle u}$ハーナックの 不等式$${\displaystyle \sup _{V}u\leq C\inf _{V}u}$$ある定数 に対して成り立つ${\displaystyle C}$それは、${\displaystyle V}$そして​​${\displaystyle \Omega }$⁠ .

調和関数については、以下の特異点除去の原理が成り立つ。もし⁠${\displaystyle f}$は、点線で囲まれた開部分集合上で定義された調和関数です${\displaystyle \Omega \smallsetminus \{x_{0}\}}$の⁠${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$⁠では、特異性は少なくなります⁠${\displaystyle x_{0}}$基本解よりも（${\displaystyle n>2}$つまり​ $${\displaystyle f(x)=o\left(\vert x-x_{0}\vert ^{2-n}\right),\qquad {\text{as }}x\to x_{0},}$$ それから${\displaystyle f}$⁠ は、上の調和関数に拡張されます。${\displaystyle \Omega }$（複素変数関数に関するリーマンの定理と比較してください

定理：もし⁠${\displaystyle f}$は、すべての上で定義された調和関数です。${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$上に制限があるか下に制限がある場合、${\displaystyle f}$は定数です。

（複素変数関数に関するリウヴィルの定理と比較してください。）

エドワード・ネルソンは、上記の平均値の性質を用いて、有界関数の場合についてこの定理の特に簡潔な証明を与えた^{[ 2 ] 。}

与えられた2点を中心とし、半径が等しい2つの球を選択します。半径が十分に大きい場合、2つの球は体積のごくわずかな部分を除いて一致します。${\displaystyle f}$は有界であり、2 つのボールにおけるその平均値は任意に近く、したがって${\displaystyle f}$任意の2点で同じ値をとる 。

この証明は調和関数の場合にも適用できる。${\displaystyle f}$は単に上または下に制限されているだけです。定数を追加し、場合によってはを掛けることで${\displaystyle -1}$⁠、我々は次のように仮定できる。${\displaystyle f}$は非負である。すると、任意の2点に対して⁠${\displaystyle x}$そして​​${\displaystyle y}$⁠、そして任意の正の数⁠${\displaystyle R}$⁠、私たちは⁠${\displaystyle r=R+d(x,y)}$⁠。次に、ボールについて考えます。${\displaystyle B_{R}(x)}$そして​​${\displaystyle B_{r}(y)}$ここで、三角形の不等式により、最初のボールは2番目のボールの中に含まれています。

積分の平均性および単調性により、 $${\displaystyle f(x)={\frac {1}{\operatorname {vol} (B_{R})}}\int _{B_{R}(x)}f(z)\,dz\leq {\frac {1}{\operatorname {vol} (B_{R})}}\int _{B_{r}(y)}f(z)\,dz.}$$ （注意：${\displaystyle \operatorname {vol} B_{R}(x)}$はに依存しない${\displaystyle x}$⁠、それを単に ⁠ と表記します。${\displaystyle \operatorname {vol} (B_{R})}$⁠ .) 最後の式では、 を掛けたり割ったりすることができます。${\displaystyle \operatorname {vol} (B_{r})}$そして再び平均化の性質を用いて、 $${\displaystyle f(x)\leq {\frac {\operatorname {vol} (B_{r})}{\operatorname {vol} (B_{R})}}f(y).}$$ しかし、${\displaystyle R\rightarrow \infty }$数量​ $${\displaystyle {\frac {\operatorname {vol} (B_{r})}{\operatorname {vol} (B_{R})}}={\frac {\left(R+d(x,y)\right)^{n}}{R^{n}}}}$$ 傾向がある${\displaystyle 1}$したがって、​${\displaystyle f(x)\leq f(y)}$⁠。役割についても同様の議論があります。${\displaystyle x}$そして​​${\displaystyle y}$逆さまにすると、${\displaystyle f(y)\leq f(x)}$⁠、そのため⁠${\displaystyle f(x)=f(y)}$⁠ .

別の証明では、ブラウン運動 が与えられた場合、${\displaystyle B_{t}}$⁠で⁠${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$⁠、したがって⁠${\displaystyle B_{0}=x_{0}}$⁠、私たちは${\displaystyle E[f(B_{t})]=f(x_{0})}$すべての人にとって${\displaystyle t\geq 0}$⁠。つまり、調和関数がブラウン運動のマルチンゲールを定義するということです。そして、確率的結合の議論によって証明が完了します。 ^{[ 3 ]}

関数（またはより一般的には分布）が弱調和的であるのは、ラプラス方程式を満たす場合である。 $${\displaystyle \Delta f=0\,}$$弱い意味 で（あるいは、分布の意味で）。弱調和関数はほとんど至るところで強調和関数と一致し、特に滑らかである。弱調和分布はまさに強調和関数に関連付けられた分布であり、したがって滑らかである。これがワイルの補題である。

ラプラス方程式には、しばしば有用な他の弱い定式化も存在する。その一つがディリクレの原理であり、これはソボレフ空間 における調和関数を表す。${\displaystyle H^{1}(}$ディリクレエネルギー積分 の最小化として$${\displaystyle J(u):=\int _{\Omega }|\nabla u|^{2}\,dx}$$ 局所的な変動に関して、つまりすべての関数${\displaystyle u\in H^{1}(\Omega )}$そのため${\displaystyle J(u)\leq J(u+v)}$すべてに適用される${\displaystyle v\in C_{\text{c}}^{\infty }(\Omega )}$⁠、または同等に、すべての⁠${\displaystyle v\in H_{0}^{1}(\Omega )}$⁠ .

調和関数は、ラプラス・ベルトラミ演算子を用いて、任意のリーマン多様体上で定義することができる。${\displaystyle \Delta }$この文脈では、関数が調和的であるとは 、$${\displaystyle \Delta f=0.}$$ ユークリッド空間の領域における調和関数の性質の多くは、このより一般的な設定にも引き継がれます。例えば、平均値の定理（測地線上の球体について）、最大値原理、ハーナックの不等式などが挙げられます。平均値の定理を除けば、これらは一般的な2階線形楕円型偏微分方程式に関する対応する結果から容易に導かれるものです。

A ⁠${\displaystyle C^{2}}$⁠を満たす関数⁠${\displaystyle \Delta f\geq 0}$は劣調和関数と呼ばれます。この条件は、調和関数の他の性質が成り立たない場合でも、最大値原理が成り立つことを保証します。より一般的には、関数が劣調和関数であるのは、その定義域内の任意の球の内部において、そのグラフが、その球上の境界値を補間する調和関数のグラフよりも下にある場合に限ります。

調和関数の研究の一般化の一つは、リーマン多様体上の調和形式の研究であり、これはコホモロジーの研究と関連している。また、調和ベクトル値関数、あるいは2つのリーマン多様体の調和写像を定義することも可能であり、これらは一般化されたディリクレエネルギー汎関数の臨界点である（これは調和関数を特殊な場合として含み、 ディリクレ原理として知られる結果である）。この種の調和写像は極小曲面の理論に現れる。例えば、曲線、すなわち区間から への写像である。${\displaystyle \mathbb {R} }$リーマン多様体への写像は、測地線である場合に限り調和写像となる。

もし​${\displaystyle M}$そして​​${\displaystyle N}$2 つのリーマン多様体である場合、調和写像${\displaystyle u:M\to N}$ディリクレエネルギーの臨界点として定義される $${\displaystyle D[u]={\frac {1}{2}}\int _{M}\left\|du\right\|^{2}\,d\operatorname {Vol} }$$ その中で${\displaystyle du:TM\to TN}$はの微分です${\displaystyle u}$⁠ 、そしてノルムは⁠上の計量によって誘導されるノルムである${\displaystyle M}$そしてそのことについて${\displaystyle N}$テンソル積バンドルについて${\displaystyle T^{\ast }M\otimes u^{-1}TN}$⁠ .

多様体間の調和写像の重要な特殊ケースには、極小曲面が含まれます。極小曲面とは、曲面を3次元ユークリッド空間に調和的に埋め込んだものです。より一般的には、極小部分多様体は、ある多様体を別の多様体に調和的に埋め込んだものです。 調和座標は、多様体から同じ次元のユークリッド空間の開部分集合への調和微分同相写像です。