段階的に測定可能なプロセス

数学において、漸進的測定可能性は確率過程の理論における性質である。漸進的測定可能過程は、極めて技術的に定義されるが、停止した過程が測定可能であることを意味するため重要である。漸進的測定可能であることは、適応過程であるという概念よりも厳密に強い性質である。^{[1]漸進的測定可能過程は}伊藤積分の理論において重要である。

させて

• ${\displaystyle (\Omega ,{\mathcal {F}},\mathbb {P} )}$確率空間である。
• ${\displaystyle (\mathbb {X} ,{\mathcal {A}})}$測定可能な空間、状態空間である。
• ${\displaystyle \{{\mathcal {F}}_{t}\mid t\geq 0\}}$シグマ代数のフィルタリングである。 ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$
• ${\displaystyle X:[0,\infty )\times \Omega \to \mathbb {X} }$確率過程である（インデックスセットはの代わりにまたはになる）。${\displaystyle [0,T]}$${\displaystyle \mathbb {N} _{0}}$${\displaystyle [0,\infty )}$
• ${\displaystyle \mathrm {Borel} ([0,t])}$上のボレルシグマ代数とする。${\displaystyle [0,t]}$

過程は漸進的に測定可能である^[2]（または単に漸進的）と言われるのは、すべての時間 に対して、によって定義される写像が-測定可能である場合である。これはが-適応されていることを意味する。^[1]${\displaystyle X}$${\displaystyle t}$${\displaystyle [0,t]\times \Omega \to \mathbb {X} }$${\displaystyle (s,\omega )\mapsto X_{s}(\omega )}$${\displaystyle \mathrm {Borel} ([0,t])\otimes {\mathcal {F}}_{t}}$${\displaystyle X}$${\displaystyle {\mathcal {F}}_{t}}$

部分集合は、過程が上で定義した意味で漸進的に測定可能である場合、漸進的に測定可能であると言われます。ここで、は の指示関数です。このような部分集合すべての集合は上のシグマ代数を形成し、と表記されます。過程が前の段落の意味で漸進的に測定可能であるのは、それが -測定可能である場合のみです。 ${\displaystyle P\subseteq [0,\infty )\times \Omega }$${\displaystyle X_{s}(\omega ):=\chi _{P}(s,\omega )}$${\displaystyle \chi _{P}}$${\displaystyle P}$${\displaystyle P}$${\displaystyle [0,\infty )\times \Omega }$${\displaystyle \mathrm {Prog} }$${\displaystyle X}$${\displaystyle \mathrm {Prog} }$

• ^[1]によれば、伊藤積分が成り立つ確率過程の空間は${\displaystyle L^{2}(B)}$${\displaystyle X:[0,T]\times \Omega \to \mathbb {R} ^{n}}$

${\displaystyle \int _{0}^{T}X_{t}\,\mathrm {d} B_{t}}$

ブラウン運動 に関して定義される、はにおける -測定可能な過程の同値類の集合です。${\displaystyle B}$${\displaystyle \mathrm {Prog} }$${\displaystyle L^{2}([0,T]\times \Omega ;\mathbb {R} ^{n})}$

• 左連続または右連続パスを持つすべての適応プロセスは漸進的に測定可能です。したがって、càdlàgパスを持つすべての適応プロセスは漸進的に測定可能です。^[1]
• 測定可能で適応されたプロセスには、段階的に測定可能な変更が伴う。^[1]