単調関数

数学において、単調関数（または単調関数）とは、順序付けられた集合間の関数で、与えられた順序を保持または反転させるものです。^{[ 1 ] [ 2 ] [ 3 ]}この概念は最初に微積分で現れ、後に順序理論のより抽象的な設定に一般化されました。

微積分学では、関数${\displaystyle f}$実数値の部分集合上で定義された関数は、完全に非減少であるか、完全に非増加である場合に単調であると呼ばれます 。 ^{[ 2 ]}つまり、図1に示すように、単調に増加する関数は必ずしも増加する必要はなく、単に減少してはならないということです。

関数は、すべての に対して が成り立つ場合、単調増加（増加または非減少とも呼ばれる）^{[ 3 ]と呼ばれる。}${\displaystyle x}$そして${\displaystyle y}$そのため${\displaystyle x\leq y}$1つは ${\displaystyle f\!\left(x\right)\leq f\!\left(y\right)}$、 それで${\displaystyle f}$順序を保持します（図 1 を参照）。同様に、関数は、次の条件を満たす場合に単調減少（減少または非増加とも呼ばれる）^{[ 3 ]と呼ばれます。}${\displaystyle x\leq y}$、 それから${\displaystyle f\!\left(x\right)\geq f\!\left(y\right)}$そのため、順序が逆になります（図2を参照）。

注文が${\displaystyle \leq }$単調性の定義では、厳密な順序に置き換えられます${\displaystyle <}$より強い要件が得られます。この性質を持つ関数は、厳密に増加（増加とも）と呼ばれます。^{[ 3 ] [ 4 ]}再び、順序記号を反転すると、厳密に減少（減少とも）と呼ばれる対応する概念が見つかります。 ^{[ 3 ] [ 4 ]}どちらかの性質を持つ関数は、厳密に単調と呼ばれます。厳密に単調な関数は、1対1です（なぜなら、${\displaystyle x}$等しくない${\displaystyle y}$、 どちらか${\displaystyle x<y}$または${\displaystyle x>y}$したがって、単調性により、${\displaystyle f\!\left(x\right)<f\!\left(y\right)}$または${\displaystyle f\!\left(x\right)>f\!\left(y\right)}$、 したがって${\displaystyle f\!\left(x\right)\neq f\!\left(y\right)}$。

曖昧さを避けるため、 「弱単調性」、「弱増加性」、「弱減少性」という用語は、厳密な単調性ではないものを指す場合によく用いられる。

「非減少」と「非増加」という用語は、（はるかに弱い）否定的な修飾語である「減少しない」と「増加しない」と混同してはならない。例えば、図3に示す非単調関数は、最初に減少し、次に増加し、そして再び減少する。したがって、これは減少でも増加でもないが、非減少でも非増加でもない。

関数${\displaystyle f}$ある区間において絶対的に単調であると言われている${\displaystyle \left(a,b\right)}$すべての階数の導関数が${\displaystyle f}$区間内のすべての点で、非負であるか、またはすべて非正である。

いくつかの基本的な応用例と結果

単調関数には以下の性質が成り立つ。${\displaystyle f\colon \mathbb {R} \to \mathbb {R} }$:

• ${\displaystyle f}$その定義域のあらゆる点において、右端と左端に境界がある。
• ${\displaystyle f}$正または負の無限大で限界がある（${\displaystyle \pm \infty }$実数のいずれか、${\displaystyle \infty }$、 または${\displaystyle -\infty }$。
• ${\displaystyle f}$ジャンプと除去可能な不連続性のみを持つことができます。
• ${\displaystyle f}$その定義域には可算個の不連続点しか存在し得ない。ただし、不連続点は必ずしも孤立点から構成されるとは限らず、区間 ( a , b ) 内で密集している場合もある。例えば、任意の可積分数列の場合$(a_{i})$正の数と任意の列挙${\displaystyle (q_{i})}$有理数の単調増加関数$${\displaystyle f(x)=\sum _{q_{i}\leq x}a_{i}}$$は、すべての無理数で正確に連続です（図を参照）。これは、有理数上の離散測度の累積分布関数であり、${\displaystyle a_{i}}$重さは$q_i$。
• もし${\displaystyle f}$微分可能​${\displaystyle x^{*}\in {\mathbb {R}}}$そして${\displaystyle f'(x^{*})>0}$すると、非退化区間Iが存在し、${\displaystyle x^{*}\in I}$そして${\displaystyle f}$I上で増加しています。
• 部分的な逆として、もし${\displaystyle f}$区間上で微分可能かつ増加関数である。${\displaystyle I}$すると、その導関数は、 のすべての点で非負になります。${\displaystyle I}$さらに、セット${\displaystyle A=\{x\in I:f'(x)>0\}}$は正のルベーグ測度で密である。これ以上は何も言えない。${\displaystyle A}$; 例えば、${\displaystyle A}$ポンペイウ微分の場合のように、わずかな場合もあり、固定の場合${\displaystyle I}$ルベーグ測度${\displaystyle A}$任意に近づけることができる${\displaystyle 0}$適切な選択によって${\displaystyle f}$。

これらの特性は、単調関数が解析における技術的な作業で有用である理由です。これらの関数のその他の重要な特性には、次のものがあります。

• もし${\displaystyle f}$区間上で定義された単調関数である${\displaystyle I}$、 それから${\displaystyle f}$ほぼあらゆる場所で微分可能 である${\displaystyle I}$;つまり、数値の集合${\displaystyle x}$で${\displaystyle I}$そのため${\displaystyle f}$微分不可能${\displaystyle x}$ルベーグ測度はゼロです。さらに、この結果を可算に改善することはできません。カントール関数を参照してください。
• この集合が可算集合であれば、${\displaystyle f}$絶対的に連続的である
• もし${\displaystyle f}$区間上で定義された単調関数である${\displaystyle \left[a,b\right]}$、 それから${\displaystyle f}$リーマン積分可能か。

単調関数の重要な応用例の一つは確率論である。${\displaystyle X}$は確率変数であり、その累積分布関数は${\displaystyle F_{X}\!\left(x\right)={\text{Prob}}\!\left(X\leq x\right)}$これは単調増加関数である。

関数が単峰性であるとは、ある点（最頻値）まで単調増加し、その後単調減少する場合をいう。

いつ${\displaystyle f}$は厳密に単調な関数である。${\displaystyle f}$定義域上で単射であり、${\displaystyle T}$範囲は​${\displaystyle f}$すると、逆関数が存在する${\displaystyle T}$のために${\displaystyle f}$対照的に、各定数関数は単調ではあるが単射ではないため^{[ 7 ]}、逆関数を持つことはできない。

このグラフは6つの単調関数を示しています。グラフ領域にはそれらの最も単純な形式が示され、y軸にはそれらを作成するために使用される式が示されています。

地図${\displaystyle f:X\to Y}$各ファイバーが接続されている場合、単調であると言われます。つまり、各要素について${\displaystyle y\in Y,}$（おそらく空の）集合${\displaystyle f^{-1}(y)}$は連結部分空間である${\displaystyle X.}$

位相ベクトル空間上の関数解析において${\displaystyle X}$（非線形の場合もある）演算子${\displaystyle T:X\rightarrow X^{*}}$は、以下の条件を満たす場合に単調演算子であると言われます。

$${\displaystyle (Tu-Tv,u-v)\geq 0\quad \forall u,v\in X.}$$カチュロフスキーの定理は、バナッハ空間上の凸関数の導関数が単調作用素であることを示している。

サブセット${\displaystyle G}$の${\displaystyle X\times X^{*}}$は、すべてのペアに対して、単調集合であると言われます。${\displaystyle [u_{1},w_{1}]}$そして${\displaystyle [u_{2},w_{2}]}$で${\displaystyle G}$、

$${\displaystyle (w_{1}-w_{2},u_{1}-u_{2})\geq 0.}$$${\displaystyle G}$単調演算子は、集合包含の意味で全ての単調集合の中で最大である場合、最大単調であると言われる。${\displaystyle G(T)}$は単調集合である。単調演算子は、そのグラフが極大単調集合である場合に極大単調であると言われる。

順序理論は、実数の一般化として、任意の半順序集合および前順序集合 を扱います。上記の単調性の定義は、これらの場合にも適用されます。ただし、「増加」および「減少」という用語は、それらの慣習的な図的表現が全順序でない順序には適用されないため、使用されません。さらに、厳密な関係は${\displaystyle <}$そして${\displaystyle >}$多くの非全数命令ではほとんど役に立たないため、それらに関する追加の用語は導入されない。

賃貸${\displaystyle \leq }$任意の部分順序集合の部分順序関係を表す単調関数、または同調関数、順序保存性、特性を満たす

$${\displaystyle x\leq y\implies f(x)\leq f(y)}$$

その定義域内のすべてのxとyに対して、単調写像が成り立つ。2 つの単調写像の合成も単調である。

双対概念はしばしば反音、反単調、または順序反転と呼ばれる。したがって、反音関数fは次の性質を満たす。

$${\displaystyle x\leq y\implies f(y)\leq f(x),}$$

定義域内のすべてのxとyに対して。

定数関数は単調かつ反調である。逆に、fが単調かつ反調であり、fの定義域が格子である場合、fは定数でなければならない。

単調関数は順序理論の中心です。この分野のほとんどの記事に登場し、特別な応用例もこれらの記事で見られます。注目すべき特別な単調関数には、順序埋め込み（関数で、${\displaystyle x\leq y}$かつその場合に限り${\displaystyle f(x)\leq f(y))}$および順序同型（全射順序埋め込み）。

探索アルゴリズムの文脈では、単調性（一貫性とも呼ばれる）はヒューリスティック関数に適用される条件です。${\displaystyle h(n)}$は、任意のアクションaによって生成されたすべてのノードnおよびnのすべての後継ノードn'について、 nから目標に到達する推定コストが、n'に到達するステップコストとn'から目標に到達する推定コストの合計以下である場合に単調である。

$${\displaystyle h(n)\leq c\left(n,a,n'\right)+h\left(n'\right).}$$

これは、n、n' 、およびnに最も近い目標G _nを含む三角不等式の一種です。すべての単調ヒューリスティックは許容性も有するため、単調性は許容性よりも厳しい要件です。A *などの一部のヒューリスティックアルゴリズムは、使用するヒューリスティックが単調であれば最適であることが証明できます。 ^{[ 8 ]}

ブール代数において、単調関数とは、{0,1}のすべてのa _iとb _iに対して、a ₁ ≤ b ₁、a ₂ ≤ b ₂、...、a _n ≤ b _n (すなわち、デカルト積{0, 1} ⁿが座標順に並んでいる場合) ならば、f( a ₁、...、a _n ) ≤ f( b ₁、...、b _n )となるような関数のことです。言い換えれば、ブール関数は、入力の任意の組み合わせにおいて、入力の 1 つを false から true に切り替えても、出力は false から true にしか切り替わらず、true から false には切り替わらない場合に単調であると言えます。図式的に言えば、n項ブール関数が単調であるのは、真理値でラベル付けされたn次元立方体として表現された関数に、trueからfalseへの上向きの辺がない場合です。（このラベル付きハッセ図は、 n ≤ 3の場合により一般的な表現である、関数のラベル付きベン図の双対です。）

単調ブール関数とは、入力（複数回出現する可能性がある）を演算子andとor のみを使用して組み合わせた式で定義できる関数のことです（特にnotは禁止されています）。たとえば、「a、b、cのうち少なくとも 2 が成り立つ」（三項多数決関数）は、 a、b、cの単調関数です。これは、たとえば (( a and b ) or ( a and c ) or ( b and c )) と書くことができるためです。

n 個の変数に関するそのような関数の数は、 nのデデキント数として知られています。

一般的にNP困難なタスクであるSATソルビングは、関係するすべての関数と述語が単調かつブールである場合に効率的に達成できる。^{[ 9 ]}

• 単調三次補間
• 擬似単調演算子
• スピアマンの順位相関係数- データセットにおける単調性の尺度
• 完全な単調性
• 周期的単調性
• 演算子単調関数
• 単調なセット関数
• 完全に単調な関数と数列

• バートル、ロバート・G. (1976).実解析の基礎（第2 版）
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• リース、フリジェス、ベーラ・シュジェファルヴィ＝ナジ (1990)。機能分析。クーリエ・ドーバー出版。ISBN 978-0-486-66289-3。
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• 単調数列の収束、 Anik Debnath および Thomas Roxlo (ハーカースクール)、Wolfram Demonstrations Project。
• ワイススタイン、エリック W. 「単調関数」 . MathWorld .