非相関性（確率論）

確率論と統計学では、2 つの実数値ランダム変数、、は、それらの共分散、、がゼロである場合に無相関であると言われます。2 つの変数が無相関である場合、それらの間には線形関係はありません。 ${\displaystyle X}$${\displaystyle Y}$${\displaystyle \operatorname {cov} [X,Y]=\operatorname {E} [XY]-\operatorname {E} [X]\operatorname {E} [Y]}$

相関のないランダム変数は、ピアソン相関係数が存在する場合、どちらかの変数の分散がゼロ（定数） である単純な場合を除き、ゼロになります。この場合、相関は定義されません。

一般に、2 つのランダム変数のうち少なくとも 1 つの期待値が 0 である特別な場合を除いて、無相関性は直交性と同じではありません。この場合、共分散は積の期待値であり、の場合にのみ とは無相関です。 ${\displaystyle X}$${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle \operatorname {E} [XY]=0}$

と が独立で、有限の2次モーメントを持つ場合、それらは無相関です。ただし、相関のない変数のすべてが独立しているわけではありません。^{[1] : p. 155}${\displaystyle X}$${\displaystyle Y}$

2つのランダム変数の共分散がゼロの場合、それらの変数は無相関であると言われる。^{[1] : p. 153  [2] : p. 121}正式には： ${\displaystyle X,Y}$${\displaystyle \operatorname {Cov} [X,Y]=\operatorname {E} [(X-\operatorname {E} [X])(Y-\operatorname {E} [Y])]}$

2つの複素確率変数は 、共分散と擬似共分散がゼロの場合、相関がないと呼ばれます。つまり、 ${\displaystyle Z,W}$${\displaystyle \operatorname {K} _{ZW}=\operatorname {E} [(Z-\operatorname {E} [Z]){\overline {(W-\operatorname {E} [W])}}] }$${\displaystyle \オペレーター名 {J} _{ZW}=\オペレーター名 {E} [(Z-\オペレーター名 {E} [Z])(W-\オペレーター名 {E} [W])]}$

${\displaystyle Z,W{\text{ 無相関}}\quad \iff \quad \operatorname {E} [Z{\overline {W}}]=\operatorname {E} [Z]\cdot \operatorname {E} [{\overline {W}}]{\text{ かつ }}\operatorname {E} [ZW]=\operatorname {E} [Z]\cdot \operatorname {E} [W]}$

2 つ以上のランダム変数のセットは、各ペアが無相関である場合に無相関と呼ばれます。これは、ランダム ベクトルの自己共分散行列の非対角要素がすべてゼロであるという要件に相当します。自己共分散行列は次のように定義されます。 ${\displaystyle X_{1},\ldots ,X_{n}}$ ${\displaystyle \operatorname {K} _{\mathbf {X} \mathbf {X} }}$ ${\displaystyle \mathbf {X} =[X_{1}\ldots X_{n}]^{\mathrm {T} }}$

${\displaystyle \operatorname {K} _{\mathbf {X} \mathbf {X} }=\operatorname {cov} [\mathbf {X} ,\mathbf {X} ]=\operatorname {E} [(\mathbf {X} -\operatorname {E} [\mathbf {X} ])(\mathbf {X} -\operatorname {E} [\mathbf {X} ]))^{\rm {T}}]=\operatorname {E} [\mathbf {X} \mathbf {X} ^{T}]-\operatorname {E} [\mathbf {X} ]\operatorname {E} [\mathbf {X} ]^{T}}$

• を確率 1/2 で値 0 をとり、確率 1/2 で値 1 をとるランダム変数とします。${\displaystyle X}$
• を に依存しないランダム変数とし、確率 1/2 で値 -1 を取り、確率 1/2 で値 1 を取るものとします。${\displaystyle Y}$${\displaystyle X}$
• を として構築されたランダム変数とします。${\displaystyle U}$${\displaystyle U=XY}$

主張は、 と は共分散がゼロ (したがって相関がない) であるが、独立ではないということです。 ${\displaystyle U}$${\displaystyle X}$

証拠：

それを考慮すると

${\displaystyle \operatorname {E} [U]=\operatorname {E} [XY]=\operatorname {E} [X]\operatorname {E} [Y]=\operatorname {E} [X]\cdot 0=0,}$

ここで2番目の等式は、 と が独立であるため成り立ち、 ${\displaystyle X}$${\displaystyle Y}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {cov} [U,X]&=\operatorname {E} [(U-\operatorname {E} [U])(X-\operatorname {E} [X])]=\operatorname {E} [U(X-{\tfrac {1}{2}})]\\&=\operatorname {E} [X^{2}Y-{\tfrac {1}{2}}XY]=\operatorname {E} [(X^{2}-{\tfrac {1}{2}}X)Y]=\operatorname {E} [(X^{2}-{\tfrac {1}{2}}X)]\operatorname {E} [Y]=0\end{aligned}}}$

したがって、と は無相関です。 ${\displaystyle U}$${\displaystyle X}$

と が独立であるということは、すべてのおよびに対して が成り立つことを意味します。これは、特におよびに対しては成り立ちません。 ${\displaystyle U}$${\displaystyle X}$${\displaystyle a}$${\displaystyle b}$${\displaystyle \Pr(U=a\mid X=b)=\Pr(U=a)}$${\displaystyle a=1}$${\displaystyle b=0}$

• ${\displaystyle \Pr(U=1\mid X=0)=\Pr(XY=1\mid X=0)=0}$
• ${\displaystyle \Pr(U=1)=\Pr(XY=1)=1/4}$

したがって、と は独立ではありません。 ${\displaystyle \Pr(U=1\mid X=0)\neq \Pr(U=1)}$${\displaystyle U}$${\displaystyle X}$

QED

が、および上で一様に分布する連続ランダム変数である場合、が決定し、 の特定の値がの 1 つまたは 2 つの値のみによって生成されるにもかかわらず、とは無相関です 。 ${\displaystyle X}$${\displaystyle [-1,1]}$${\displaystyle Y=X^{2}}$${\displaystyle X}$${\displaystyle Y}$${\displaystyle X}$${\displaystyle Y}$${\displaystyle Y}$${\displaystyle X}$

${\displaystyle f_{X}(t)={1 \over 2}I_{[-1,1]};f_{Y}(t)={1 \over {2{\sqrt {t}}}}I_{]0,1]}}$

一方、 は、この定義域ではヌルではありませんが、によって定義される三角形上では 0 です。したがって、変数と は独立ではありません。 ${\displaystyle f_{X,Y}}$${\displaystyle 0<X<Y<1}$${\displaystyle f_{X}\times f_{Y}}$${\displaystyle f_{X,Y}(X,Y)\neq f_{X}(X)\times f_{Y}(Y)}$

${\displaystyle E[X]={{1-1} \over 4}=0;E[Y]={{1^{3}-(-1)^{3}} \over {3\times 2}}={1 \over 3}}$

${\displaystyle Cov[X,Y]=E\left[(X-E[X])(Y-E[Y])\right]=E\left[X^{3}-{X \over 3}\right]={{1^{4}-(-1)^{4}} \over {4\times 2}}=0}$

したがって、変数は相関しません。

相関がなくても独立性を意味する場合もあります。その 1 つは、両方のランダム変数が 2 値である場合です (つまり、それぞれを線形変換してベルヌーイ分布にすることができます)。^[3] さらに、2 つの同時正規分布するランダム変数は、相関がない場合は独立しています。^[4]ただし、これは、周辺分布が正規分布かつ無相関であるが、同時分布が同時正規分布ではない変数には当てはまりません (「正規分布かつ無相関は独立を意味しない」を参照)。

2つのランダムベクトルは 、次の場合、無相関と呼ばれます。 ${\displaystyle \mathbf {X} =(X_{1},\ldots ,X_{m})^{T}}$${\displaystyle \mathbf {Y} =(Y_{1},\ldots ,Y_{n})^{T}}$

${\displaystyle \operatorname {E} [\mathbf {X} \mathbf {Y} ^{T}]=\operatorname {E} [\mathbf {X} ]\operatorname {E} [\mathbf {Y} ]^{T}}$。

それらは、相互共分散行列 がゼロである場合にのみ無相関である。^{[5] : p.337}${\displaystyle \operatorname {K} _{\mathbf {X} \mathbf {Y} }}$

2つの複素ランダムベクトルとそれらの相互共分散行列と擬似相互共分散行列がゼロである場合、すなわち、 ${\displaystyle \mathbf {Z} }$${\displaystyle \mathbf {W} }$

${\displaystyle \operatorname {K} _{\mathbf {Z} \mathbf {W} }=\operatorname {J} _{\mathbf {Z} \mathbf {W} }=0}$

どこ

${\displaystyle \operatorname {K} _{\mathbf {Z} \mathbf {W} }=\operatorname {E} [(\mathbf {Z} -\operatorname {E} [\mathbf {Z} ]){(\mathbf {W} -\operatorname {E} [\mathbf {W} ])}^{\mathrm {H} }]}$

そして

${\displaystyle \operatorname {J} _{\mathbf {Z} \mathbf {W} }=\operatorname {E} [(\mathbf {Z} -\operatorname {E} [\mathbf {Z} ]){(\mathbf {W} -\operatorname {E} [\mathbf {W} ])}^{\mathrm {T} }]}$。

2つの確率過程は 、その相互共分散が常にゼロである場合に無相関であると言われる。 ^{[2] : p. 142}正式には： ${\displaystyle \left\{X_{t}\right\}}$${\displaystyle \left\{Y_{t}\right\}}$${\displaystyle \operatorname {K} _{\mathbf {X} \mathbf {Y} }(t_{1},t_{2})=\operatorname {E} \left[\left(X(t_{1})-\mu _{X}(t_{1})\right)\left(Y(t_{2})-\mu _{Y}(t_{2})\right)\right]}$

${\displaystyle \left\{X_{t}\right\},\left\{Y_{t}\right\}{\text{ uncorrelated}}\quad :\iff \quad \forall t_{1},t_{2}\colon \operatorname {K} _{\mathbf {X} \mathbf {Y} }(t_{1},t_{2})=0}$。

• 相関と依存性
• 二項分布: 2 つの二項分布間の共分散^{[壊れたアンカー]}
• 非相関ボリューム要素

• 統計学者のための確率、Galen R. Shorack、Springer (c2000) ISBN 0-387-98953-6