分離可能な空間

数学において、位相空間は可算稠密部分集合を含む場合、すなわち、数列が存在する場合に、可分であると呼ばれる。$\displaystyle (x_{n})_{n=1}^{\infty }}$空間の要素の集合であって、空間の空でないすべての開部分集合が少なくとも１つの要素を含むようなもの。

他の可算性公理と同様に、分離性は「サイズの制限」であり、必ずしも濃度（ただし、ハウスドルフ公理が存在する場合は、実際には濃度が制限となる。後述参照）の観点からではなく、より微妙な位相的な意味での制限である。特に、分離可能空間上の連続関数で、その像がハウスドルフ空間の部分集合となるものは、可算稠密部分集合上の値によって決定される。

分離可能性と、それに関連する第二可算性の概念を比較してみましょう。第二可算性は一般的に分離可能性よりも強い概念ですが、距離化可能な空間のクラスにおいては同等です。

有限または可算無限である位相空間は、空間全体がそれ自身の可算稠密部分集合であるため、分離可能である。可算でない分離可能空間の重要な例は実数直線であり、その中で有理数は可算稠密部分集合を形成する。同様に、長さのすべての集合は、${\displaystyle n}$有理数のベクトル、$\displaystyle {\boldsymbol {r}}=(r_{1},\ldots ,r_{n})\in \mathbb {Q} ^{n}}$は、すべての長さの集合の可算稠密部分集合です。${\displaystyle n}$実数のベクトル、$\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$;したがって、すべての${\displaystyle n}$、${\displaystyle n}$次元ユークリッド空間は分離可能である。

分離不可能な空間の簡単な例としては、非可算な濃度を持つ離散空間が挙げられる。

さらなる例を以下に示します。

任意の第二可算空間は分離可能である。${\displaystyle \{U_{n}\}}$は可算基数であり、任意の${\displaystyle x_{n}\in U_{n}}$空でない${\displaystyle U_{n}}$可算稠密部分集合を与える。逆に、距離化可能な空間は、それが第二可算である場合に限り分離可能であり、それはそれがリンデレーフである場合に限り成り立つ。

これら2つの特性をさらに比較するために：

• 第二可算空間の任意の部分空間は第二可算空間である。可分空間の部分空間は必ずしも可分空間である必要はない（下記参照）。
• 可分空間の連続像は可分である（ウィラード 1970 、Th. 16.4a） 。第二可算空間の商空間でさえ、第二可算空間である必要はない。
• 連続体数以下の分離可能な空間の積は分離可能である（Willard 1970 、p. 109、Th 16.4c）。第二可算空間の可算積は第二可算であるが、第二可算空間の非可算積は第一可算である必要すらない。 

可算でない分離可能な位相空間の例を構築することができる。任意の非可算集合を考える。${\displaystyle X}$いくつか選んでください${\displaystyle x_{0}\in X}$トポロジーを、を含むすべての集合の集合として定義する${\displaystyle x_{0}}$（または空である）。次に、${\displaystyle {x_{0}}}$空間全体（${\displaystyle X}$は、${\displaystyle x_{0}}$)、ただし、形式のすべてのセット${\displaystyle \{x_{0},x\}}$空間は開いている。したがって、空間は分離可能であるが、数えられる基底を持つことはできない。

分離可能性という性質自体は、位相空間の濃度に何ら制限を与えるものではありません。自明な位相を持つ任意の集合は、分離可能であるだけでなく、第二可算集合、準コンパクト集合、連結集合でもあります。自明な位相の「問題点」は、その分離性質が劣悪であることです。そのコルモゴロフ商空間は一点空間となります。

可算かつ可分なハウスドルフ空間（特に可分距離空間）は、連続体濃度が最大で${\displaystyle {\mathfrak {c}}}$このような空間では、閉包は数列の極限によって決定され、任意の収束数列は最大で 1 つの極限を持つため、可算稠密部分集合に値を持つ収束数列の集合から点への全射写像が存在する。${\displaystyle X}$。

分離可能なハウスドルフ空間の濃度は最大で${\displaystyle 2^{\mathfrak {c}}}$、 どこ${\displaystyle {\mathfrak {c}}}$は連続体の濃度です。この閉包はフィルタ基底の限界によって特徴付けられます。${\displaystyle Y\subseteq X}$そして${\displaystyle z\in X}$、 それから${\displaystyle z\in {\overline {Y}}}$フィルタベースが存在する場合に限る$\displaystyle {\mathcal {B}}}$サブセットで構成される${\displaystyle Y}$収束して${\displaystyle z}$集合の濃度${\displaystyle S(Y)}$このようなフィルタベースの最大${\displaystyle 2^{2^{|Y|}}}$さらに、ハウスドルフ空間では、すべてのフィルタ基底に対して極限は最大で1つしか存在しない。したがって、全射が存在する。${\displaystyle S(Y)\rightarrow X}$いつ${\displaystyle {\overline {Y}}=X.}$

同じ議論により、より一般的な結果が得られる。ハウスドルフ位相空間を仮定すると、${\displaystyle X}$基数の密な部分集合を含む${\displaystyle \kappa }$。 それから${\displaystyle X}$最大で${\displaystyle 2^{2^{\kappa }}}$そして最大で基数$2κ$それが第一可算名詞である場合。

連続体で表せる多数の分離可能空間の積は分離可能空間である（Willard 1970 、p. 109、Th 16.4c）。特に空間 $\displaystyle \mathbb {R} ^{\mathbb {R} }}$実数直線からそれ自身へのすべての関数の積位相を備えた分離可能なハウスドルフ空間は濃度を持つ。${\displaystyle 2^{\mathfrak {c}}}$より一般的には、${\displaystyle \kappa }$は任意の無限基数であり、その積は高々$2κ$最大でサイズの密な部分集合を持つ空間${\displaystyle \kappa }$それ自体は最大でサイズの密な部分集合を持つ${\displaystyle \kappa }$（ヒューイット・マルチェフスキー・ポンディツェリーの定理）

分離可能性は、数値解析や構成的数学において特に重要である。なぜなら、非分離空間に対して証明できる多くの定理は、分離空間に対してのみ構成的な証明が可能だからである。このような構成的な証明は、数値解析で使用するためのアルゴリズムに変換することができ、構成的解析において許容される唯一の種類の証明である。この種の定理の有名な例として、ハーン・バナッハの定理が挙げられる。

• 可分空間の部分空間は必ずしも可分である必要はない（ソルゲンフレイ平面とムーア平面を参照）が、可分空間のすべての開部分空間は可分である（ウィラード 1970 、Th 16.4b） 。また、可分距離空間のすべての部分空間は可分である。
• 実際、すべての位相空間は、同じ濃度の可分空間の部分空間です。可算個の点、すなわち可分空間の可算稠密部分集合の点だけを追加すればよいのです。構成法は（Sierpiński 1952 、p. 49）に示されています。この構成法は、さらにすべてのハウスドルフ空間を可分ハウスドルフ空間に埋め込むものです。 
• 可分空間上のすべての実数値連続関数の集合の濃度は、${\displaystyle {\mathfrak {c}}}$これは、連続体の濃度です。このような関数は、密な部分集合上の値によって決定されるため、これは当然のことです。
• 上記の性質から、次のことが推論できる。Xが可算個の閉離散部分空間を持つ可分空間である場合、Xは正規空間ではない。これは、ソルゲンフレイ平面が正規空間ではないことを示している。
• コンパクトなハウスドルフ空間Xの場合、以下は同等である。
  1. Xは2番目の可算名詞です。
  2. スペース${\displaystyle {\mathcal {C}}(X,\mathbb {R} )}$X上の連続実数値関数の上限ノルムは分離可能である。
  3. Xは距離化可能である。

• Heinonen, Juha (2003年1月)、「距離空間の幾何学的埋め込み(PDF)」 、 2009年2月6日取得

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