線形結合

数学において、線形結合または重ね合わせとは、一連の項から各項に定数を掛けて結果を足し合わせることによって構成される式のことです（例えば、 xとyの線形結合は、aとbが定数であるax + byの形式の任意の式になります）。^{[ 1 ] [ 2 ] [ 3 ]}線形結合の概念は、線形代数および関連する数学分野の中心です。この記事の大部分は、体上のベクトル空間の文脈における線形結合を扱っており、記事の最後にいくつかの一般化が示されています。

V を体K上のベクトル空間とする。慣例に従い、Vの要素をベクトル、 Kの要素をスカラーと呼ぶ。v 1 ,..., v n がベクトルで、a 1 ,..., a n がスカラーである場合、_これらのベクトル_とこれらの_スカラーの係数_との線形結合は次のようになる。

${\displaystyle a_{1}\mathbf {v} _{1}+a_{2}\mathbf {v} _{2}+a_{3}\mathbf {v} _{3}+\cdots +a_{n}\mathbf {v} _{n}。}$

「線形結合」という用語の使用には、それが式を指すのか値を指すのかという点で若干の曖昧さがあります。ほとんどの場合、値が強調されます。例えば、「v ₁ ,..., v _nのすべての線形結合の集合は常に部分空間を形成する」という主張のようにです。しかし、「2つの異なる線形結合が同じ値を持つこともある」と言うこともできます。この場合、参照されているのは式です。これらの使用法の微妙な違いが、線形従属の概念の本質です。ベクトルの族Fが線形独立であるのは、 F内のベクトルの任意の線形結合 (値として) が一意に線形独立である場合 (式として) に限ります。いずれにせよ、式として見た場合であっても、線形結合に関して重要なのは各v _iの係数だけです。項の順列を入れ替えたり、係数がゼロの項を追加したりといった些細な変更では、異なる線形結合は生成されません。

特定の状況では、KとV は明示的に指定される場合もあれば、文脈から明らかである場合もあります。その場合、係数が未指定（ただし、係数は K に属していなければならない）のベクトル v 1 ,..., v n の線形結合についてよく話します。あるいは、S が V の部分集合である場合、係数とベクトルの両方が未指定（ただし、ベクトルは集合 Sに属し_ていなけれ_ばならず、係数はKに属していなければならない）の S 内のベクトルの線形結合について話すことができます。最後に、何も指定されていない（ただし、ベクトルはVに属し、係数はKに属していなければならない）単純な線形結合について話すことができます。この場合、おそらく式 を指していると思われます。なぜなら、V内のすべてのベクトルは確かに何らかの線形結合の値だからです。

定義上、線形結合は、§一般化の項で説明されている場合を除き、有限個のベクトルのみを含むことに注意してください。ただし、ベクトルが取られる集合S （指定されている場合）は無限集合であっても構いません。個々の線形結合は、有限個のベクトルのみを含みます。また、 nがゼロであっても問題ありません。その場合、慣例として、線形結合の結果はVのゼロベクトルであると宣言します。 

任意の体K、任意のベクトル空間Vを考え、v ₁ ,..., v _nを ( V内の) ベクトルとする。これらのベクトルのすべての線形結合の集合を考えるのは興味深い。この集合はベクトルの線形スパン(または単にスパン) と呼ばれ、 S = { v ₁ , ..., v _n } と表される。S のスパンはspan ( S ) ^{[ 4 ] [ 5 ]}または sp( S ) と表記される。

${\displaystyle \operatorname {span} (\mathbf {v} _{1},\ldots ,\mathbf {v} _{n}):=\{a_{1}\mathbf {v} _{1}+\cdots +a_{n}\mathbf {v} _{n}:a_{1},\ldots ,a_{n}\in K\}.}$

あるベクトル集合v ₁ ,..., v _nに対して、単一のベクトルをそれらの線形結合として 2 通りの異なる方法で表すことができると仮定します。

${\displaystyle \mathbf {v} =\sum _{i}a_{i}\mathbf {v} _{i}=\sum _{i}b_{i}\mathbf {v} _{i}{\text{ ただし }}a_{i}\neq b_{i}.}$

これは、これらを差し引くことによって同等です（${\displaystyle c_{i}:=a_{i}-b_{i}}$) から、非自明な組み合わせがゼロであると言うことへ: ^{[ 6 ] [ 7 ]}

${\displaystyle \mathbf {0} =\sum _{i}c_{i}\mathbf {v} _{i}.}$

それが可能な場合、v ₁ ,..., v _{n は}線形従属であると言われ、そうでない場合は線形独立であると言われます。同様に、任意のベクトル集合Sの線形従属または線形独立について論じることができます。

Sが線形独立であり、 Sの張る空間がVに等しい場合、SはVの基底である。

線形結合で使用される係数を制限することにより、アフィン結合、円錐結合、凸結合といった関連概念、およびこれらの演算に関して閉じている集合の概念を定義することができる。

これらはより制限された操作であるため、それらの下で閉じられる部分集合の数が増えます。したがって、アフィン部分集合、凸錐、凸集合はベクトル部分空間の一般化です。ベクトル部分空間はアフィン部分空間、凸錐、凸集合でもありますが、凸集合はベクトル部分空間、アフィン、凸錐である必要はありません。

これらの概念は、対象の特定の線形結合は可能であるが、任意の線形結合は不可能な場合にしばしば生じます。例えば、確率分布は凸結合（凸集合を形成する）に関して閉じていますが、円錐結合やアフィン結合（または線形結合）に関しては閉じていません。また、正の測度は円錐結合に関して閉じていますが、アフィン結合や線形結合に関しては閉じていません。そのため、符号付き測度を線形閉包として定義します。

線形結合とアフィン結合は任意の体（または環）上で定義できますが、円錐結合と凸結合は「正」の概念を必要とするため、順序体（または順序環）、一般に実数上でのみ定義できます。

スカラー乗算のみを許可し、加算を許可しない場合、（必ずしも凸ではない）円錐が得られる。多くの場合、定義を正のスカラーによる乗算のみを許可するように制限する。

これらの概念はすべて、独立して公理化されるのではなく、通常は周囲のベクトル空間の部分集合として定義されます（アフィン空間は「原点を忘れたベクトル空間」ともみなされます）。

より抽象的に言えば、オペラド理論の言葉で言えば、ベクトル空間はオペラド上の代数と考えることができる。${\displaystyle \mathbf {R} ^{\infty }}$（無限直和なので、非ゼロの項は有限個のみ。これは有限和のみを取ることに対応します）線形結合をパラメータ化するベクトル${\displaystyle (2,3,-5,0,\dots )}$例えば、線形結合に対応する${\displaystyle 2\mathbf {v} _{1}+3\mathbf {v} _{2}-5\mathbf {v} _{3}+0\mathbf {v} _{4}+\cdots }$同様に、アフィン結合、円錐結合、凸結合は、それぞれ項の合計が 1 になる部分オペラド、項がすべて非負である部分オペラド、またはその両方に対応すると考えることができます。図式的には、これらは無限アフィン超平面、無限超八分平面、無限単体です。これは、次の意味を形式化します。$\displaystyle \mathbf {R} ^{n}}$または標準単体がモデル空間であること、そしてすべての有界凸多面体が単体の像であるといった観察結果。ここで、サブオペラッドはより限定された演算に対応し、したがってより一般的な理論に対応する。

この観点からすると、線形結合はベクトル空間における最も一般的な演算であると考えることができます。つまり、ベクトル空間が線形結合のオペランド上の代数であると言うことは、ベクトル空間におけるすべての可能な代数演算が線形結合であるということをまさに言い表しているのです。

加算とスカラー乗算という基本演算は、加法単位元と加法逆元の存在と相まって、一般的な線形結合よりも複雑な方法で組み合わせることはできません。つまり、基本演算は、すべての線形結合のオペランドの生成集合となります。

結局のところ、この事実こそが、ベクトル空間の研究における線形結合の有用性の核心にある。

Vが位相ベクトル空間である場合、 Vの位相を利用して、ある種の無限線形結合を意味のあるものとして扱う方法が存在する可能性があります。例えば、a ₁ v ₁ + a ₂ v ₂ + a ₃ v ₃ + ⋯ のように無限に続く線形結合について議論できるかもしれません。このような無限線形結合は必ずしも意味を持つとは限りませんが、意味を持つ場合は収束的であると言います。この場合、より多くの線形結合を許容することで、スパン、線形独立性、基底といった概念も異なってきます。位相ベクトル空間の様々な種類に関する記事では、これらの詳細についてはさらに詳しく解説しています。    

Kが体ではなく可換環である場合、線形結合について上で述べたことはすべて、変更なくこの場合にも一般化されます。唯一の違いは、このような空間をベクトル空間ではなくVモジュールと呼ぶことです。Kが非可換環の場合も、概念は一般化されますが、1つの注意点があります。非可換環上のモジュールには左バージョンと右バージョンがあるため、線形結合も、与えられたモジュールに応じて、これらのバージョンのいずれかになります。これは、適切な側でスカラー乗算を行うだけの問題です。

V が2 つの環K _LとK _R上の双加群である場合、より複雑な展開が生じます。この場合、最も一般的な線形結合は次のようになります。

${\displaystyle a_{1}\mathbf {v} _{1}b_{1}+\cdots +a_{n}\mathbf {v} _{n}b_{n}}$

ここで、a ₁ ,..., a _{n は}K _Lに属し、b ₁ ,..., b _{n は}K _Rに属し、v ₁ ,…, v _{n は}Vに属します。

• 加重合計

• Axler, Sheldon Jay (2015).線形代数の正しい解き方. 数学学部教科書（第3 版）. Springer . doi : 10.1007/978-3-319-11080-6 . ISBN 978-3-319-11079-0。
• Katznelson, イツハク;カッツネルソン、ヨナタン R. (2008)。線形代数の (簡潔な) 入門。アメリカ数学協会。ISBN 978-0-8218-4419-9。
• Lay, David C.; Lay, Steven R.; McDonald, Judi J. (2016).線形代数とその応用（第5 版）. Pearson. ISBN 978-0-321-98238-4。
• ストラング、ギルバート（2016）。線形代数入門（第5 版）。ウェルズリー・ケンブリッジ・プレス。ISBN 978-0-9802327-7-6。

• 線形結合とスパン：ベクトルの線形結合とスパンを理解する、khanacademy.org。