微積分用語集

Wikipediaの用語集に掲載されている用語のほとんどは、Wikipedia自体の中で既に定義され、説明されています。しかし、このような用語集は、多数の用語をまとめて調べ、比較し、確認するのに役立ちます。新しい用語を追加したり、既存の用語の定義を書き加えたりすることで、このページをより充実させることができます。

この微積分用語集は、微積分、その下位分野、および関連分野に関する定義の一覧です。

アーベルのテスト

無限級数の収束を判定する方法。

絶対収束

無限級数は、項の絶対値の和が有限である場合に絶対収束する（または絶対収束する）と言われます。より正確には、実数級数または複素数級数は、${\displaystyle \textstyle \sum _{n=0}^{\infty }a_{n}}$絶対収束するとは、${\displaystyle \textstyle \sum _{n=0}^{\infty }\left|a_{n}\right|=L}$ある実数に対して${\displaystyle \textstyle L}$同様に、関数の広義積分では、${\displaystyle \textstyle \int _{0}^{\infty }f(x)\,dx}$は、被積分関数の絶対値の積分が有限である場合、つまり、${\displaystyle \textstyle \int _{0}^{\infty }\left|f(x)\right|dx=L.}$

絶対最大値

関数が到達する最高値。

絶対最小値

関数が到達する最小値。

絶対値

実数xの絶対値または絶対値| x |は、符号に関係なくxの非負の値です。つまり、正のxの場合は| x | = x、負のxの場合は| x | = − x (この場合− xは正)、|0| = 0 です。たとえば、3 の絶対値は 3 であり、−3 の絶対値も 3 です。数の絶対値は、その数がゼロからどれだけ離れているかと考えることができます。    

交互のシリーズ

正負の項が交互に現れる無限級数。

交互系列テスト

これは、絶対値が減少する項を持つ交代級数が収束級数であることを証明するために用いられる方法です。この判定法はゴットフリート・ライプニッツによって用いられ、ライプニッツ判定法、ライプニッツの法則、またはライプニッツの基準と呼ばれることもあります。

環状部

リング状の物体、2つの同心円で囲まれた領域。

アンチ誘導体

関数fの原始関数、原始関数、原始積分、または不定積分^{[注 1 ]}は、導関数が元の関数fに等しい微分可能な関数Fです。これは記号で次のように表すことができます。${\displaystyle F'=f}$[ ^{1 ] [ 2 ]}原始関数を求めるプロセスは逆微分（または不定積分）と呼ばれ、その反対の操作は微分と呼ばれ、導関数^を求めるプロセスです。

arcsin

曲線下の面積

漸近線

解析幾何学では、曲線の漸近線とは、 x座標またはy座標のいずれか、あるいは両方が無限大に近づくにつれて、曲線と直線の間の距離がゼロに近づくような直線のことです。一部の資料では、曲線が直線を無限回交差してはならないという要件が含まれていますが、これは現代の著者には珍しいことです。^{[ 3 ]}射影幾何学および関連する文脈では、曲線の漸近線とは、無限遠の点で曲線に接する直線のことです。^{[ 4 ] [ 5 ]}

自動微分

数学およびコンピュータ代数において、自動微分（AD）は、アルゴリズム微分または計算微分とも呼ばれ、^{[ 6 ] [ 7 ]}コンピュータ プログラムによって指定された関数の導関数を数値的に評価する一連の手法です。AD は、どんなに複雑なコンピュータ プログラムでも、一連の基本的な算術演算（加算、減算、乗算、除算など）と基本的な関数（exp、log、sin、cos など）を実行するという事実を利用します。これらの演算に連鎖律を繰り返し適用することで、任意の次数の導関数を自動的に、作業精度で正確に計算でき、元のプログラムよりも最大でわずかな定数倍の算術演算しか必要としません。

平均変化率

二項係数

二項定理の係数として現れる正の整数はすべて二項係数です。一般的に、二項係数は整数の組n ≥ k ≥ 0で添え字付けされ、次のように表記されます。${\displaystyle {\tbinom {n}{k}}.}$これは二項式(1 + x ) ⁿの多項式展開におけるx ^k項の係数であり、次の式で与えられます。

${\displaystyle {\binom {n}{k}}={\frac {n!}{k!(nk)!}}.}$

二項定理（または二項展開）

二項式のべき乗の代数展開について説明します。

有界関数

実数または複素数の値をとる集合X上で定義された関数fは 、その値の集合が有界である場合に有界であると呼ばれる。言い換えれば、ある 実数Mが存在し、

${\displaystyle |f(x)|\leq M}$

すべてのx ∈ Xに対して。有界でない関数は、非有界であると言われます。

場合によっては、すべてのx ∈ Xに対してf ( x ) ≤ A が成り立つ場合、その関数はAによって上から抑えられていると言われます。一方、すべてのx ∈ Xに対してf ( x ) ≥ B が成り立つ場合、その関数はBによって下から抑えられていると言われます。

有界数列

。

微積分

（ラテン語のcalculus、文字通り「小さな小石」、そろばんのように数えたり計算したりするのに使われる） [ ^{8 ]は}、幾何学が形状の研究であり、代数が算術演算の一般化の研究であるのと同様に、連続的な変化の数学的研究である。

カヴァリエリの原則

ボナヴェントゥラ・カヴァリエリにちなんで名付けられた、不可分法の現代的実装であるカヴァリエリの原理は次のとおりです。^{[ 9 ]}

• 2次元の場合：平面上の2つの領域が、その平面上の2本の平行線の間にあるとします。これらの2本の平行線に平行なすべての線が、両方の領域と等しい長さの線分で交わるならば、2つの領域の面積は等しくなります。
• 3次元の場合：3次元空間内の2つの領域（立体）が2つの平行な平面に挟まれているとします。これらの2つの平面に平行なすべての平面が、両方の領域と等しい面積の断面で交わる場合、 2つの領域は等しい体積を持ちます。

連鎖律

連鎖律は、2つ以上の関数の合成関数の導関数を計算するための公式です。つまり、fとgが関数である場合、連鎖律は、それらの合成関数f∘g （xをf ( g ( x ) )に写像する関数）の導関数を、 fとgの導関数と関数の積を用いて次のように表します。

${\displaystyle (f\circ g)'=(f'\circ g)\cdot g'.}$

これは変数を用いて同様に表現することもできます。F = f ∘ g、または同等に、すべてのxに対してF ( x ) = f ( g ( x ))とします。すると、次のように書くこともできます。

${\displaystyle F'(x)=f'(g(x))g'(x).}$

連鎖律は、ライプニッツの記法では次のように表すことができます。変数zが変数yに依存し、y 自体が変数xに依存している場合、したがってyとzは従属変数です。この場合、zは中間変数yを介してxにも依存します。連鎖律は次のようになります。

$\displaystyle {\frac {dz}{dx}}={\frac {dz}{dy}}\cdot {\frac {dy}{dx}}.}$

連鎖律の2つのバージョンは関連しています。${\displaystyle z=f(y)}$そして${\displaystyle y=g(x)}$、 それから

${\displaystyle {\frac {dz}{dx}}={\frac {dz}{dy}}\cdot {\frac {dy}{dx}}=f'(y)g'(x)=f'(g(x))g'(x).}$

積分 においては、連鎖律に対応するものが代入律である。

変数変換

これは、元の変数を他の変数の関数に置き換えることで問題を簡略化する基本的な手法です。新しい変数で表現することで、問題がより単純になったり、より理解しやすい問題と同等になったりすることを目的としています。

共機能

関数fが 関数gの余関数であるとは、AとBが補角であるとき、 f ( A ) = g ( B )が成り立つ場合をいう。^{[ 10 ]}この定義は通常、三角関数に適用される。^{[ 11 ] [ 12 ]}接頭辞「co-」は、エドマンド・ギュンターのCanon triangulorum (1620)に既に見られる。^{[ 13 ] [ 14 ]}

凹関数

凸関数の負の値です。凹関数は、下向き凹関数、下向き凹関数、上向き凸関数、凸キャップ、または上凸関数とも呼ばれます。

積分定数

連結領域における与えられた関数の不定積分（すなわち、関数のすべての原始関数の集合）は、加法定数、すなわち積分定数を除いてのみ定義される。^{[ 15 ] [ 16 ]}この定数は、原始関数の構成に内在する曖昧さを表している。関数が${\displaystyle f(x)}$は区間上で定義され、${\displaystyle F(x)}$は、${\displaystyle f(x)}$、すると、のすべての反微分値の集合は${\displaystyle f(x)}$関数によって与えられる${\displaystyle F(x)+C}$ここで、Cは任意の定数です (つまり、Cの任意の値は、${\displaystyle F(x)+C}$有効な原始関数）。積分定数は、簡略化のために積分の一覧では省略されることがあります。

連続関数

入力のわずかな変化が出力のわずかな変化をもたらす関数を、不連続関数といいます。そうでない場合、その関数は不連続関数と呼ばれます。連続な逆関数を持つ連続関数は、同相写像と呼ばれます。

連続的に微分可能

関数fは、導関数f ′ ( x ) が存在し、かつそれ自体が連続関数である場合に、連続微分可能であると言われます。

輪郭統合

複素解析の数学分野では、経路積分は複素平面上の経路に沿って特定の積分を評価する方法です。 ^{[ 17 ] [ 18 ] [ 19 ]}

収束テスト

無限級数の収束、条件収束、絶対収束、収束区間または発散を判定する方法はどれですか？${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }a_{n}}$。

収束級数

数学において、数列とは無限数列の項の和のことである。無限数列が与えられた場合${\displaystyle \left(a_{1},\ a_{2},\ a_{3},\dots \right)}$n番目の部分和${\displaystyle S_{n}}$は数列の 最初のn項の合計、つまり、

${\displaystyle S_{n}=\sum _{k=1}^{n}a_{k}.}$

級数が収束するとは、その部分和の列が収束する場合をいう。${\displaystyle \left\{S_{1},\ S_{2},\ S_{3},\dots \right\}}$極限値に収束する。つまり、部分和の項数が増えるにつれて、部分和は与えられた数にどんどん近づいていく。より正確には、ある数が存在する場合に級数は収束する。${\displaystyle \ell }$任意の小さな正の数に対して${\displaystyle \varepsilon }$十分大きな整数が存在する${\displaystyle N}$すべての${\displaystyle n\geq \ N}$、

$\displaystyle \left|S_{n}-\ell \right\vert \leq \ \varepsilon .}$

級数が収束する場合、その数は${\displaystyle \ell }$（必ず一意である）は、級数の和と呼ばれます。

収束しない級数はすべて発散する と言われる。

凸関数

数学において、n次元区間で定義された実数値関数は、少なくとも2次元のユークリッド空間（またはより一般的にはベクトル空間）において、関数のグラフ上の任意の2点間の線分がグラフ上またはグラフの上にある場合、凸関数（または下向き凸関数、上向き凹関数）と呼ばれます。言い換えれば、関数のエピグラフ（関数のグラフ上またはグラフ上の点の集合）が凸集合である場合、その関数は凸関数です。1変数の2回微分可能な関数において、定義域全体で2階微分が常に0以上である場合、その関数は凸関数です。^{[ 20 ]}凸関数のよく知られた例としては、2次関数が挙げられます。${\displaystyle x^{2}}$そして指数関数${\displaystyle e^{x}}$。

クレイマーの法則

線形代数において、クラメルの公式は、未知数の数と同じ数の方程式を持つ連立一次方程式の解を求める明示的な公式であり、連立方程式が一意解を持つ場合に有効です。これは、(正方)係数行列の行列式と、方程式の右辺の列ベクトルで1つの列を置き換えることによって得られる行列の行列式を用いて解を表します。この公式は、1750年に任意の数の未知数に対する公式を発表したガブリエル・クラメル (1704 - 1752) にちなんで名付けられました[ 21 ] [ 22 ^{]。ただし、コリン・}マクローリンも1748年にこの公式の特殊な場合を発表しています^{[ 23 ]} (そしておそらく1729年にはすでにこの公式を知っていたと考えられます) ^{[ 24 ] [ 25 ] [ 26 ] 。}

重要なポイント

実数または複素数の微分可能な関数の臨界点または停留点とは、その定義域内で導関数が 0 になる任意の値のことである。^{[ 27 ] [ 28 ]}

曲線

曲線（古い文献では曲線とも呼ばれる）は、一般的に言えば、直線に似ているが、必ずしも直線である必要はない物体である。

曲線スケッチ

幾何学において、曲線スケッチ（または曲線トレース）とは、詳細なプロットに必要な多数の点を計算することなく、与えられた方程式に基づいて平面曲線の全体的な形状を大まかに把握するために使用できる手法です。これは、曲線の主要な特徴を見つけるための曲線理論の応用です。ここでは、入力は方程式です。デジタル幾何学においては、曲線をピクセルごとに描画する方法です。ここでは、入力は配列（デジタル画像）です。

減衰正弦波

時間の経過とともに振幅がゼロに近づく正弦関数である。^{[ 29 ]}

多項式の次数

は、係数がゼロでない単項式（個々の項）の最高次数です。項の次数は、その項に含まれる変数の指数の合計であり、したがって非負の整数です。

派生

実変数の関数の導関数は、引数（入力値）の変化に対する関数値（出力値）の変化の感度を表します。導関数は微積分学の基本的なツールです。例えば、動いている物体の位置の時間に関する導関数は、物体の速度を表します。これは、時間が経過するにつれて物体の位置がどれだけ速く変化するかを示します。

派生テスト

導関数判定法は、関数の導関数を用いて関数の臨界点を特定し、各点が極大値、極小値、または鞍点であるかどうかを判定する手法です。導関数判定法は、関数の凹凸に関する情報も提供できます。

微分可能な関数

1つの実変数の微分可能な関数とは、定義域内の各点において導関数が存在する関数のことです。したがって、微分可能な関数のグラフは、定義域内の各点において（垂直でない）接線を持ち、比較的滑らかでなければならず、途切れや曲がり、尖点があってはなりません。

微分（無限小）

微分という用語は、微積分学において、ある変動量の無限小（無限に小さい）変化を表すために用いられます。例えば、xが変数である場合、 xの値の変化はしばしばΔx（デルタxと発音）で表されます。微分dx は、変数xの無限に小さい変化を表します。無限に小さい、あるいは無限に遅い変化という考え方は直感的に非常に有用であり、この概念を数学的に厳密に表現する方法は数多く存在します。微積分学を用いることで、導関数を使って様々な変数の無限に小さい変化を数学的に関連付けることができます。yがxの関数である場合、 yの微分dy は、次の式で dxと関連付けられます。

${\displaystyle dy={\frac {dy}{dx}}\,dx,}$

ここで、dy / dx はyのxに関する導関数を表します。この式は、 yのxに関する導関数は、Δ xが無限小になるときの差分比 Δ y /Δ xの極限であるという直感的な考え方をまとめたものです。

微分積分

微積分学は、量の変化率の研究に関わる微積分学の分野です^{[ 30 ]} 。これは、曲線の下の面積を研究する積分学と並ぶ、微積分学の伝統的な2つの区分のうちの1つです^{[ 31 ] 。}

微分方程式

関数とその導関数を関連付ける数式 です。応用上、関数は通常物理量を表し、導関数はその変化率を表し、数式は両者の関係を定義します。

微分演算子

。

関数の微分

微積分学において、微分は関数y = f ( x ) の独立変数の変化に関する変化の主要部分を表します。微分dyは次のように定義されます。   

${\displaystyle dy=f'(x)\,dx,}$

どこ${\displaystyle f'(x)}$はfのxに関する導関数であり、dxは追加の実変数です(したがって、dyはxとdxの関数です)。表記法は、方程式が

${\displaystyle dy={\frac {dy}{dx}}\,dx}$

ここで、導関数はライプニッツ記法dy / dxで表され、これは導関数を微分値の商とみなすことと一致する。また、次のように書くこともできる。

${\displaystyle df(x)=f'(x)\,dx.}$

変数dyとdxの正確な意味は、適用する状況と求められる数学的厳密性のレベルによって異なります。これらの変数の定義域は、微分が特定の微分形式とみなされる場合は特定の幾何学的意味を持ち、微分が関数の増分の線形近似とみなされる場合は解析的意味を持つことがあります。従来、変数dxとdyは非常に小さい（無限小）とみなされており、この解釈は非標準解析において厳密に行われます。

差別化ルール

。

直接比較テスト

無限級数または広義積分を、既知の収束特性を持つものと比較する収束判定法。

ディリクレの判定法

これは級数の収束を判定する方法の一つです。考案者であるピーター・グスタフ・ルジューヌ・ディリクレにちなんで名付けられ、1862年に死後『 Journal de Mathématiques Pures et Appliquées』誌に掲載されました^{。[ 32 ]}この判定法は、もし ならば と定義されます。${\displaystyle \{a_{n}\}}$は実数の数列であり、${\displaystyle \{b_{n}\}}$複素数列が

• ${\displaystyle a_{n+1}\leq a_{n}}$

• ${\displaystyle \lim _{n\rightarrow \infty }a_{n}=0}$

• ${\displaystyle \left|\sum _{n=1}^{N}b_{n}\right|\leq M}$すべての正の整数Nに対して

ここでMは定数であり、

${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }a_{n}b_{n}}$

収束する。

ディスク統合

積分計算では円盤法としても知られるこの方法は、固体材料の回転体の体積を、回転軸に「平行」な軸に沿って積分することによって計算する方法です。

発散する系列

これは収束しない無限級数であり、つまり、級数の部分和の無限列には有限の極限値がありません。

不連続

連続関数は、数学、関数、および応用において極めて重要です。しかし、すべての関数が連続であるとは限りません。関数が定義域内の特定の点で連続でない場合、その点に不連続点があると言います。関数の不連続点の集合は、離散的な集合、密な集合、あるいは関数の定義域全体となる場合もあります。

ドット積

数学において、ドット積またはスカラー積^{[注1 ]}は、長さが等しい2つの数値列（通常は座標ベクトル）を入力として、1つの数値を返す代数演算です。ユークリッド幾何学では、 2つのベクトルのデカルト座標のドット積が広く使用されており、ユークリッド空間で定義できる唯一の内積ではないにもかかわらず、しばしば「ユークリッド空間の」内積（またはまれに射影積）と呼ばれます。内積空間も参照してください。

二重積分

多重積分は、 f ( x , y )やf ( x , y , z )のように、複数の実変数の関数の定積分です。R2^内の領域における2変数関数の積分は二重積分と呼ばれ、 R3^内の領域における3変数関数の積分は三重積分と呼ばれます。^{[ 33 ]}

e（数学定数）

数e は自然対数の底となる数学定数であり、自然対数が 1 に等しい唯一の数です。約2.71828に等しく、^{[ 34 ]} nが無限大に近づくときの(1 + 1/ n ) ⁿの極限であり、複利の研究で現れる式です。無限級数の和としても計算できます^{[ 35 ] 。}

${\displaystyle e=\displaystyle \sum \limits _{n=0}^{\infty }{\dfrac {1}{n!}}={\frac {1}{1}}+{\frac {1}{1}}+{\frac {1}{1\cdot 2}}+{\frac {1}{1\cdot 2\cdot 3}}+\cdots }$

楕円積分

積分学において、楕円積分はもともと楕円の弧長を求める問題に関連して生じた。最初に研究したのはジュリオ・ファニャーノとレオンハルト・オイラー（1750年頃）である。現代数学では、「楕円積分」は、次の形式で表せる任意 の関数fと定義される。

${\displaystyle f(x)=\int _{c}^{x}R\left(t,{\sqrt {P(t)}}\right)\,dt,}$

ここで、Rは2つの引数の有理関数であり、 Pは重根を持たない3次または4次の多項式であり、cは定数である。

本質的な不連続性

本質的な不連続性の場合、2つの片側極限のうち1つだけが存在しないか無限大であればよい。関数を考えてみよう。

${\displaystyle f(x)={\begin{cases}\sin {\frac {5}{x-1}}&{\mbox{ for }}x<1\\0&{\mbox{ for }}x=1\\{\frac {1}{x-1}}&{\mbox{ for }}x>1\end{cases}}}$

そして、ポイント${\displaystyle \scriptstyle x_{0}\;=\;1}$本質的な不連続性である。

この場合、${\displaystyle \scriptstyle L^{-}}$存在しないし${\displaystyle \scriptstyle L^{+}}$は無限大であるため、本質的不連続性の条件を2倍満たします。したがって、x _0は本質的不連続性、無限不連続性、または第2種の不連続性です。（これは、複素変数関数を研究する際によく使用される本質的特異点という用語とは異なります。）

オイラー法

オイラー法は、与えられた初期値を持つ1階1次微分方程式を解くための数値解法です。これは、常微分方程式の数値積分における最も基本的な陽解法であり、最も単純なルンゲ・クッタ法です。オイラー法は、著書『Institutionum calculi integralis』（1768～1870年出版）でこの方法を扱ったレオンハルト・オイラーにちなんで名付けられました。^{[ 36 ]}

指数関数

数学において、指数関数は次の形式の関数である。

${\displaystyle f(x)=ab^{x},}$

ここで、bは正の実数であり、引数x は指数として現れる。実数cおよびd に対して、次の形式の関数${\displaystyle f(x)=ab^{cx+d}}$は指数関数でもあり、次のように書き換えることができます。

${\displaystyle ab^{cx+d}=\left(ab^{d}\right)\left(b^{c}\right)^{x}.}$

極値定理

実数値関数fが閉区間 [ a , b ]で連続である場合、 f は少なくとも一度は最大値と最小値をとる。つまり、 [ a , b ] 内に次のような数cとdが存在する。

${\displaystyle f(c)\geq f(x)\geq f(d)\quad {\text{for all }}x\in [a,b].}$

関連する定理として、閉区間 [ a , b ]における連続関数fはその区間上で有界であるという有界性定理がある。すなわち、次の式を満たす実数mとMが存在する。

${\displaystyle m<f(x)<M\quad {\text{for all }}x\in [a,b].}$

極値定理は、関数が有界であるだけでなく、その最大値が最小上界であり、最小値が最大下界であることを述べることで、有界性定理を拡張する。

極値

数学解析では、関数の最大値と最小値（最大値と最小値のそれぞれの複数形）は、総称して極値（極値の複数形）と呼ばれ、与えられた範囲内（局所的または相対的極値）または関数の定義域全体（大域的または絶対的極値）における関数の最大値と最小値です。^{[ 37 ] [ 38 ] [ 39 ]}ピエール・ド・フェルマーは、関数の最大値と最小値を見つけるための一般的な手法であるアデクオリフィケーションを提案した最初の数学者の一人でした。集合論で定義されているように、集合の最大値と最小値は、それぞれ集合内の最大の要素と最小の要素です。実数の集合のような、境界のない無限集合には、最小値も最大値もありません。

ファア・ディ・ブルーノの公式

は、連鎖律を高階導関数に一般化した数学の恒等式であり、フランチェスコ・ファア・ディ・ブルーノ（1855年、1857年）にちなんで名付けられましたが、彼がこの公式を最初に述べたり証明したりしたわけではありません。ファア・ディ・ブルーノより50年以上前の1800年に、フランスの数学者ルイ・フランソワ・アントワーヌ・アルボガストが微積分学の教科書でこの公式を述べており^{[ 40 ]} 、この主題に関する最初の出版物と考えられています^{[ 41 ]} 。 ファア・ディ・ブルーノの公式の最もよく知られた形式は、おそらく次の通りです。  

${\displaystyle {d^{n} \over dx^{n}}f(g(x))=\sum {\frac {n!}{m_{1}!\,1!^{m_{1}}\,m_{2}!\,2!^{m_{2}}\,\cdots \,m_{n}!\,n!^{m_{n}}}}\cdot f^{(m_{1}+\cdots +m_{n})}(g(x))\cdot \prod _{j=1}^{n}\left(g^{(j)}(x)\right)^{m_{j}},}$

ここで、総和は制約を満たすすべてのn個の非負整数の組( m ₁ , …, m _{n ) について取られる。}

${\displaystyle 1\cdot m_{1}+2\cdot m_{2}+3\cdot m_{3}+\cdots +n\cdot m_{n}=n.}$

記憶に残りやすいパターンにするために、以下で説明する組み合わせ論的な解釈を持つ係数が、あまり明示的でない形で記述される場合もある。

${\displaystyle {d^{n} \over dx^{n}}f(g(x))=\sum {\frac {n!}{m_{1}!\,m_{2}!\,\cdots \,m_{n}!}}\cdot f^{(m_{1}+\cdots +m_{n})}(g(x))\cdot \prod _{j=1}^{n}\left({\frac {g^{(j)}(x)}{j!}}\right)^{m_{j}}.}$

m ₁  + m ₂ + ... + m _n = kの値が同じ項を組み合わせ、j > n − k + 1 の場合m _{j が}ゼロでなければならないことに注意すると、ベル多項式B _{n , k} ( x ₁ ,..., x _{n − k +1} )で表された、やや単純な式が得られます。              

${\displaystyle {d^{n} \over dx^{n}}f(g(x))=\sum _{k=1}^{n}f^{(k)}(g(x))\cdot B_{n,k}\left(g'(x),g''(x),\dots ,g^{(n-k+1)}(x)\right).}$

1次多項式

第一微分テスト

一次導関数判定法は、関数の定義域内の特定の点に着目し、関数の単調性（増加または減少）を調べます。関数がその点で増加から減少に「切り替わる」場合、その点で関数は最大値をとります。同様に、関数がその点で減少から増加に「切り替わる」場合、その点で最小値をとります。関数が「切り替わらず」、増加または減少を続ける場合、最大値も最小値も得られません。

分数階微積分

微分演算子Dの実数べき乗または複素数べき乗を定義するさまざまな可能性を研究する数学解析の一分野です。

${\displaystyle Df(x)={\dfrac {d}{dx}}f(x)}$、

積分演算子Jの

${\displaystyle Jf(x)=\int _{0}^{x}\!\!\!\!f(s){ds}}$[^{注2 ]}

そして、古典的な演算子の計算体系を一般化した、そのような演算子のための計算体系を開発する。

この文脈では、「べき乗」という用語は、関数合成が変数に作用するのと類似した形で、関数に線形演算子を繰り返し適用することを指します。つまり、 f ∘2 ⁽ x ) = f ∘ f ( x ) = f ( f ( x ) )です            。

円錐台

幾何学において、円錐台（複数形：frustaまたはfrustums ）とは、立体（通常は円錐またはピラミッド）を切断する1 つまたは 2 つの平行な平面の間にある部分のことです。直円錐台は、直角ピラミッドまたは直角円錐の平行な切断です。^{[ 42 ]}

関数

関数の定義域である集合Xの各要素xを、関数の終域である別の集合Y (同じ集合である場合もある)の単一の要素yに関連付けるプロセスまたは関係です。関数をfと呼ぶ場合、この関係はy = f ( x ) ( f of xと読む) と表記され、要素xは関数の引数または入力であり、 yは関数の値、出力、またはfによるxの像です。^{[ 43 ]}入力を表すために使用される記号は、関数の変数です ( f は変数xの関数であるとよく言われます)。

関数合成

これは、2つの関数fとgを受け取り、 h ( x ) = g ( f ( x ))となる関数hを生成する操作です。この操作では、関数gが、関数fをxに適用した結果に適用されます。つまり、関数f : X → Yとg : Y → Zが合成され、 XのxをZのg ( f ( x ))にマッピングする関数が生成されます。

微積分学の基本定理

微積分学の基本定理は、関数の微分の概念と関数の積分の概念を結びつける定理です。この定理の最初の部分（微積分学の第一基本定理と呼ばれることもあります）は、ある関数fの原始関数（不定積分とも呼ばれる）の 1 つ、例えばFは、変数積分範囲でのfの積分として得られることを述べています。これは、連続関数に原始関数が存在することを意味します。^{[ 44 ]} 逆に、この定理の 2 番目の部分（微積分学の第二基本定理と呼ばれることもあります）は、ある区間での関数fの積分は、その無限に存在する原始関数の 1 つ、例えばFを用いて計算できることを述べています。この定理のこの部分は、重要な実用的な応用があります。なぜなら、記号積分によって関数の原始関数を明示的に求めることで、積分を計算するための数値積分を回避できるからです。これにより、一般的に数値精度が向上します。

ライプニッツの一般原則

ゴットフリート・ヴィルヘルム・ライプニッツにちなんで名付けられた一般ライプニッツの法則^{[ 45 ]}は、積の法則（「ライプニッツの法則」としても知られる）を一般化したものである。この法則は、もし${\displaystyle f}$そして${\displaystyle g}$は${\displaystyle n}$微分可能な関数の場合、積は${\displaystyle fg}$また${\displaystyle n}$-回微分可能で、${\displaystyle n}$の導関数は次のように与えられる。

${\displaystyle (fg)^{(n)}=\sum _{k=0}^{n}{n \choose k}f^{(n-k)}g^{(k)},}$

どこ${\displaystyle {n \choose k}={n! \over k!(n-k)!}}$は二項係数であり、${\displaystyle f^{(0)}\equiv f.}$

これは積の法則と数学的帰納法 を用いて証明できる。

グローバル最大値

数学解析では、関数の最大値と最小値（最大値と最小値のそれぞれの複数形）は、総称して極値（極値の複数形）と呼ばれ、与えられた範囲内（局所的または相対的極値）または関数の定義域全体（大域的または絶対的極値）における関数の最大値と最小値です。^{[ 46 ] [ 47 ] [ 48 ]}ピエール・ド・フェルマーは、関数の最大値と最小値を見つけるための一般的な手法であるアデクオリフィケーションを提案した最初の数学者の一人でした。集合論で定義されているように、集合の最大値と最小値は、それぞれ集合内の最大の要素と最小の要素です。実数の集合のような、境界のない無限集合には、最小値も最大値もありません。

グローバルミニマム

数学解析では、関数の最大値と最小値（最大値と最小値のそれぞれの複数形）は、総称して極値（極値の複数形）と呼ばれ、与えられた範囲内（局所的または相対的極値）または関数の定義域全体（大域的または絶対的極値）における関数の最大値と最小値です。^{[ 49 ] [ 50 ] [ 51 ]}ピエール・ド・フェルマーは、関数の最大値と最小値を見つけるための一般的な手法であるアデクオリフィケーションを提案した最初の数学者の一人でした。集合論で定義されているように、集合の最大値と最小値は、それぞれ集合内の最大の要素と最小の要素です。実数の集合のような、境界のない無限集合には、最小値も最大値もありません。

黄金螺旋

幾何学において、黄金螺旋とは、成長率が黄金比φである対数螺旋のことである。^{[ 52 ]}つまり、黄金螺旋は4分の1回転するごとにφ倍だけ広くなる（または原点から遠ざかる）。

勾配

は、導関数の多変数への一般化です。導関数は単一変数の関数に対して定義できますが、多変数の関数では勾配がその役割を果たします。勾配はベクトル値関数であり、スカラー値関数である導関数とは異なります。

和声進行

数学において、調和数列（または調和数列）とは、等差数列の逆数を取ることによって形成される数列のことである。それは次の形式の 数列である。

${\displaystyle {\frac {1}{a}},\ {\frac {1}{a+d}}\ ,{\frac {1}{a+2d}}\ ,{\frac {1}{a+3d}}\ ,\cdots ,{\frac {1}{a+kd}},}$

ここで、 −a/ dは自然数ではなく、k は自然数である。

言い換えれば、数列の各項が隣接する項の調和平均である場合、その数列は調和数列である。

調和数列（ a = 1 かつk = 0 の自明な場合を除く）の和が整数になることは 不可能である。その理由は、必然的に、数列の少なくとも 1 つの分母が、他のどの分母も割り切れない素数で割り切れるからである。 ^{[ 53 ]}

高階微分

fを微分可能な関数とし、f ′ をその導関数とする。f ′の導関数（存在する場合）はf ′′と表記され、 fの2 階導関数と呼ばれる。同様に、2 階導関数の導関数（存在する場合）はf ′′′と表記され、 fの3 階導関数と呼ばれる。このプロセスを続けると、 n階導関数（存在する場合）は、 ( n -1)階導関数の導関数として定義できる。これらの繰り返し導関数は、高階導関数と呼ばれる。n階導関数は、 n階導関数とも呼ばれる。

同次線形微分方程式

微分方程式は、 2つの点のいずれかにおいて同次である可能性がある。1階微分方程式は、次のように書ける場合に同次であると言われる 。

${\displaystyle f(x,y)dy=g(x,y)dx,}$

ここで、 fとg はxとyの同次関数である。この場合、変数変換y = uxにより、次の形式の方程式が得られる。

${\displaystyle {\frac {dx}{x}}=h(u)du,}$

これは、 2つの要素を統合することで簡単に解決できます。

それ以外の場合、微分方程式は、未知関数とその導関数の同次関数である場合に同次である。線形微分方程式 の場合、これは定数項がないことを意味する。任意の次数の線形常微分方程式の解は、定数項を取り除いて得られる同次方程式の解を積分することによって導き出すことができる。

双曲線関数

双曲線関数は、通常の三角関数、または円関数の類似物である。

恒等関数

恒等関係、恒等写像、恒等変換とも呼ばれるこの関数は、引数として使用された値と同じ値を常に返します。方程式では、この関数はf ( x ) = xで表されます。

虚数

^は、実数に虚数単位iを掛けた形で表せる複素数です。^{[注 2 ]} i ² = −1という性質で定義されます。^{[ 54 ]}虚数biの2 乗は−b 2です。例えば、5 iは虚数であり、その 2 乗は−25です。ゼロは実数と虚数の両方であると考えられています。^{[ 55 ]}

暗黙関数

数学において、陰方程式とは、 次の形式の関係である。${\displaystyle R(x_{1},\ldots ,x_{n})=0}$、 どこ${\displaystyle R}$は複数の変数（多くの場合多項式）の関数です。例えば、単位円の陰関数方程式は${\displaystyle x^{2}+y^{2}-1=0}$陰関数とは、変数の1つ（値）を他の変数（引数）と関連付けることによって、陰方程式によって暗黙的に定義される関数である。 ^{[ 56 ]： 204-206}したがって、の陰関数は${\displaystyle y}$単位円の文脈では、暗黙のうちに定義される${\displaystyle x^{2}+f(x)^{2}-1=0}$この暗黙の方程式は、${\displaystyle f}$関数として${\displaystyle x}$のみ${\displaystyle -1\leq x\leq 1}$そして、関数の値としては非負（または非正）の値のみを考慮する。陰関数定理は、ある種の関係が陰関数を定義する条件、すなわち、連続的に微分可能な多変数関数の零点集合の指示関数として定義される関係を規定する。

仮分数

一般的な分数は、真分数と仮分数に分類できます。分子と分母が両方とも正の場合、分子が分母より小さい場合は真分数、そうでない場合は仮分数と呼ばれます。^{[ 57 ] [ 58 ]}一般に、分数の絶対値が厳密に 1 より小さい場合、つまり、分数が -1 より大きく 1 より小さい場合、一般的な分数は真分数であると言われます。 ^{[ 59 ] [ 60 ]}分数の絶対値が 1 以上の場合 、仮分数、または時にはトップヘビー分数と呼ばれます。^{[ 61 ]}真分数の例としては、2/3、-3/4、4/9 があります。仮分数の例としては、9/4、-4/3、3/3 があります。

不適切な積分

数学解析において、広義積分とは、積分区間の端点が特定の実数に近づくときの定積分の極限のことである。${\displaystyle \infty }$、${\displaystyle -\infty }$あるいは、両端点が極限に近づく場合など。このような積分は、標準的な定積分と同様に記号的に表されることが多く、場合によっては積分範囲の極限が無限大となる。具体的には、広義積分は次の形式の極限である。

${\displaystyle \lim _{b\to \infty }\int _{a}^{b}f(x)\,dx,\qquad \lim _{a\to -\infty }\int _{a}^{b}f(x)\,dx,}$

または

${\displaystyle \lim _{c\to b^{-}}\int _{a}^{c}f(x)\,dx,\quad \lim _{c\to a^{+}}\int _{c}^{b}f(x)\,dx,}$

これは、一方の端点または他方の端点（あるいは両方の端点）で極限を取るものである（アポストル 1967、§10.23）。

変曲点

微分積分学において、変曲点（変曲点、屈曲点、屈曲、またはイギリス英語ではinflexion ）とは、連続平面曲線上で、曲線が凹（下に凸）から凸（上に凸）に変化する点、またはその逆の点のことです。

瞬間変化率

単一変数関数の導関数は、ある入力値において、その点における関数のグラフの接線の傾きに相当します。接線は、その入力値付近における関数の最良の線形近似です。そのため、導関数はしばしば「瞬間変化率」、すなわち従属変数の瞬間変化と独立変数の瞬間変化の比として表現されます。

瞬間速度

vを速度、xを変位（位置の変化）ベクトルとすると、粒子または物体の（瞬間的な）速度は、任意の時刻tにおいて、位置の時間 微分として表すことができる。

${\displaystyle {\boldsymbol {v}}=\lim _{{\Delta t}\to 0}{\frac {\Delta {\boldsymbol {x}}}{\Delta t}}={\frac {d{\boldsymbol {x}}}{d{\mathit {t}}}}.}$

この微分方程式から、一次元の場合、速度と時間の関係を示すグラフ（v - tグラフ）の下の面積が変位xであることがわかります。微積分で言えば、速度関数v ( t )の積分は変位関数x ( t )です。図では、これはsとラベル付けされた曲線の下の黄色の領域に対応します（sは変位の別の表記です）。

${\displaystyle {\boldsymbol {x}}=\int {\boldsymbol {v}}\ d{\mathit {t}}.}$

位置の時間微分は、位置の変化（メートル）を時間の変化（秒）で割った値となるため、速度はメートル毎秒（m/s）で測定されます。瞬間速度という概念は、一見すると直感に反するように思えるかもしれませんが、物体がその瞬間に加速を停止した場合に継続する速度と考えることができます。

積分

積分は、微小なデータを組み合わせることで生じる変位、面積、体積などの概念を記述できるような方法で、関数に数値を割り当てる。積分は微積分学の2つの主要な演算の1つであり、もう1つはその逆演算である微分である。

積分記号

積分記号：

∫ ( Unicode )${\displaystyle \displaystyle \int }$( LaTeX )

は、数学において積分と原始関数 を表すために用いられる。

被積分関数

積分において積分される関数。

部品による統合

微積分、そしてより一般的には数学解析において、部分積分とは、関数の積の積分を、その導関数と原始関数の積分を用いて求めるプロセスです。これは、関数の積の原始関数を、解をより容易に求めることができる原始関数に変換するためによく用いられます。この法則は、微分法の積の法則を積分することで容易に導き出すことができます。u = u ( x )かつdu = u ′ ( x ) dxであり、 v = v ( x )かつdv = v ′ ( x ) dxである場合、部分積分は次のようになります。

${\displaystyle {\begin{aligned}\int _{a}^{b}u(x)v'(x)\,dx&={\Big [}u(x)v(x){\Big ]}_{a}^{b}-\int _{a}^{b}u'(x)v(x)\,dx\\&=u(b)v(b)-u(a)v(a)-\int _{a}^{b}u'(x)v(x)\,dx\end{aligned}}}$

またはより簡潔に：

${\displaystyle \int u\,dv=uv-\int v\,du.}$

数学者のブルック・テイラーは部分積分を発見し、1715年にそのアイデアを初めて発表した。^{[ 62 ] [ 63 ]}リーマン・スティルチェス積分とルベーグ・スティルチェス積分には、より一般的な部分積分の定式化が存在する。数列の離散的な類似物は部分和と呼ばれる。

。

置換積分

置換積分とも呼ばれるこの方法は、積分を解くための手法です。微積分学の基本定理を用いる場合、多くの場合、原始関数を求める必要があります。このような理由などから、置換積分は数学において重要なツールです。これは微分における連鎖律に対応するものです。

中間値の定理

数学解析において、中間値の定理は、区間[ a , b ] を定義域とする連続関数fが、区間の両端でf ( a ) とf ( b )の値をとる場合、区間内のどこかの点でf ( a ) とf ( b )の間の任意の値をとることを述べている。これには次の 2 つの重要な系がある。

1. 連続関数が区間内で反対の符号の値を持つ場合、その関数はその区間内に根を持つ（ボルツァーノの定理）。^{[ 64 ]}
2. 区間上の連続関数の像は、それ自体が区間である。

逆三角関数

（アークス関数^{[ 65 ] [ 66 ] [ 67 ] [ 68 ] [ 69 ]} 、反三角関数^{[ 70 ]}、またはサイクロメトリック関数^{[ 71 ] [ 72 ] [ 73 ]}とも呼ばれる）は、三角関数の逆関数（適切な制限された定義域を持つ）です。具体的には、正弦、余弦、正接、余接、正割、余割関数の逆関数であり、角度の三角比から角度を求めるために使用されます。

ジャンプ不連続

関数を考えてみましょう

${\displaystyle f(x)={\begin{cases}x^{2}&{\mbox{ for }}x<1\\0&{\mbox{ for }}x=1\\2-(x-1)^{2}&{\mbox{ for }}x>1\end{cases}}}$

すると、点x ₀ = 1 はジャンプ不連続点となる。

この場合、片側極限L ⁻とL ⁺が存在し、有限ではあるものの等しくないため、単一の極限は存在しません。L − ≠ L + なので、^極限L^は存在しません。したがって、x ₀はジャンプ不連続、ステップ不連続、または第一種不連続と呼ばれます。このタイプの不連続の場合、関数fはx ₀で任意の値をとることができます。

ルベーグ積分

数学において、一変数の非負関数の積分は、最も単純な場合、その関数のグラフとx軸で囲まれた領域とみなすことができます。ルベーグ積分は、この積分をより広いクラスの関数に拡張するものです。また、これらの関数が定義できる領域も拡張します。

ロピタルの法則

ロピタルの法則は、不定形を含む極限を評価するために導関数を 用いる法則です。この法則を適用（または繰り返し適用）すると、不定形が代入によって評価できる式に変換され、極限の評価が容易になります。この法則は、17世紀のフランスの数学者ギヨーム・ド・ロピタルにちなんで名付けられました。この法則の貢献はしばしばロピタルに帰せられますが、この定理は1694年にスイスの数学者ヨハン・ベルヌーイによってロピタルに初めて紹介されました。ロピタルの法則は、開区間Iにおいて、 Iに含まれる点cを除いて微分可能な関数fとgについて、${\displaystyle \lim _{x\to c}f(x)=\lim _{x\to c}g(x)=0{\text{ or }}\pm \infty ,}$${\displaystyle g'(x)\neq 0}$すべてのx ≠ cであるIのすべてのxに対して、${\displaystyle \lim _{x\to c}{\frac {f'(x)}{g'(x)}}}$存在するならば、

${\displaystyle \lim _{x\to c}{\frac {f(x)}{g(x)}}=\lim _{x\to c}{\frac {f'(x)}{g'(x)}}.}$

分子と分母を微分することで、商が簡略化されたり、直接計算できる極限値に変換されたりすることがよくあります。

限界比較試験

極限比較判定法を用いると、ある級数の収束に基づいて、別の級数の収束を判定することができる。

関数の極限

。

積分限界

。

線形結合

数学において、線形結合とは、一連の項に定数を掛けて結果を足し合わせることによって構成される式のことです（例えば、x と y の線形結合は、aとbが定数であるax + byの形式の任意の式になります）。^{[ 74 ] [ 75 ] [ 76 ]}線形結合の概念は、線形代数および関連する数学分野の中心です。

線形方程式

線形方程式は、2 つ以上の変数を次の形式で関連付ける方程式です。${\displaystyle a_{1}x_{1}+\cdots +a_{n}x_{n}+b=0,}$各変数の最高次数は1である。

線形システム

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積分の一覧

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対数

。

対数微分

。

下限

。

平均値の定理

。

単調関数

。

多重積分

。

乗法計算

。

多変数微積分

。

自然対数

ある数の自然対数は、数学定数 e を底とする対数であり、eは、おおよそに等しい無理数かつ超越数である。2.718 281 828 459。xの自然対数は一般にln x、log _e xと表記され、底e が暗黙的である場合は、単にlog xと表記されることもあります。^{[ 77 ]}括弧を追加して明確にすることもあり、ln( x )、log _e ( x )、または log( x ) と表記されます。これは特に、対数の引数が単一の記号でない場合、曖昧さを避けるために行われます。

非ニュートン微積分

。

非標準微積分

。

微分を表す記号

。

数値積分

。

片側制限

。

常微分方程式

。

パップスの重心定理

（グルディヌスの定理、パップス・グルディヌスの定理、またはパップスの定理とも呼ばれる）は、回転体の表面積と体積を扱う2つの関連する定理のいずれかである。

放物線

これは、鏡面対称で、ほぼU字型の平面曲線です。一見異なるように見えるいくつかの数学的記述にも当てはまりますが、それらはすべて全く同じ曲線を定義していることが証明できます。

放物面

。

偏微分

。

偏微分方程式

。

部分分数分解

。

特定の解決策

。

区分的に定義された関数

関数の定義域内の特定の区間に適用される複数のサブ関数によって定義される関数。

位置ベクトル

。

権力ルール

。

積積分

。

積の法則

。

真分数

。

適切な合理的機能

。

ピタゴラスの定理

。

ピタゴラスの三角関数の恒等式

。

二次関数

代数学において、二次関数、二次多項式、2次多項式、または単に二次とは、1つ以上の変数を持つ多項式関数で^、最高次数が2次であるものを指します。例えば、3つの変数x、y、 zを持つ二次関数は、 x²、^y²、z² 、 xy、^xz、yz、x、y、z、および定数項 のみで構成されます。

${\displaystyle f(x,y,z)=ax^{2}+by^{2}+cz^{2}+dxy+exz+fyz+gx+hy+iz+j,}$

2次項の係数a、b、c、d、e、またはfのうち少なくとも1つがゼロでない。

単変数（単一変数）二次関数は^{[ 78 ]の形をとる。}

${\displaystyle f(x)=ax^{2}+bx+c,\quad a\neq 0}$

単一変数xに関する関数です。一変数二次関数のグラフは、右図に示すように、y軸に平行な対称軸を持つ放物線です。

二次関数をゼロに等しいとおくと、結果として二次方程式が得られます。この一変数方程式の解は、その一変数関数の根と呼ばれます。

変数xとyに関する二変量ケースは次の形式になります。

${\displaystyle f(x,y)=ax^{2}+by^{2}+cxy+dx+ey+f\,\!}$

a、b、cのうち少なくとも 1 つがゼロではなく、この関数をゼロに等しいと設定する方程式は円錐曲線(円またはその他の楕円、放物線、または双曲線) を生み出します。

一般に、変数の数は任意に多くても構いません。その場合、結果として得られる曲面は二次曲面と呼ばれますが、最高次の項はx ²、xy、yzなど、次数が 2 でなければなりません。

二次多項式

。

商の法則

2つの関数の比である関数の導関数を求める公式。

ラジアン

は角度を測定するためのSI 単位であり、数学の多くの分野で使用されている角度測定の標準単位です。単位円の弧の長さは、それが張る角度のラジアンでの測定値と数値的に等しくなります。1 ラジアンは 57.3度弱です( OEISでの展開: A072097 )。この単位は以前はSI 補助単位でしたが、このカテゴリは 1995 年に廃止され、ラジアンは現在SI 組立単位とみなされています。^{[ 79 ]}また、立体角測定 の SI 単位はステラジアンです。 

比率テスト

。

逆関数

。

相互ルール

。

リーマン積分

。

関連料金

。

取り外し可能な不連続性

。

ロルの定理

。

ルートテスト

。

スカラー

。

割線

。

2次多項式

。

2階微分

。

二次導関数テスト

。

2階微分方程式

。

シリーズ

。

シェル統合

。

シンプソンのルール

。

正弦

。

正弦波

。

傾斜場

。

挟み撃ちの定理

。

微分における和の法則

。

積分における和の法則

。

総和

。

補角

。

表面積

。

線形方程式系

。

積分表

。

テイラーシリーズ

。

テイラーの定理

。

正接

。

3次多項式

。

3階微分

。

トロイド

。

合計差額

。

三角関数

。

三角関数の恒等式

。

三角関数の積分

。

三角関数置換

。

三角法

。

三重積分

。

上限

。

変数

。

ベクター

。

ベクトル解析

。

洗濯機

。

洗濯機方式

。

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