機能適用

数学において、関数適用（または評価）とは、関数とその定義域からの入力を受け取り、その値域から対応する値を取得する行為である。この意味で、関数適用は関数抽象化の反対と考えることができる。^{[ 1 ]}

ラムダ計算から派生したプログラミング言語（ LISPやSchemeなど）や関数型言語において、これは中心的な役割を果たします。また、完全半順序における連続関数であるため、コンピュータプログラムの表示的意味論の研究においても重要な役割を担います。関数適用はホモトピー理論においても連続関数であり、実際、理論全体の基礎となっています。関数適用によって、ホモトピー変形を関数空間における連続パスとして捉えることができるのです。同様に、コンピュータプログラムの有効な変異（リファクタリング）は、スコット位相において「連続」であるものと見なすことができます。

関数の適用は通常、関数を表す変数と、括弧で囲まれた引数を並べて表されます。たとえば、次の式は、関数ƒを引数xに適用することを表しています。

${\displaystyle f(x)}$

場合によっては、括弧が不要な別の表記法が使用され、関数適用は単に並べるだけで表現できます。たとえば、次の式は前の式と同じとみなすことができます。

${\displaystyle f\;x}$

後者の表記法は、カリー化同型と組み合わせると特に便利です。関数が与えられた場合${\displaystyle f:(X\times Y)\to Z}$その応用は次のように表される。${\displaystyle f(x,y)}$前述の表記法と${\displaystyle f\;(x,y)}$（または${\displaystyle f\;\langle x,y\rangle }$議論とともに${\displaystyle \langle x,y\rangle \in X\times Y}$後者は、あまり一般的ではない山括弧で記述した関数を使用しています。ただし、カリー化された形式の関数は${\displaystyle f:X\to (Y\to Z)}$両者の主張を並置することで表現できる。${\displaystyle f\;x\;y}$、 それよりも${\displaystyle f(x)(y)}$これは、関数適用が左結合であることに依存しています。

デジタル文書で数式表記を表現する場合、目に見えないゼロ幅のUnicode文字U+2061 FUNCTION APPLICATIONとU+2062 INVISIBLE TIMESを使用することで、関数適用を意味する連結と乗算を意味する連結を区別できます。

関数適用は、 applyまたはと呼ばれる演算子として定義できます。${\displaystyle \$}$以下の定義による：

${\displaystyle f\mathop {\,\$\,} x=f(x)}$

演算子はバッククォート（`）で表すこともできます。

演算子が優先順位が低く右結合であると理解されている場合、適用演算子を使用して式に必要な括弧の数を減らすことができます。たとえば、

${\displaystyle f(g(h(j(x))))}$

次のように書き換えることができます。

${\displaystyle f\mathop {\,\$\,} g\mathop {\,\$\,} h\mathop {\,\$\,} j\mathop {\,\$\,} x}$

これは、関数合成を用いて次のように表現することもできます。

${\displaystyle (f\circ g\circ h\circ j)(x)}$

あるいは、次のようなことも：

${\displaystyle (f\circ g\circ h\circ j\circ x)()}$

考慮すると${\displaystyle x}$定数関数を返す${\displaystyle x}$。

公理的集合論、特にツェルメロ・フレンケル集合論では、関数${\displaystyle f:D\mapsto R}$はしばしば関係として定義される（${\displaystyle f\subseteq D\times R}$) 任意の${\displaystyle x\in D}$ユニークな${\displaystyle y\in R}$そのため${\displaystyle (x,y)\in f}$。

普通は「${\displaystyle (x,y)\in f}$「${\displaystyle y}$、そして通常はより一般的な関数表記法「${\displaystyle f(x)=y}$「. 関数適用、より具体的には表記法「${\displaystyle f(x)}$は、通常の集合論のシグネチャには含まれませんが、二項関数記号として理論に追加することができます。${\displaystyle \bullet (\bullet )}$必要に応じて、表現力を損なうことなく定義します。^{[ 2 ]}

$${\displaystyle X(Y)=\left\{{\begin{array}{lll}z&{\text{if }}X{\text{ is a function and }}(Y,z)\in X\\\varnothing &{\text{otherwise}}\\\end{array}}\right.}$$

あるいは、より正式には：^{[ 3 ] [ 4 ]}

$${\displaystyle X(Y)=z\iff (\exists D,R(X\in R^{D}\land ((Y,z)\in X)))\lor (\forall D,R(X\notin R^{D}\lor (Y,z)\notin X)\land z=\varnothing ),}$$

どこ${\displaystyle R^{D}}$は集合べき乗を表します。 からのすべての関数の集合${\displaystyle D}$に${\displaystyle R}$。

散文で：${\displaystyle X(Y)=z}$ドメインが存在する場合${\displaystyle D}$範囲${\displaystyle R}$そのため${\displaystyle X}$は関数です${\displaystyle D}$に${\displaystyle R}$そして${\displaystyle (Y,z)\in X}$; または（前者の否定）そして${\displaystyle z=\varnothing .}$空集合を使用するという選択${\displaystyle \varnothing }$いつ${\displaystyle X(Y)}$定義されていないのは任意であり、議論領域全体で定義された表記法を保証するためである。^{[ 5 ]}

もし${\displaystyle \Psi (X,Y,z)}$上記の双条件式の右辺の式は、任意の2つの集合に対して、${\displaystyle X,Y}$式${\displaystyle \Psi }$一意のオブジェクトを関連付ける${\displaystyle z}$:${\displaystyle \forall X,Y\,\exists !z\,\Psi (X,Y,z)}$したがって、集合論の言語は定義による拡張を用いて関数適用演算を含めることができる。${\displaystyle \bullet (\bullet )}$控えめに言って。

コンピュータプログラミングにおいて、関数適用とは、真の数学関数ではなく、プロシージャを呼び出したり実行したりすることを指す場合が多く（コンピュータプログラミングにおける関数を参照）、その動作には同様の規則が適用されます。

関数適用は、ラムダ計算におけるベータ還元に相当する。

(適用#' + (リスト1 2 ))

(適用+ (リスト1 2 ))

可変引数関数( arrayOfArgs );

関数< T , R >

R apply ( T para )

s := [] string { "foo" , "bar" } variadicFunc ( s ... )

func.apply ( null , args ) ;​

function apply ( f ,...) return f (...) end

# 同等のサブルーチン呼び出し: @args = ( @some_args , @more_args ); func ( @args );func ( @some_args , @more_args );

call_user_func_array ( 'func_name' , $args );

func （* args ）

f ( x1 , x2 ) # do.call ( what = f , args = list ( x1 , x2 ))を介して実行することもできます

aBlock valueWithArguments: args

関数を適用しますか？引数1引数2 ... ?

関数を考える${\displaystyle g:(X\times Y)\to Z}$つまり、${\displaystyle g\in [(X\times Y)\to Z]}$括弧表記は${\displaystyle [A\to B]}$は、 AからBへの関数の空間を表します。カリー化によって、一意の関数が存在します。${\displaystyle {\mbox{curry}}(g):X\to [Y\to Z]}$次に、Applyは普遍射を提供する。

${\displaystyle {\mbox{適用}}:([Y\to Z]\times Y)\to Z}$、

となることによって

${\displaystyle {\mbox{Apply}}(f,y)=f(y)}$

あるいは、同等に、通勤図がある。

$\displaystyle \mbox{適用}}\circ \left({\mbox{curry}}(g)\times {\mbox{id}}_{Y}\right)=g}$

より正確には、curry と apply は随伴関数です。

表記法${\displaystyle [A\to B]}$AからBへの関数の空間については、コンピュータサイエンスではより一般的に見られます。しかし、圏論では、${\displaystyle [A\to B]}$は指数オブジェクトとして知られており、次のように表記されます。${\displaystyle B^{A}}$他にも一般的な表記上の違いがあります。たとえば、^{Apply は Eval と呼ばれることがよくありますが [} 11 ]、コンピュータ^{サイエンスで}はこれらは同じものではなく、eval は関数を引数に適用するのではなく、関数の引用符付き文字列形式とその引数の評価であるという点で Apply と区別されます。

また、圏論では、カレーは一般的に次のように表される。${\displaystyle \lambda }$、 となることによって${\displaystyle \lambda g}$はカレー（g）を表すために書かれています。この表記法は、${\displaystyle \lambda }$ラムダ計算では、ラムダは束縛変数を表すために用いられる。これらの表記法の変更をすべて考慮すると、Applyとcurryの随伴性は可換図で表現される。

指数オブジェクトとデカルト閉圏に関する記事では、このアイデアの圏論的定式化についてより正確な議論が提供されています。したがって、ここでラムダを使用しているのは偶然ではありません。デカルト閉圏の内部言語は、単に型付きラムダ計算です。Applyの最も一般的な設定は、閉モノイド圏であり、デカルト閉圏はその一例です。ホモロジー代数では、curry と apply の随伴性は、テンソルホム随伴として知られています。

順序理論において、スコット位相を備えた完全半順序のカテゴリーでは、curryとapplyはどちらも連続関数である（つまり、スコット連続である）。^{[ 12 ]}この性質は、コンピュータプログラムの表示的意味論 の研究の基礎的な妥当性を確立するのに役立つ。

代数幾何学とホモトピー理論では、curryとapplyは空間が一定の場合に連続関数となる。${\displaystyle Y^{X}}$連続関数から${\displaystyle X}$に${\displaystyle Y}$コンパクトな開トポロジーが与えられ、${\displaystyle X}$これは局所的にコンパクトなハウスドルフ空間である。この結果は、ホモトピー理論の基礎となるものであり、ホモトピー変形を関数空間における連続的な経路として理解することを可能にするため、非常に重要である。

カリー・ハワード対応は、関数適用をモーダス・ポネンスの論理規則に関連付けている。

• 評価戦略
• 実行（コンピューティング）
• 機能構成
• ポーランド記譜法