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アデクオリファイは、ピエール・ド・フェルマーが著書『Methodus ad disquirendam maximam et minimam』[ 1 ]（1636年頃にフランスで流通したラテン語の論文）で開発した手法で、関数の最大値と最小値、曲線の接線、面積、質量の中心、最小作用、および微積分におけるその他の問題を計算するために用いられます。
アンドレ・ヴェイユによれば、フェルマーは「ディオファントスから借用したという専門用語adaequalitas、adaequareなどを導入した。ディオファントス V.11 が示すように、それは近似的な等しさを意味し、実際、フェルマーは後の著作の 1 つでそのように説明している。」(Weil 1973)。[ 2 ]ディオファントスは近似的な等しさを指すためにπαρισότης ( parisotēs )という言葉を造語した。 [ 3 ]クロード・ガスパール・バシェ・ド・メジリアックはディオファントスのギリシャ語をラテン語にadaequalitasと翻訳した。ポール・タンネリーによるフェルマーの最大値と最小値に関するラテン語論文のフランス語訳ではadéquationとadégaler という言葉が使われている。
フェルマーはまず等式を用いて関数の最大値を求め、次にそれを応用して曲線の接線を求めました。
項の最大値を求めるフェルマーは近似的に等しくした（つまり、適切とした）そしてそして代数計算（テイラー級数近似など）を行った後、彼は係数を消去することができた。そして、残りの用語をすべて破棄します。
フェルマー自身の例を用いてこの方法を説明するために、次の問題の最大値を求めることを考えてみましょう。（フェルマーの言葉によれば、長さの線を分割することである）ある時点で結果として得られる2つの部分の積が最大となるように[ 1 ]）。フェルマーはとつまり（表記法を用いると）等価性を表すために、ポール・タンネリーによって導入された用語）：
項を消去し、で割るフェルマーは
含まれていた用語を削除するフェルマーは、最大値が次のときに発生するという望ましい結果に到達しました。。
フェルマーはまた、光が最短経路を通るという自身の原理から、スネルの屈折の法則を数学的に導出するために自身の原理を用いた。 [ 4 ]
フェルマーの方法は、同時代の学者、特にデカルトから激しく批判された。ヴィクター・カッツは、これはデカルトが独自に同じ新しい数学、すなわち法則法を発見しており、その発見を非常に誇りに思っていたためだと示唆している。カッツはまた、フェルマーの方法は微積分学の将来の発展により近かったが、デカルトの方法は発展により直接的な影響を与えたとも指摘している。[ 5 ]
ニュートンとライプニッツは ともに、フェルマーの業績を微積分学の先駆者として挙げている。しかしながら、フェルマーの等式の正確な意味については、現代の学者間で意見の相違がある。フェルマーの等式は、数多くの学術研究で分析されてきた。1896年、ポール・タンネリーは、フェルマーの最大値と最小値に関するラテン語論文のフランス語訳を出版した（Fermat, Œuvres, Vol. III, pp. 121–156）。タンネリーはフェルマーの用語を「adégaler」と訳し、フェルマーの「adéquation」を採用した。タンネリーはまた、記号を導入した。数学式における不等式について。
ハインリヒ・ヴィーライトナー(1929) [ 6 ]は次のように書いています。
フェルマーはA をA + Eに置き換えます。次に、新しい式を元の式とほぼ等しい( angenähert gleich ) にし、両辺の等しい項を約分し、 Eの可能な限り高いべき乗で割ります。次に、 E を含むすべての項を約分し、残った項同士を等しくします。そこから (求める) Aが得られます。E が可能な限り小さい値であるべきことはどこにも述べられておらず、せいぜい「adaequalitas」という言葉で表現されているだけです。
（ヴィーライトナーは記号を使用しています））
マックス・ミラー（1934年）[ 7 ]は次のように書いた。
そこで、ディオファントスが言うように、最大値と最小値を表す両方の項をほぼ等しい（näherungsweise gleich）に置くべきである。
（ミラーはシンボルを使用しています））
ジャン・イタール（1948）[ 8 ]は次のように書いた。
「adégaler」という表現は、フェルマーがディオファントスから借用し、クシランダーとバシェによって翻訳されたものであることは周知の事実である。これは近似的な等式（égalité approximative）に関するものである。
（イタールはシンボルを使用しています））
ヨーゼフ・エーレンフリート・ホフマン(1963) [ 9 ]は次のように書いています。
フェルマーは、十分に小さいと考えられる量hを選び、f ( x + h )をf ( x ) とほぼ等しい( ungefähr gleich )とします。彼の専門用語はadaequareです。
（ホフマンは記号を使用しています））
ピア・ストロムホルム（1968）[ 10 ]は次のように書いている。
フェルマーのアプローチの基礎は、同じ形式でありながら厳密には等しくない2つの式を比較することであった。彼はこの過程を「等式による比較」または「等式による比較」と呼び、これは、変数をわずかに変更することで、「等式」の両辺間の本来厳密な同一性が破壊されることを意味していた。
。
私が思うに、これが彼がディオファントスのπἀρισον（パイリス）を用いた真の意味であり、変化の小ささを強調しているのだ。「adaequalitas」の一般的な訳は「近似的な平等」だが、フェルマーのこの考えを表現するには「擬似的な平等」の方がはるかに適切だと私は考える。
彼はさらに、「M1（方法1）では、変分Eをゼロに等しいとするという問題は全くなかった。フェルマーがEを含む項を消去する過程を表すために用いた言葉は「elido」、「deleo」、「expungo」であり、フランス語では「i'efface」と「i'ôte」である。正気な人間が意味を表現しようとして言葉を探しているときに、Eがゼロであるため項が消滅するという単純な事実を伝えるために、常にこのような回りくどい方法にたどり着くとは到底考えられない。（p. 51） 」と述べている。クラウス・イェンセン（1969）[ 11 ]は次のように書いている。
さらに、フェルマーの接線構成の一般法の基礎となるアデガリテの概念（実際には等しくないにもかかわらず、あたかも等しいかのように2つの量を比較することを意味する「tamquam essent aequalia, licet revera aequalia non sint」）を適用する際には、今日ではより一般的な記号を用いる。。
ラテン語の引用は、タンネリーによる1891年版のフェルマー第1巻140ページからのものです。 マイケル・ショーン・マホニー（1971）[ 12 ]は次のように書いています。
フェルマーの最大値・最小値法は、明らかに任意の多項式P(x)に適用可能であり、元々は純粋に有限的な代数的基礎に基づいていた。この方法は、反事実的に2 つの等しい根の不等式を仮定し、ヴィエテの方程式論によって、それらの根と多項式の係数の 1 つとの間の関係、すなわち完全に一般的な関係を決定した。そして、フェルマーが反事実的な仮定を取り除き、根を等しいとすると、この関係は極値解へと導いた。フェルマーはディオファントスから用語を借りて、この反事実的な等式を「アデクアライメント」と呼んだ。
マホニーはシンボルを使用しています.) 164ページ 、脚注46の末尾で、マホニーは、adequalityの意味の一つは近似的な等号、または極限の場合の等号であると述べている。 チャールズ・ヘンリー・エドワーズ・ジュニア（1979）[ 13 ]は次のように書いている。
例えば、長さのセグメントをどのように分割するかを決定するために2つのセグメントに分割そしてその製品最大とは、周囲長が の長方形を見つけることです面積が最大となるものについて、フェルマーは次のように進めた。まず、
（彼は未知数xに対してxとeの代わりにAとEを使用し）次に、結果として得られた式を元の式と比較するために、次の「擬似等式」を書き記しました。
項を消去した後、彼は両辺をeで割って、最後に彼はeを含む残りの項を削除し、擬似等式を真の等式に変換した。これは、 xの値を与え、最大限のものである。残念ながら、フェルマーはこの方法の論理的根拠を、歴史学者の間で彼の真意や意図について意見の相違が生じるのを防ぐのに十分な明瞭さや完全性をもって説明しなかった。
キルスティ・アンダーセン(1980) [ 14 ]は次のように書いています。
最大値または最小値の 2 つの表現は「adequal」にされ、これは「できる限り等しい」という意味です。
（アンデルセンはシンボルを使用しています）） ハーバート・ブレガー（1994）[ 15 ]は次のように書いている。
私の仮説を提示したいと思います。フェルマーは「adaequare」という言葉を「等しくする」という意味で使用しました 。数学的な文脈では、「aequare」と「adaequare」の唯一の違いは、後者の方が等式が成立しているという事実をより強調している点にあるようです。
（197ページ以降） ジョン・スティルウェル（スティルウェル 2006年 91ページ）は次のように書いています。
フェルマーは1630年代に等式不等式の概念を導入したが、時代を先取りしすぎていた。後継者たちは通常の等式の利便性を手放すことをためらい、等式不等式を厳密に用いるよりも、等式を緩やかに用いることを好んだ。等式不等式の概念が復活したのは、いわゆる非標準解析において20世紀になってからのことである。
エンリコ・ジュスティ（2009） [ 16 ]は、フェルマーがマラン・メルセンヌに宛てた手紙を引用し、その中でフェルマーは次のように書いている。
Cette comparison par adégalité produit deux termes inégaux qui enfin produisent l'égalité (selon ma méthode) qui nous donne la solution de la question" (「この十分性による比較は 2 つの不等項を生成し、最終的に (私の方法に従って) 等価性を生み出し、問題の解決策が得られます。」).
ジュスティは脚注で、この手紙はブレガーの目に留まらなかったようだと述べている。
クラウス・バーナー（2011）[ 17 ]は、フェルマーが、現在では一般的な等号の代わりに2つの異なるラテン語（aequabiturとadaequabitur）を使用していると主張している。aequabiturは、方程式が2つの定数間の有効な恒等式、普遍的に有効な（証明された）公式、または条件付き方程式に関する場合、adaequabiturは、方程式が独立していない2つの変数間の関係を記述する場合（そしてその方程式が有効な公式ではない場合）に使用される。バーナーは36ページで次のように書いている。「フェルマーはなぜ、接線法のすべての例で、一貫性のない手順を繰り返したのだろうか？なぜ彼は、実際に操作していた割線について一度も言及しなかったのだろうか？私にはわからない。」
Katz、Schaps、Shnider (2013) [ 18 ]は、フェルマーがサイクロイドなどの超越曲線にこの手法を適用したことは、フェルマーの不等式手法が純粋に代数的なアルゴリズムを超えていることを示しており、ブレガーの解釈とは異なり、ディオファントスが使用した専門用語parisotesとフェルマーが使用したadaequalitasはどちらも「近似等式」を意味すると主張している。彼らは、有限の超実数を最も近い実数に丸める標準的な部分関数として、現代数学におけるフェルマーの不等式手法の形式化を展開している。
