二項式（多項式）

代数学において、二項式は、それぞれが単項式である2つの項の和である多項式です。^[1]これは、単項式の次に 単純な種類の疎多項式です。

二項式は2つの単項式の和である多項式です。単一の不定値における二項式（単変量二項式とも呼ばれます）は、次のように表すことができます。

${\displaystyle ax^{m}-bx^{n},}$

ここで、aとbは数値、mとnは異なる非負の整数、x は不定値または歴史的な理由から変数と呼ばれる記号です。ローラン多項式のコンテキストでは、ローラン二項式(単に二項式と呼ばれることが多い) も同様に定義されますが、指数mとn は負になることがあります。

より一般的には、二項式は次のように表される^[2]。

${\displaystyle a\,x_{1}^{n_{1}}\dotsb x_{i}^{n_{i}}-b\,x_{1}^{m_{1}}\dotsb x_{i}^{m_{i}}}$

${\displaystyle 3x-2x^{2}}$

${\displaystyle xy+yx^{2}}$

${\displaystyle 0.9x^{3}+\pi y^{2}}$

${\displaystyle 2x^{3}+7}$

• 2つの平方の差である二項式x ² − y ²は、他の2つの二項式の積として因数分解できます。

${\displaystyle x^{2}-y^{2}=(xy)(x+y).}$

これは、より一般的な式の 特殊なケースです。

${\displaystyle x^{n+1}-y^{n+1}=(xy)\sum _{k=0}^{n}x^{k}y^{nk}.}$

複素数を扱う場合、これは次のように拡張することもできます。

${\displaystyle x^{2}+y^{2}=x^{2}-(iy)^{2}=(x-iy)(x+iy).}$

• 線形二項式のペア( ax + b )と( cx + d  )の積は三項式です。

${\displaystyle (ax+b)(cx+d)=acx^{2}+(ad+bc)x+bd.}$

• ^二項式のn乗は( x + y ) ⁿと表され、二項式定理、または同等のパスカルの三角形を使用して展開できます。たとえば、二項式( x + y )の平方( x + y ) ²は、2 つの項の平方の合計と項の積の 2 倍に等しくなります。つまり、次のようになります。

${\displaystyle (x+y)^{2}=x^{2}+2xy+y^{2}.}$

この展開の項の乗数として現れる数字 (1, 2, 1) は、パスカルの三角形の上から 2 行下にある二項係数です。n^乗の展開では、三角形の上からn行下にある数字を使用します。

• 二項式の平方に対する上記の公式の応用は、ピタゴラス数列を生成するための「 ( m ,  n )公式」です。

m < nの場合、a = n ² − m ²、b = 2 mn、c = n ² + m ²とすると、a ² + b ² = c ^{2 と}なります。

• 立方数の和または差である二項式は、次のようにより小さい次数の多項式に因数分解できます。

${\displaystyle x^{3}+y^{3}=(x+y)(x^{2}-xy+y^{2})}$

${\displaystyle x^{3}-y^{3}=(xy)(x^{2}+xy+y^{2})}$

• 正方形を完成させる
• 二項分布
• 階乗と二項式のトピックのリスト（多数の関連リンクが含まれています）

• ボストック, L. ;チャンドラー, S. (1978).純粋数学 1.オックスフォード大学出版局. p. 36. ISBN 0-85950-092-6。