鞍点

数学において、鞍点またはミニマックス点^[1]は、関数のグラフの表面上の点であり、直交方向の傾き（導関数）がすべてゼロになりますが（臨界点）、関数の極値ではありません。^[2] 鞍点の例としては、1 つの軸方向（ピーク間）に沿って相対的に最小値を持ち、交差軸に沿って相対的に最大値を持つ臨界点がある場合が挙げられます。ただし、鞍点は必ずしもこの形式である必要はありません。たとえば、関数はに臨界点を持ちますが、これは相対的に最大値でも相対的に最小値でもないため鞍点ですが、 -方向には相対的に最大値も相対的に最小値もありません。 ${\displaystyle f(x,y)=x^{2}+y^{3}}$${\displaystyle (0,0)}$${\displaystyle y}$

この名前は、2 次元での典型的な例が、乗馬用の鞍に似た、一方向には上向きにカーブし、別の方向には下向きにカーブする表面であることに由来しています。等高線で言えば、2 次元の鞍点は、その点で交差する 2 本の線を持つ等高線マップを生み出します。実際の陸地測量地図では、このような交差はまれです。鞍点の高さが、このような地図で使用される整数倍と一致する可能性は低いためです。代わりに、鞍点は、それに近づいたり離れたりする 4 組の等高線の間の空白スペースとして表示されます。基本的な鞍点の場合、これらのセットはペアで発生し、向かい合う高いペアと向かい合う低いペアが直交方向に配置されます。重要な等高線は、通常、直交して交差する必要はありません。

2つの実変数の実数値関数F ( x , y )の与えられた停留点が鞍点であるかどうかを確認するための簡単な基準は、その点における関数のヘッセ行列を計算することです。ヘッセ行列が不定値である場合、その点は鞍点です。たとえば、停留点における関数のヘッセ行列は、行列 ${\displaystyle z=x^{2}-y^{2}}$${\displaystyle (x,y,z)=(0,0,0)}$

${\displaystyle {\begin{bmatrix}2&0\\0&-2\\\end{bmatrix}}}$

これは不定です。したがって、この点は鞍点です。この基準は十分な条件のみを与えます。たとえば、点は関数の鞍点ですが、原点におけるこの関数のヘッセ行列はヌル行列であり、これは不定ではありません。 ${\displaystyle (0,0,0)}$${\displaystyle z=x^{4}-y^{4},}$

最も一般的な用語では、滑らかな関数（グラフが曲線、曲面、または超曲面）の鞍点とは、その点の近傍の曲線/曲面などがその点における接空間のどの側にも完全には存在しないような定常点です。

1次元の領域では、鞍点とは定常点であると同時に変曲点でもある点です。変曲点であるため、局所的極値ではありません。

鞍面は、 1 つ以上の鞍点を含む 滑らかな面です。

ユークリッド空間における 2 次元鞍面の典型的な例としては、2 次曲面、双曲放物面(「 鞍面」または「標準鞍面」と呼ばれることが多い)、および1 枚の双曲面があります。プリングルズのポテトチップスは、双曲放物面形状の日常的な例です。 ${\displaystyle z=x^{2}-y^{2}}$

鞍型曲面は負のガウス曲率を持ち、正のガウス曲率を持つ凸面/楕円面と区別されます。古典的な3次鞍型曲面はモンキーサドルです。^[3]

連続空間上で定義された2 人のプレイヤーのゼロ和ゲームでは、均衡点は鞍点です。

2次線形自律システムの場合、特性方程式が1つの正の実固有値と1つの負の実固有値を持つ場合、臨界点は鞍点と呼ばれる。^[4]

等式制約に従う最適化では、一次条件はラグランジアンの鞍点を記述します。

力学系において、力学が微分可能写像 fで与えられる場合、点が双曲的となるのは、ƒ ⁿ ( nは点の周期) の微分がその点で計算されたときに (複素)単位円上に固有値を持たない場合のみです。鞍点とは、安定多様体と不安定多様体の次元がゼロでない 双曲的周期点です。

行列の鞍点とは、その列で最大の要素であり、その行で最小の要素でもある要素です。

• 鞍点法は積分を近似するためのラプラス法の拡張である。
• 最大値と最小値
• 微分テスト
• 双曲平衡点
• 双曲幾何学
• ミニマックス定理
• 最大最小不等式
• 峠の定理

• ヒルベルト、デイヴィッド、コーン＝フォッセン、ステファン（1952年）。『幾何学と想像力』（第2版）。チェルシー。ISBN 0-8284-1087-9。

• ウィキメディア・コモンズのサドルポイントに関連するメディア