関数の微分

微積分学において、微分は関数の変化の主要部分を表す。${\displaystyle y=f(x)}$独立変数の変化に関して。${\displaystyle dy}$定義される $${\displaystyle dy=f'(x)\,dx,}$$ どこ${\displaystyle f'(x)}$は、 fのに関する導関数です。${\displaystyle x}$、 そして${\displaystyle dx}$は追加の実変数です（したがって${\displaystyle dy}$は関数である${\displaystyle x}$そして${\displaystyle dx}$) 表記法は、方程式が

$${\displaystyle dy={\frac {dy}{dx}}\,dx}$$

ここで、導関数はライプニッツ記法で表されます。${\displaystyle dy/dx}$これは、導関数を微分値の商とみなすことと一致する。また、次のように書くこともできる。

$${\displaystyle df(x)=f'(x)\,dx.}$$

変数の正確な意味${\displaystyle dy}$そして${\displaystyle dx}$アプリケーションのコンテキストと必要な数学的厳密性のレベルによって異なります。これらの変数の定義域は、微分が特定の微分形式とみなされる場合は特定の幾何学的意味を持ち、微分が関数の増分の線形近似とみなされる場合は解析的意味を持つ可能性があります。従来、変数は${\displaystyle dx}$そして${\displaystyle dy}$これらは非常に小さい（無限小）と考えられており、この解釈は非標準解析において厳密に行われる。

微分は、アイザック・ニュートンによる直感的または発見的な定義によって初めて導入され、ゴットフリート・ライプニッツによってさらに発展させられました。ライプニッツは、微分dy を関数の値yの無限小の変化（または無限小）と捉え、これは関数の引数xの無限小の変化dxに対応すると考えました。そのため、関数の導関数の値である、xに関するyの瞬間的な変化率は、分数で表されます。    

$$\displaystyle {\frac {dy}{dx}}}$$導関数のライプニッツ記法 と呼ばれるものにおいて、商は${\displaystyle dy/dx}$は無限に小さい数ではなく、実数です。

この形式での無限小の使用は、例えばバークレー司教の有名なパンフレット『解析学者』などで広く批判された。オーギュスタン＝ルイ・コーシー（1823年）は、ライプニッツの無限小の原子論に訴えることなく微分を定義した。^{[ 1 ] [ 2 ]}コーシーは、ダランベールに倣い、ライプニッツとその後継者たちの論理的順序を逆転させた。すなわち、微分そのものが差分商の極限として定義される基本対象となり、微分はそれを用いて定義された。つまり、微分を自由に定義することができたのである。${\displaystyle dy}$表現によって $${\displaystyle dy=f'(x)\,dx}$$ その中で${\displaystyle dy}$そして${\displaystyle dx}$これらは単に有限の実数値をとる新しい変数であり、ライプニッツの場合のように固定された無限小ではない。^{[ 3 ] [ 4 ]}

ボイヤー（1959年、12ページ）によれば、コーシーのアプローチは、無限小の形而上学的概念を持ち出す代わりに、量 ${\displaystyle dy}$そして${\displaystyle dx}$微分は、他の実数と全く同じように意味のある方法で操作できるようになった。コーシーの微分に関する全体的な概念的アプローチは、現代の解析的処理において標準的なものとして残っているが、^{[ 5 ]}厳密性、つまり極限の完全な現代的な概念に関する最終的な結論は、最終的にはカール・ワイエルシュトラスによるものであった。^{[ 6 ]}

熱力学の理論に適用されるような物理的取り扱いにおいては、依然として微小量の観点が主流である。クーラントとジョン（1999年、184ページ）は、微小量の物理的使用と数学的な不可能性を次のように調和させている。これらの微分は、意図された特定の目的に必要な精度よりも小さい、有限の非ゼロ値を表す。したがって、「物理的微小量」は、正確な意味を持つために、対応する数学的微小量に頼る必要はない。 

20世紀における数学解析と微分幾何学の発展に伴い、関数の微分という概念は様々な形で拡張できることが明らかになった。実解析においては、関数の増分の主要部分として微分を直接扱う方が望ましい。これは、ある点における関数の微分が増分の線形汎関数であるという概念に直接つながる。${\displaystyle \Delta x}$このアプローチにより、微分（線形写像として）をより洗練されたさまざまな空間に展開することができ、最終的にはフレシェ微分やガトー微分といった概念が生まれます。同様に、微分幾何学では、ある点における関数の微分は接線ベクトル（「無限小変位」）の線形関数であり、関数の外微分という一種の1形式として表されます。非標準微積分では、微分は無限小とみなされ、それ自体を厳密な基礎に置くことができます（微分（無限小）を参照）。

微分は、現代の微分積分学では次のように定義される。^{[ 7 ]} 関数の微分${\displaystyle f(x)}$単一の実変数${\displaystyle x}$関数は${\displaystyle df}$2つの独立した実変数${\displaystyle x}$そして${\displaystyle \Delta x}$によって与えられた

$${\displaystyle df(x,\Delta x)\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ f'(x)\,\Delta x.}$$

議論の一方または両方が抑制される可能性がある。つまり、${\displaystyle df(x)}$または単に${\displaystyle df}$。 もし${\displaystyle y=f(x)}$微分は次のように書くこともできます。${\displaystyle dy}$。 以来${\displaystyle dx(x,\Delta x)=\Delta x}$慣例として、${\displaystyle dx=\Delta x}$したがって、次の等式が成り立つ。

$${\displaystyle df(x)=f'(x)\,dx}$$

この微分の概念は、関数の線形近似を求める際に広く適用可能であり、その増分の値は${\displaystyle \Delta x}$が十分に小さい場合。より正確には、${\displaystyle f}$は、​${\displaystyle x}$すると、${\displaystyle y}$-値

$${\displaystyle \Delta y\ {\stackrel {\rm {def}}{=}}\ f(x+\Delta x)-f(x)}$$

満たす

$${\displaystyle \Delta y=f'(x)\,\Delta x+\varepsilon =df(x)+\varepsilon \,}$$

エラーが発生した場所${\displaystyle \varepsilon }$近似式では以下を満たす${\displaystyle \varepsilon /\Delta x\rightarrow 0}$として${\displaystyle \Delta x\rightarrow 0}$言い換えれば、近似的な恒等式が得られる。

$${\displaystyle \Delta y\approx dy}$$

誤差は、${\displaystyle \Delta x}$制約することによって${\displaystyle \Delta x}$十分に小さいこと、つまり、 $$\displaystyle {\frac {\Delta y-dy}{\Delta x}}\to 0}$$ として${\displaystyle \Delta x\rightarrow 0}$このため、関数の微分は関数の増分における主（線形）部分として知られています。微分は増分の線形関数です。${\displaystyle \Delta x}$、そしてエラーは${\displaystyle \varepsilon }$非線形になる可能性があり、急速にゼロに近づく傾向がある。${\displaystyle \Delta x}$ゼロに近づく。

Goursat (1904 , I, §15)に従って、複数の独立変数の関数については、

$${\displaystyle y=f(x_{1},\dots ,x_{n}),}$$

yの任意の変数x _iに関する偏微分は、その変数の変化dx _iによって生じるyの変化の主成分である。したがって、偏微分は  

$${\displaystyle {\frac {\partial y}{\partial x_{i}}}dx_{i}}$$

yのx _iに関する偏微分を含む。すべての独立変数に関する偏微分の合計が全微分である。 

$${\displaystyle dy={\frac {\partial y}{\partial x_{1}}}dx_{1}+\cdots +{\frac {\partial y}{\partial x_{n}}}dx_{n},}$$

これは、独立変数x _iの変化によって生じるyの変化の主要部分です。 

より正確には、多変数微積分学の文脈では、クーラント（1937b）に従って、f が微分可能な関数である場合、微分可能性の定義により、増分は

$${\displaystyle {\begin{aligned}\Delta y&{}~{\stackrel {\mathrm {def} }{=}}~f(x_{1}+\Delta x_{1},\dots ,x_{n}+\Delta x_{n})-f(x_{1},\dots ,x_{n})\\&{}={\frac {\partial y}{\partial x_{1}}}\Delta x_{1}+\cdots +{\frac {\partial y}{\partial x_{n}}}\Delta x_{n}+\varepsilon _{1}\Delta x_{1}+\cdots +\varepsilon _{n}\Delta x_{n}\end{aligned}}}$$

ここで、誤差項ε _{i は} 、増分Δ x _{i が}共にゼロに近づくにつれてゼロに近づく。総微分は厳密に次のように定義される。

$${\displaystyle dy={\frac {\partial y}{\partial x_{1}}}\Delta x_{1}+\cdots +{\frac {\partial y}{\partial x_{n}}}\Delta x_{n}.}$$

この定義によれば、 $${\displaystyle dx_{i}(\Delta x_{1},\dots ,\Delta x_{n})=\Delta x_{i},}$$ 1つは $${\displaystyle dy={\frac {\partial y}{\partial x_{1}}}\,dx_{1}+\cdots +{\frac {\partial y}{\partial x_{n}}}\,dx_{n}.}$$

1変数の場合と同様に、近似的な恒等式が成り立つ。

$${\displaystyle dy\approx \Delta y}$$

全体誤差は、${\textstyle {\sqrt {\Delta x_{1}^{2}+\cdots +\Delta x_{n}^{2}}}}$十分に小さな増分に注意を集中することによって。

誤差推定への全微分法の適用

測定においては、全差分は誤差の推定に用いられる。${\displaystyle \Delta f}$関数の${\displaystyle f}$エラーに基づいて${\displaystyle \Delta x,\Delta y,\ldots }$パラメータの${\displaystyle x,y,\ldots }$変化がほぼ線形となるほど、間隔が十分に短いと仮定する。

$${\displaystyle \Delta f(x)=f'(x)\Delta x}$$

そしてパラメータ${\displaystyle x,y,\ldots }$は機能的に独立しているため、総微分が適用され、${\displaystyle f}$すべてのパラメータの同時変化によって誘発されるのは

$${\displaystyle \Delta f\approx f_{x}\Delta x+f_{y}\Delta y+\cdots .}$$

導関数${\displaystyle f_{x}}$パラメータに関して${\displaystyle x}$関数の感度を示す${\displaystyle f}$変化に対して${\displaystyle x}$特に、エラーに関して${\displaystyle \Delta x}$個々のエラーがどのように${\displaystyle \Delta x,\Delta y,\ldots }$境界に結合する${\displaystyle \Delta f}$それは、彼らについて何が分かっているかによります。

誤差が大きさの境界としてのみ知られている場合（つまり、${\displaystyle |\Delta x|\leq \delta x}$など）であり、任意の符号を持つ可能性があり、対応する最悪の場合の上限は${\displaystyle \Delta f}$符号付きの寄与が相殺される可能性があるため、絶対値を取ることによって得られます。

$${\displaystyle |\Delta f|\leq |f_{x}|\,\delta x+|f_{y}|\,\delta y+\cdots .}$$

代わりに、誤差を標準偏差を持つ統計的に独立した確率変数としてモデル化する場合${\displaystyle \sigma _{x},\sigma _{y},\ldots }$すると、分散の伝播により、標準偏差は${\displaystyle \Delta f}$二乗和平方根で加算します。

$${\displaystyle \sigma _{f}^{2}=f_{x}^{2}\,\sigma _{x}^{2}+f_{y}^{2}\,\sigma _{y}^{2}+\cdots .}$$

最初の式は決定論的な上限値であり、2番目の式は典型的な（1標準偏差の）推定値である。この2つの式が一致するのは、単純な単一変数の場合のみである。

最悪ケースの原理から、加算、乗算などのよく知られた誤差規則が導き出されます。例:

させて${\displaystyle f(a,b)=ab}$すると、有限誤差は次のように近似できる。

$${\displaystyle \Delta f=f_{a}\Delta a+f_{b}\Delta b.}$$ 導関数の評価： $${\displaystyle \Delta f=b\Delta a+a\Delta b.}$$f で割ると、a × bになります。

$${\displaystyle {\frac {\Delta f}{f}}={\frac {\Delta a}{a}}+{\frac {\Delta b}{b}}.}$$

つまり、乗算においては、全体の相対誤差は、各パラメータの相対誤差の合計となる。

これが考慮する関数によってどのように異なるかを説明するために、関数が次のようになる場合を考えてみましょう。${\displaystyle f(a,b)=a\ln b}$代わりに。すると、誤差推定値は次のように計算できる。 $${\displaystyle {\frac {\Delta f}{f}}={\frac {\Delta a}{a}}+{\frac {\Delta b}{b\ln b}}}$$単純な積の場合には見られない、 追加のln b因子があります。この追加因子により、分母b ln bがb単体よりも大きくなるため、誤差が小さくなる傾向があります。 

単一変数xの関数y = f ( x )の高階微分は次のように定義できます。^{[ 8 ]}$${\displaystyle d^{2}y=d(dy)=d(f'(x)dx)=(df'(x))dx=f''(x)\,(dx)^{2},}$$ そして一般的に、 $${\displaystyle d^{n}y=f^{(n)}(x)\,(dx)^{n}.}$$ 非公式には、これがライプニッツの高階微分表記法の動機となっている。 $${\displaystyle f^{(n)}(x)={\frac {d^{n}f}{dx^{n}}}.}$$ 独立変数x自体が他の変数に依存することが許される場合、式はより複雑になり、 x自体の高階微分も含まれる必要があります。したがって、たとえば、 $${\displaystyle {\begin{aligned}d^{2}y&=f''(x)\,(dx)^{2}+f'(x)d^{2}x\\[1ex]d^{3}y&=f'''(x)\,(dx)^{3}+3f''(x)dx\,d^{2}x+f'(x)d^{3}x\end{aligned}}}$$ などなど。

複数の変数の関数の高階微分を定義する場合にも同様の考察が適用されます。たとえば、f が2 つの変数xとyの関数である場合、 $${\displaystyle d^{n}f=\sum _{k=0}^{n}{\binom {n}{k}}{\frac {\partial ^{n}f}{\partial x^{k}\partial y^{n-k}}}(dx)^{k}(dy)^{n-k},}$$ どこ${\textstyle {\binom {n}{k}}}$は二項係数です。変数が多い場合も同様の式が成り立ちますが、二項展開ではなく適切な多項展開を用います。 ^{[ 9 ]}

複数の変数に関する高階微分は、独立変数自体が他の変数に依存することを許容する場合、さらに複雑になります。たとえば、補助変数に依存することを許容する xとyの関数fの場合、次のようになります。$${\displaystyle d^{2}f=\left({\frac {\partial ^{2}f}{\partial x^{2}}}(dx)^{2}+2{\frac {\partial ^{2}f}{\partial x\partial y}}dx\,dy+{\frac {\partial ^{2}f}{\partial y^{2}}}(dy)^{2}\right)+{\frac {\partial f}{\partial x}}d^{2}x+{\frac {\partial f}{\partial y}}d^{2}y.}$$

この表記上の不便さから​​、高階微分の使用はアダマール（1935）によって厳しく批判され、彼は次のように結論づけた。

Enfin、quesignifie ou que représente l'égalité

$${\displaystyle d^{2}z=r\,dx^{2}+2s\,dx\,dy+t\,dy^{2}\,?}$$

A mon avis, rien du tout.

つまり、最終的に等号[...]は何を意味し、何を表しているのでしょうか？私の意見では、何も意味しません。このような懐疑的な見方にもかかわらず、高階微分は解析において重要なツールとして登場しました。^{[ 10 ]}

これらの文脈では、増分Δ xに適用される関数fのn階微分は次のように定義されます。 $${\displaystyle d^{n}f(x,\Delta x)=\left.{\frac {d^{n}}{dt^{n}}}f(x+t\Delta x)\right|_{t=0}}$$ または同等の表現、例えば $${\displaystyle \lim _{t\to 0}{\frac {\Delta _{t\Delta x}^{n}f}{t^{n}}}}$$ どこ${\displaystyle \Delta _{t\Delta x}^{n}f}$は、増分t Δ xを持つn番目の前方差分です。

この定義は、 f が複数の変数の関数である場合にも意味を持ちます(ここでは簡略化のため、引数をベクトルとします)。この場合、このように定義されたn次微分は、ベクトル増分Δ xに関して次数nの同次関数となります。さらに、点xにおけるfのテイラー級数は次のように与えられます。 $${\displaystyle f(x+\Delta x)\sim f(x)+df(x,\Delta x)+{\frac {1}{2}}d^{2}f(x,\Delta x)+\cdots +{\frac {1}{n!}}d^{n}f(x,\Delta x)+\cdots }$$ 高階ガトー微分は、これらの考察を無限次元空間に一般化するものである。

微分に関する多くの性質は、導関数、偏導関数、および全導関数の対応する性質から直接的に導き出されます。これらには以下が含まれます。^{[ 11 ]}

• 線形性：定数aとbおよび微分可能な関数fとgの場合、$${\displaystyle d(af+bg)=a\,df+b\,dg.}$$
• 積の法則：2つの微分可能な関数fとgについて、$${\displaystyle d(fg)=f\,dg+g\,df.}$$

これら2つの性質を持つ演算dは、抽象代数学では微分として知られています。これらはべき乗則を意味します。 $${\displaystyle d(f^{n})=nf^{n-1}df}$$ さらに、連鎖律のさまざまな形式が、一般性のレベルの上昇とともに成り立つ。^{[ 12 ]}

• y = f ( u )が変数uの微分可能な関数であり、u = g ( x )がxの微分可能な関数である場合、$${\displaystyle dy=f'(u)\,du=f'(g(x))g'(x)\,dx.}$$
• y = f ( x ₁ , ..., x _n )であり、すべての変数x ₁ , ..., x _{n が}別の変数tに依存する場合、偏微分の連鎖律により、次の式が成り立つ。  $${\displaystyle {\begin{aligned}dy={\frac {dy}{dt}}dt&={\frac {\partial y}{\partial x_{1}}}dx_{1}+\cdots +{\frac {\partial y}{\partial x_{n}}}dx_{n}\\[1ex]&={\frac {\partial y}{\partial x_{1}}}{\frac {dx_{1}}{dt}}\,dt+\cdots +{\frac {\partial y}{\partial x_{n}}}{\frac {dx_{n}}{dt}}\,dt.\end{aligned}}}$$経験的に言えば、複数の変数に対する連鎖律は、この方程式の両辺を無限に小さい量dtで割ることによって理解できる。
• より一般的な類似表現も成り立ち、中間変数x _iは複数の変数に依存します。

2 つのユークリッド空間間の関数f  : R ⁿ → R ^mに対して、一貫した微分概念を開発することができる。x 、 Δ x ∈ R ⁿをユークリッドベクトルのペアとする。関数fの増分は $${\displaystyle \Delta f=f(\mathbf {x} +\Delta \mathbf {x} )-f(\mathbf {x} ).}$$m × n行列A が存在し、 $${\displaystyle \Delta f=A\Delta \mathbf {x} +\|\Delta \mathbf {x} \|{\boldsymbol {\varepsilon }}}$$Δ x → 0のとき ベクトルε → 0となる場合、fは定義により点xで微分可能です。行列Aはヤコビ行列と呼ばれることもあり、増分Δ x ∈ R ⁿにベクトルA Δ x ∈ R ^mを対応させる線形変換は、この一般的な設定では、点xにおけるfの微分df ( x )として知られています。これはまさにフレシェ微分であり、同じ構成は任意のバナッハ空間間の関数にも適用できます。

もう一つの有益な視点は、微分を方向微分の一種として直接定義することである。 $${\displaystyle df(\mathbf {x} ,\mathbf {h} )=\lim _{t\to 0}{\frac {f(\mathbf {x} +t\mathbf {h} )-f(\mathbf {x} )}{t}}=\left.{\frac {d}{dt}}f(\mathbf {x} +t\mathbf {h} )\right|_{t=0},}$$ これは、高階微分を定義するために既に採用されているアプローチであり（コーシーによって提示された定義に最も近いものです）。tが時間とx の位置を表す場合、h はこれまで考えてきた変位ではなく速度を表します。これにより、微分の概念がさらに洗練され、運動学的速度の線形関数であるべきだという結論になります。空間の特定の点を通るすべての速度の集合は接空間として知られており、したがってdf は接空間上の線形関数、つまり微分形式を与えます。この解釈では、 fの微分は外微分として知られており、速度と接空間の概念は任意の微分可能な多様体上で意味を持つため、微分幾何学で幅広く応用されています。さらに、fの出力値が位置 (ユークリッド空間内) も表す場合、次元解析により、 dfの出力値は速度でなければならないことが確認されます。このように微分を扱う場合、それはソース空間の速度をターゲット空間の速度に「押し出す」ことから、プッシュフォワードと呼ばれます。

現代の数学解析では、微小増分dxの概念は明確に定義されていませんが、関数の微分をライプニッツ記法と矛盾しない方法で扱うことができるように、微小微分を定義するさまざまな手法が存在します。これらには以下が含まれます。

• 微分を一種の微分形式、具体的には関数の外微分として定義します。そして、無限小の増分は、ある点における接空間内のベクトルと同一視されます。このアプローチは、微分可能多様体間の写像に容易に一般化できるため、微分幾何学および関連分野で広く用いられています。
• 可換環の冪零元としての微分。このアプローチは代数幾何学でよく用いられる。^{[ 13 ]}
• 集合論の滑らかなモデルにおける微分。このアプローチは合成微分幾何学または滑らかな無限小解析として知られており、代数幾何学的アプローチと密接に関連しているが、冪零無限小が導入されるメカニズムを隠すためにトポス理論のアイデアが使用されている点が異なる。 ^{[ 14 ]}
• 微分は、可逆な無限小と無限大の数を含む実数の拡張である超実数体系における無限小として扱われます。これは、アブラハム・ロビンソンによって開拓された非標準解析のアプローチです。^{[ 15 ]}

微分は、数値解析において、計算における実験誤差の伝播、ひいては問題の全体的な数値安定性を研究するために効果的に使用できる（Courant 1937a ）。変数xが実験の結果を表し、y がxに適用された数値計算の結果であると仮定する。問題は、xの測定における誤差がyの計算結果にどの程度影響を与えるかである。x が真の値からΔxの範囲内で既知である場合、テイラーの定理は、 yの計算における誤差 Δy について次の推定値を与える。 $${\displaystyle \Delta y=f'(x)\Delta x+{\frac {(\Delta x)^{2}}{2}}f''(\xi )}$$ ここで、ξ = x + θ Δ x は、 0 < θ < 1の何らかの値です。Δ xが小さい場合、2 次項は無視できるため、実際には Δ y はdy = f ' ( x ) Δ xでよく近似されます。

微分は微分方程式を書き換えるのに役立つことが多い$${\displaystyle {\frac {dy}{dx}}=g(x)}$$ 形式で $${\displaystyle dy=g(x)\,dx,}$$ 特に変数を分離したい場合。

• 微分表記法

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