代数演算

数学において、基本的な代数演算とは、加算、減算、乗算、除算、整数乗、平方根（分数乗）など、初等代数の一般的な演算のいずれかに類似した数学演算のことである。 ^[¹^]初等代数の演算は数値に対して行うことができ、その場合は算術演算と呼ばれることが多い。また、同様の方法で変数、代数式^[²^]、さらに一般的には群や体などの代数構造の要素に対しても行うことができる。^[³^]

集合に対する代数演算 $S$ は、より正式には、にマッピングする関数として定義される。 $S$ 指定された長さの要素のタプル $S$ タプルの長さは演算のアリティと呼ばれ、タプルの各要素はオペランドと呼ばれます。最も一般的なケースはアリティが2の場合で、この演算は二項演算と呼ばれ、オペランドは順序対を形成します。単項演算は、オペランドが1つしかないアリティ1の演算です。たとえば、平方根です。三項演算（アリティ3）の例は、三重積です。^{[ 4 ]}

代数演算という用語は、ドット積などの基本的な代数演算を組み合わせることによって定義できる演算にも使用されることがあります。微積分や数学解析では、代数演算は純粋に代数的な方法で定義できる演算にも使用されます。例えば、整数または有理数の指数によるべき乗は代数演算ですが、実数または複素数の指数による一般的なべき乗は代数演算ではありません。また、導関数は代数演算ではありません。

表記法

2 つの変数または項の間に演算子がない場合、または係数が使用されている場合は、乗算記号は通常省略され、暗黙的に示されます。たとえば、3 × x ^{2は 3}x ²と書かれ、2 × x × yは 2 xyと書かれます。^{[ 5 ]}乗算記号は、ドットまたは中央ドットに置き換えられる場合があり、x × yはx . yまたはx · yと書かれます。プレーンテキスト、プログラミング言語、電卓では、乗算記号を表すために単一のアスタリスクも使用され、^{[ 6 ]}明示的に使用する必要があります。たとえば、3 xは 3 * xと書かれます。

曖昧な除算記号(÷)を使用する代わりに、^除算は通常、 3 / x + 1のように、水平線であるヴィンキュラムで表されます。プレーンテキストやプログラミング言語では、3 / ( x + 1) の^ように、スラッシュ(ソリダスとも呼ばれる)が使用されます。

指数は通常、 x ²のように上付き文字を使用してフォーマットされます。プレーンテキスト、TeXマークアップ言語、およびMATLABやJuliaなどの一部のプログラミング言語では、キャレット記号 ^ が指数を表すため、x ^2はx ^ 2と書かれます。^{[ 8 ]}^{[ 9 ]} Ada、^{[ 10 ]} Fortran、^{[ 11 ]} Perl、^{[ 12 ]} Python ^{[ 13 ]} およびRuby、^{[ 14 ]}などのプログラミング言語では、二重アスタリスクが使用されるため、x ^2はx ** 2と書かれます。

プラスマイナス記号± は、2 つの式を 1 つの式として記述する略記法として使用され、一方の式にはプラス記号、もう一方の式にはマイナス記号が付きます。たとえば、y = x ± 1 は、 y = x + 1 とy = x − 1という 2 つの式を表します。また、± xのように、正または負の項を表すためにも使用されます。

算術演算と代数演算

代数演算は算術演算と同じように機能します。以下の表をご覧ください。

注: 文字の使用 $a$ そして $b$ は恣意的であり、例も同様に有効であっただろう。 $x$ そして $y$ が使用されました。

算術演算と代数演算の性質

注記

↑一部の国では、この記号は減算または間違った答えを示します。ISO 80000-2 では、使用しないように推奨しています。^{[ 7 ]}詳細については、 Obelus を参照してください。

参考文献

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↑ウィリアム・スミス著『初等代数：学校およびアカデミー向け』、出版社：ベイリー・アンド・ノイズ、1864年、「代数演算」
↑ホレイショ・ネルソン・ロビンソン著『新初等代数：学校およびアカデミーのための科学の基礎』アイヴィソン、フィニー、ブレイクマン社、1866年、 7ページ
↑ 「代数演算 - 数学百科事典」 encyclopediaofmath.org 2023年8月23日のオリジナルからアーカイブ済み。 2020年8月27日取得。
↑ Sin Kwai Meng、Chip Wai Lung、Ng Song Beng、「代数表記法」、 Mathematics Matters Secondary 1 Express Textbook、出版社 Panpac Education Pte Ltd、 ISBN 98127388279789812738820、68ページ
↑ウィリアム・P・バーリンホフ、フェルナンド・Q・ゴウヴェア、『数学の歴史：教師とその他のための穏やかな歴史』、MAA出版社、2004年、 ISBN 08838573679780883857366、75ページ
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↑ロン・ラーソン、ロバート・ホステトラー、ブルース・H・エドワーズ、『代数と三角法：グラフによるアプローチ』、出版社：Cengage Learning、2007年、 ISBN 061885195X9780618851959、1114ページ、7ページ

[8] 一部の国では、この記号は減算または間違った答えを示します。ISO 80000-2 では、使用しないように推奨しています。^{[ 7 ]}詳細については、 Obelus を参照してください。

[1] 「代数演算 | Encyclopedia.com」。www.encyclopedia.com。2020年8月27日取得。

[2] ウィリアム・スミス著『初等代数：学校およびアカデミー向け』、出版社：ベイリー・アンド・ノイズ、1864年、「代数演算」

[3] ホレイショ・ネルソン・ロビンソン著『新初等代数：学校およびアカデミーのための科学の基礎』アイヴィソン、フィニー、ブレイクマン社、1866年、 7ページ

[4] 「代数演算 - 数学百科事典」 encyclopediaofmath.org 2023年8月23日のオリジナルからアーカイブ済み。 2020年8月27日取得。

[5] Sin Kwai Meng、Chip Wai Lung、Ng Song Beng、「代数表記法」、 Mathematics Matters Secondary 1 Express Textbook、出版社 Panpac Education Pte Ltd、 ISBN 98127388279789812738820、68ページ

[6] ウィリアム・P・バーリンホフ、フェルナンド・Q・ゴウヴェア、『数学の歴史：教師とその他のための穏やかな歴史』、MAA出版社、2004年、 ISBN 08838573679780883857366、75ページ

[7] ISO 80000-2、第9項「操作」、2-9.6

[9] ラメシュ・バンギア著『情報技術辞典』、出版社：ラクシュミ・パブリケーションズ社、2010年、 ISBN 93802981539789380298153、212ページ

[10] George Grätzer、『First Steps in LaTeX』、出版社 Springer、1999 年、 ISBN 08176413279780817641320、17ページ

[11] S. Tucker Taft、Robert A. Duff、Randall L. Brukardt、Erhard Ploedereder、Pascal Leroy、「Ada 2005 Reference Manual」、Lecture Notes in Computer Science 第4348巻、出版社 Springer、2007年、 ISBN 35406933519783540693352、13ページ

[12] C. Xavier、『Fortran 77 と数値計算法』、出版社 New Age International、1994 年、 ISBN 812240670X9788122406702、20ページ

[13] ランダル・シュワルツ、ブライアン・フォイ、トム・フェニックス、『Learning Perl』、出版社：オライリー・メディア、2011年、 ISBN 14493131409781449313142、24ページ

[14] マシュー・A・テレス著『 Python Power!: The Comprehensive Guide』、出版社：Course Technology PTR、2008年、 ISBN 15986315869781598631586、46ページ

[15] ケビン・C・ベアード著『 Ruby by Example: Concepts and Code』、出版社：No Starch Press、2007年、 ISBN 15932714849781593271480、72ページ

[larson2007p7-16] ロン・ラーソン、ロバート・ホステトラー、ブルース・H・エドワーズ、『代数と三角法：グラフによるアプローチ』、出版社：Cengage Learning、2007年、 ISBN 061885195X9780618851959、1114ページ、7ページ

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