単調関数

数学において、単調関数（たんとんふくすう、英: monotonic function）とは、与えられた順序を維持または反転する順序集合間の関数である。^{[1] [2] [3]この概念は、最初は}微積分学で生まれ、後に、より抽象的な順序理論の設定に一般化された。

微積分学では、実数値を持つ実数のサブセット上で定義された関数は、完全に非減少であるか、完全に非増加である場合に単調であると呼ばれます 。 ^[2]つまり、図1に示すように、単調に増加する関数は必ずしも増加する必要はなく、単に減少してはならないということです。 ${\displaystyle f}$

関数が単調増加（または増加または非減少）^[3]であるとは、すべてのおよびに対してとなり、したがって順序が保存される場合を指します（図 1 を参照）。同様に、関数が単調 減少（または減少または非増加）^[3]であるとは、であれば常に となり、したがって順序が逆になる場合を指します（図 2 を参照）。 ${\displaystyle x}$${\displaystyle y}$${\displaystyle x\leq y}$${\displaystyle f\!\left(x\right)\leq f\!\left(y\right)}$${\displaystyle f}$${\displaystyle x\leq y}$${\displaystyle f\!\left(x\right)\geq f\!\left(y\right)}$

単調性の定義における順序を厳密な順序 に置き換えると、より強い要件が得られます。この特性を持つ関数は、厳密に増加（ も増加）と呼ばれます。^{[3] [4]また、順序記号を反転すると、}厳密に減少（ も減少）と呼ばれる対応する概念が見つかります。^{[3] [4]}どちらかの特性を持つ関数は、厳密に単調 と呼ばれます。厳密に単調な関数は1 対 1です（の場合 はまたはに等しくないため、単調性により または になり、したがって になります）。 ${\displaystyle \leq}$${\displaystyle <}$${\displaystyle x}$${\displaystyle y}$${\displaystyle x<y}$${\displaystyle x>y}$${\displaystyle f\!\left(x\right)<f\!\left(y\right)}$${\displaystyle f\!\left(x\right)>f\!\left(y\right)}$${\displaystyle f\!\left(x\right)\neq f\!\left(y\right)}$

曖昧さを避けるために、非厳密な単調性を指す場合には 、弱単調、弱増加、弱減少という用語がよく使用されます。

「非減少」および「非増加」という用語は、「減少しない」および「増加しない」という（はるかに弱い）否定的な条件と混同しないでください。たとえば、図 3 に示す非単調関数は、最初に下降し、次に上昇し、その後再び下降します。したがって、減少も増加もしていませんが、非減少でも非増加でもありません。

関数のすべての次数の導関数が区間上のすべての点で 非負であるか、すべて非正である場合、その関数は区間上で絶対単調であると言われます。${\displaystyle f}$${\displaystyle \left(a,b\right)}$${\displaystyle f}$

すべての厳密に単調な関数は、その値域からその定義域への 1 対 1 のマッピングを持つことが保証されているため、 逆関数です。

ただし、弱単調な関数は、ある区間で定数であるため（したがって 1 対 1 ではないため）、逆関数ではありません。

関数は、限られた範囲の値に対して厳密に単調である場合があり、その場合、どこでも厳密に単調であるわけではないとしても、その範囲に逆関数が存在することがあります。たとえば、が範囲 で厳密に増加している場合、範囲 に逆関数が存在します。 ${\displaystyle y=g(x)}$${\displaystyle [a,b]}$${\displaystyle x=h(y)}$${\displaystyle [g(a),g(b)]}$

単調という用語は厳密に単調な代わりに使用されることがあるため、すべての単調関数は逆可能であると記述されている情報源が、実際にはすべての厳密に単調な関数は逆可能であるという意味である可能性があります。^{[引用が必要]}

単調変換（または単調変換）という用語は、厳密に増加する関数による変換を指すため、混乱を招く可能性があります。これは、経済学において、効用関数の順序特性が単調変換全体で保存される場合に当てはまります（単調な好みも参照）。^[5]この文脈では、「単調変換」という用語は正の単調変換を指し、数値の順序を逆にする「負の単調変換」と区別することを意図しています。^[6]

単調関数には次の特性が当てはまります。 ${\displaystyle f\colon \mathbb {R} \to \mathbb {R} }$

• ${\displaystyle f}$その定義域のあらゆる点において右と左からの制限を持つ。
• ${\displaystyle f}$実数、、またはのいずれかの正または負の無限大 ( ) で極限を持ちます。${\displaystyle \pm \infty}$${\displaystyle \infty}$${\displaystyle -\infty}$
• ${\displaystyle f}$ジャンプ不連続のみを持つことができます。
• ${\displaystyle f}$は定義域内に可算個数の不連続点しか持つことができません。しかし、不連続点は必ずしも孤立した点から構成されるとは限らず、区間 ( a , b ) 内で密である場合もあります。たとえば、正の数の任意の加算可能な列と 有理数の任意の列挙に対して、単調増加関数はすべての無理数で正確に連続です (図を参照)。これは、離散測度の有理数上の累積分布関数であり、 はの重みです。$(あ_{i})$${\displaystyle (q_{i})}$$${\displaystyle f(x)=\sum _{q_{i}\leq x}a_{i}}$$${\displaystyle a_{i}}$${\displaystyle q_{i}}$
• がおよびで微分可能である場合、およびがI上で増加するような非退化区間Iが存在します。逆に、fが区間I上で微分可能かつ増加する場合、その導関数はIのあらゆる点で正になります。${\displaystyle f}$${\displaystyle x^{*}\in {\mathbb {R}}}$${\displaystyle f'(x^{*})>0}$ ${\displaystyle x^{*}\in I}$${\displaystyle f}$

これらの特性は、単調関数が分析の技術的な作業に役立つ理由です。これらの関数のその他の重要な特性は次のとおりです。

• が区間上で定義された単調関数である場合、 は上のほぼすべての場所で微分可能です。つまり、で微分可能でない内の数集合は、ルベーグ測度が 0になります。さらに、この結果は可算に改善できません。カントール関数を参照してください。${\displaystyle f}$ ${\displaystyle I}$${\displaystyle f}$ ${\displaystyle I}$${\displaystyle x}$${\displaystyle I}$${\displaystyle f}$${\displaystyle x}$
• この集合が可算ならば、絶対連続である${\displaystyle f}$
• が区間 上で定義された単調関数である場合、 はリーマン積分可能です。${\displaystyle f}$${\displaystyle \left[a,b\right]}$${\displaystyle f}$

単調関数の重要な応用は確率論です。 がランダム変数である場合、その累積分布関数は単調増加関数です。 ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle F_{X}\!\left(x\right)={\text{Prob}}\!\left(X\leq x\right)}$

関数は、ある点（モード）までは単調に増加し、その後は単調に減少する場合、単峰性となります。

が厳密に単調な関数である場合、 はその定義域に単射であり、が の値域である場合、に対して逆関数が存在します。対照的に、各定数関数は単調ですが単射ではありません。^[7]したがって、逆関数を持つことはできません。 ${\displaystyle f}$${\displaystyle f}$${\displaystyle T}$${\displaystyle f}$${\displaystyle T}$${\displaystyle f}$

このグラフには、6 つの単調関数が示されています。最も単純な形式はプロット領域に表示され、作成に使用された式はy軸に表示されます。

写像が単調であるとは、その各繊維が連結されている場合である。つまり、各要素に対して、（空である可能性もある）集合は、${\displaystyle f:X\to Y}$${\displaystyle y\in Y,}$${\displaystyle f^{-1}(y)}$${\displaystyle X.}$

位相ベクトル空間上の関数解析において、（非線形の可能性のある）演算子は、次の場合、 単調演算子と呼ばれる。 ${\displaystyle X}$${\displaystyle T:X\rightarrow X^{*}}$

$${\displaystyle (Tu-Tv,u-v)\geq 0\quad \forall u,v\in X.}$$ カチュロフスキーの定理は、バナッハ空間上の凸関数がその導関数として単調演算子を持つことを示しています。

の部分集合が単調集合であるとは、 との任意のペアに対して、 ${\displaystyle G}$${\displaystyle X\times X^{*}}$${\displaystyle [u_{1},w_{1}]}$${\displaystyle [u_{2},w_{2}]}$${\displaystyle G}$

$${\displaystyle (w_{1}-w_{2},u_{1}-u_{2})\geq 0.}$$ ${\displaystyle G}$単調演算子は、集合包含の意味ですべての単調集合の中で最大である場合に最大単調であると言われます。単調演算子のグラフは単調集合です。単調演算子は、そのグラフが最大単調集合である場合に最大単調であると言われます。 ${\displaystyle G(T)}$

順序理論は、実数の一般化として、任意の半順序集合と事前順序集合を扱います。上記の単調性の定義は、これらの場合にも当てはまります。ただし、「増加」と「減少」という用語は、従来の図式表現が全順序でない順序には当てはまらないため、使用は避けます。さらに、厳密な関係と は、多くの非全順序ではほとんど役に立たないため、それらについては追加の用語は導入されません。 ${\displaystyle <}$${\displaystyle >}$

を任意の半順序集合の半順序関係、単調関数（等調関数とも呼ばれる） 、または${\displaystyle \leq }$順序保存性、性質を満たす

$${\displaystyle x\leq y\implies f(x)\leq f(y)}$$

ドメイン内の すべてのxとyに対して、2 つの単調マッピングの合成も単調です。

双対概念はしばしば反音階、反単調、順序反転などと呼ばれる。したがって、反音階関数fは次の性質を満たす。

$${\displaystyle x\leq y\implies f(y)\leq f(x),}$$

そのドメイン内の すべてのxとyに対して。

定数関数は単調かつ反調です。逆に、f が単調かつ反調であり、fの定義域が格子である場合、f は定数でなければなりません。

単調関数は順序理論の中心です。単調関数は順序理論に関するほとんどの記事に登場し、特殊な応用例もこれらの場所で見つかります。注目すべき特殊な単調関数には、順序埋め込み(および が順序同型(射影的順序埋め込み )である必要条件となる関数) があります。 ${\displaystyle x\leq y}$ ${\displaystyle f(x)\leq f(y))}$

探索アルゴリズムの文脈では、単調性（一貫性とも呼ばれる）はヒューリスティック関数に適用される条件である。ヒューリスティックが単調であるとは、あらゆるノードnと、あらゆるアクションaによって生成されたnの後継ノードn'について、 nからゴールに到達する推定コストが、 n'に到達するステップコストとn'からゴールに到達する推定コストの合計よりも大きくない場合である。 ${\displaystyle h(n)}$

$${\displaystyle h(n)\leq c\left(n,a,n'\right)+h\left(n'\right).}$$

これは三角不等式の一種で、n、n' 、およびnに最も近い目標G _nである。すべての単調なヒューリスティックは許容されるので、単調性は許容性よりも厳しい要件である。A *などの一部のヒューリスティックアルゴリズムは、使用するヒューリスティックが単調であれば最適であることが証明できる。 ^[8]

ブール代数では、単調関数とは、 {0,1}内のすべてのa _iおよびb _iに対して、a ₁ ≤ b ₁、a ₂ ≤ b ₂、...、a _n ≤ b _n（つまり、直積{0, 1} ^{n が}座標順に順序付けられている）であれば、f( a ₁、...、a _n ) ≤ f( b ₁、...、b _n )が成り立つ関数です。言い換えると、ブール関数が単調なのは、入力のあらゆる組み合わせに対して、入力の 1 つを false から true に切り替えても、出力が false から true に切り替わるだけで、 true から false に切り替わらないときです。図的に言えば、これは、真理値でラベル付けされたn立方体として表現された n 項ブール関数がtrueからfalseへの上向きのエッジを持たないときに、 n項ブール関数が単調であることを意味します。（このラベル付きハッセ図は、関数のラベル付きベン図の双対であり、 n ≤ 3 の場合のより一般的な表現です。）

単調ブール関数とは、 andとor の演算子のみを使用して入力 (複数回出現する場合があります) を組み合わせた式によって定義できる関数です(特にnot は禁止されています)。たとえば、「a、b、c のうち少なくとも 2 つが成立する」は、 a、b、cの単調関数です。これは、たとえば (( aおよびb ) または ( aおよびc ) または ( bおよびc )) と記述できるためです。

n変数のこのような関数の数は、nのデデキント数として知られています。

SAT解決は一般的にNP困難なタスクであるが、関係する関数と述語がすべて単調かつブール型である場合に効率的に達成することができる。^[9]

• 単調な三次補間
• 擬似単調演算子
• スピアマンの順位相関係数- データセットの単調性の尺度
• 完全な単調性
• 周期的な単調性
• 演算子単調関数
• モノトーンセット機能
• 絶対的かつ完全に単調な関数とシーケンス

• バートル、ロバート G. (1976)。実解析の要素(第 2 版)。
• グレーツァー、ジョージ（1971）。格子理論：最初の概念と分配格子。ISBN 0-7167-0442-0。
• ペンバートン、マルコム、ラウ、ニコラス（2001）。経済学者のための数学：入門書。マンチェスター大学出版局。ISBN 0-7190-3341-1。
• Renardy, Michael & Rogers, Robert C. (2004)。偏微分方程式入門。応用数学テキスト 13 (第 2 版)。ニューヨーク: Springer-Verlag。p. 356。ISBN 0-387-00444-0。
• リース、フリジェス、ベーラ・シュジェファルヴィ＝ナジ (1990)。機能分析。クーリエ・ドーバー出版。ISBN 978-0-486-66289-3。
• ラッセル、スチュアート J.、ノーヴィグ、ピーター (2010)。人工知能: 現代的アプローチ(第 3 版)。アッパー サドル リバー、ニュージャージー: プレンティス ホール。ISBN 978-0-13-604259-4。
• Simon, Carl P.; Blume, Lawrence (1994年4月)。経済学者のための数学(初版) 。ISBN 978-0-393-95733-4。（定義9.31）

• 「単調関数」、数学百科事典、EMS Press、2001 [1994]
• Anik Debnath と Thomas Roxlo (The Harker School) による単調なシーケンスの収束、Wolfram Demonstrations Project。
• Weisstein、Eric W.「単調関数」。MathWorld。