ルートテスト

数学において、根検定は無限級数の収束の基準（収束検定）である。それは量に依存する。

${\displaystyle \limsup _{n\rightarrow \infty }{\sqrt[{n}]{|a_{n}|}},}$

ここで、は級数の項であり、この量が 1 未満の場合は級数が絶対収束し、1 より大きい場合は発散することを示しています。これは、べき級数と関連して特に役立ちます。 ${\displaystyle a_{n}}$

ルートテストは、オーギュスタン＝ルイ・コーシーが最初に開発し、教科書Cours d'analyse（1821）で発表しました。^{[1]そのため、}コーシールートテストまたはコーシーの根号テストと呼ばれることもあります。

${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }a_{n}}$

ルートテストでは、番号を使用します

${\displaystyle C=\limsup _{n\rightarrow \infty }{\sqrt[{n}]{|a_{n}|}},}$

ここで「lim sup」は、上限、つまり+∞を表します。

${\displaystyle \lim _{n\rightarrow \infty }{\sqrt[{n}]{|a_{n}|}},}$

収束するとC に等しくなり、代わりにルート テストで使用できます。

ルートテストでは、次のことが述べられています。

• C < 1の場合、級数は絶対収束します。
• C > 1の場合、級数は発散します。
• C = 1 で極限が厳密に上から近づく場合、級数は発散します。
• それ以外の場合、テストは決定的ではありません (シリーズは発散するか、絶対収束するか、条件付きで収束する可能性があります)。

C = 1 で級数が収束する級数もいくつかあります(例 ) 。 また、 C = 1 で級数が発散する級数もいくつかあります(例 )。${\displaystyle \textstyle \sum 1/{n^{2}}}$${\displaystyle \textstyle \sum 1/n}$

このテストはべき級数で使用できる

${\displaystyle f(z)=\sum _{n=0}^{\infty }c_{n}(z-p)^{n}}$

ここで、係数c _nと中心p は複素数であり、引数zは複素変数です。

この級数の項は、a _n = c _n ( z − p ) ⁿで与えられます。次に、上記のようにa _nにルート テストを適用します。このような級数は、「p の周りの」べき級数と呼ばれることがあります。これは、収束半径がpを中心とする最大の区間または円の半径R であるため、級数は厳密に内部にあるすべての点zに対して収束するためです(区間または円の境界での収束は、通常、個別に確認する必要があります)。

べき級数に適用された根検定の帰結はコーシー・アダマールの定理です。収束半径は、分母が 0 の場合に実際には ∞ を意味することに注意してください。 ${\displaystyle 1/\limsup _{n\rightarrow \infty }{\sqrt[{n}]{|c_{n}|}},}$

級数 Σ a _nの収束の証明は比較テストの応用です。

すべてのn ≥ N ( N は固定された自然数)に対して が成り立つ場合、 となります。等比級数が収束するので、比較テストによっても収束します。したがって、 Σ a _{n は}絶対収束します。 ${\displaystyle {\sqrt[{n}]{|a_{n}|}}\leq k<1}$${\displaystyle |a_{n}|\leq k^{n}<1}$ ${\displaystyle \sum _{n=N}^{\infty }k^{n}}$${\displaystyle \sum _{n=N}^{\infty }|a_{n}|}$

nが無限大の場合、n_は0 に収束しないため、この級数は発散します。 ${\displaystyle {\sqrt[{n}]{|a_{n}|}}>1}$

系の証明: 冪級数 Σ a _n = Σ c _n ( z  −  p ) ⁿについて、上記から、級数が収束するのは、任意の n ≥ N に対して次が成り立つような N が存在するときで あることが分かる。

${\displaystyle {\sqrt[{n}]{|a_{n}|}}={\sqrt[{n}]{|c_{n}(z-p)^{n}|}}<1,}$

同等

${\displaystyle {\sqrt[{n}]{|c_{n}|}}\cdot |z-p|<1}$

全てのn ≥ Nに対して成り立ち、これは級数が収束するためには、十分に大きいnに対して成り立つ必要があることを意味する。これは、 ${\displaystyle |z-p|<1/{\sqrt[{n}]{|c_{n}|}}}$

${\displaystyle |z-p|<1/\limsup _{n\rightarrow \infty }{\sqrt[{n}]{|c_{n}|}},}$

収束が可能な唯一の場所 は${\displaystyle R\leq 1/\limsup _{n\rightarrow \infty }{\sqrt[{n}]{|c_{n}|}}.}$

${\displaystyle {\sqrt[{n}]{|a_{n}|}}={\sqrt[{n}]{|c_{n}(z-p)^{n}|}}=1,}$

（1より大きい点は発散するため）そして、これらは区間または円の境界上にある点にすぎないので、収束半径は変化しないので、

${\displaystyle R=1/\limsup _{n\rightarrow \infty }{\sqrt[{n}]{|c_{n}|}}.}$

例1:

${\displaystyle \sum _{i=1}^{\infty }{\frac {2^{i}}{i^{9}}}}$

ルートテストを適用し、${\displaystyle \lim _{n\to \infty }n^{1/n}=1,}$

${\displaystyle C=\lim _{n\to \infty }{\sqrt[{n}]{\left|{\frac {2^{n}}{n^{9}}}\right|}}=\lim _{n\to \infty }{\frac {\sqrt[{n}]{2^{n}}}{\sqrt[{n}]{n^{9}}}}=\lim _{n\to \infty }{\frac {2}{(n^{1/n})^{9}}}=2}$

数列が発散するからである。 ^[2]${\displaystyle C=2>1,}$

例2:

${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{2^{\lfloor n/2\rfloor }}}=1+1+{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{4}}+{\frac {1}{4}}+{\frac {1}{8}}+{\frac {1}{8}}+\ldots }$

ルートテストは収束を示している。

${\displaystyle r=\limsup _{n\to \infty }{\sqrt[{n}]{|a_{n}|}}=\limsup _{n\to \infty }{\sqrt[{2n}]{|a_{2n}|}}=\limsup _{n\to \infty }{\sqrt[{2n}]{|1/2^{n}|}}={\frac {1}{\sqrt {2}}}<1.}$

この例では、ルート テストが比率テストよりも強力であることを示しています。 が偶数の場合は比率テストは決定的ではありませんが、が奇数の場合は となり、極限は存在しません。 ${\displaystyle n}$${\displaystyle a_{n+1}/a_{n}=1}$${\displaystyle n}$${\displaystyle a_{n+1}/a_{n}=1/2}$${\displaystyle \lim _{n\to \infty }|a_{n+1}/a_{n}|}$

ルートテスト階層^{[3] [4]は}比率テスト階層と同様に構築されています（比率テストのセクション4.1 、より具体的にはサブセクション4.1.4を参照）。

正の項を持つ級数の場合、収束/発散のテストは次のようになります。 ${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }a_{n}}$

を整数とし、を自然対数の番目の 反復、すなわちおよび任意の に対してと表します。 ${\displaystyle K\geq 1}$${\displaystyle \ln _{(K)}(x)}$${\displaystyle K}$${\displaystyle \ln _{(1)}(x)=\ln(x)}$${\displaystyle 2\leq k\leq K}$${\displaystyle \ln _{(k)}(x)=\ln _{(k-1)}(\ln(x))}$

が大きい場合、 は次のように表せると 仮定する。${\displaystyle {\sqrt[{-n}]{a_{n}}}}$${\displaystyle n}$

${\displaystyle {\sqrt[{-n}]{a_{n}}}=1+{\frac {1}{n}}+{\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{K-1}{\frac {1}{\prod _{k=1}^{i}\ln _{(k)}(n)}}+{\frac {\rho _{n}}{n\prod _{k=1}^{K}\ln _{(k)}(n)}}.}$

(空の合計は 0 とみなされます。)

• この級数は収束する。${\displaystyle \liminf _{n\to \infty }\rho _{n}>1}$
• この級数が発散する場合、${\displaystyle \limsup _{n\to \infty }\rho _{n}<1}$
• そうでなければ、テストは決定的ではありません。

以来、 ${\displaystyle {\sqrt[{-n}]{a_{n}}}=\mathrm {e} ^{-{\frac {1}{n}}\ln a_{n}}}$

${\displaystyle \mathrm {e} ^{-{\frac {1}{n}}\ln a_{n}}=1+{\frac {1}{n}}+{\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{K-1}{\frac {1}{\prod _{k=1}^{i}\ln _{(k)}(n)}}+{\frac {\rho _{n}}{n\prod _{k=1}^{K}\ln _{(k)}(n)}}.}$

このことから、

${\displaystyle \ln a_{n}=-n\ln \left(1+{\frac {1}{n}}+{\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{K-1}{\frac {1}{\prod _{k=1}^{i}\ln _{(k)}(n)}}+{\frac {\rho _{n}}{n\prod _{k=1}^{K}\ln _{(k)}(n)}}\right).}$

右辺に テイラー展開を適用すると、次の式が得られます。

${\displaystyle \ln a_{n}=-1-\sum _{i=1}^{K-1}{\frac {1}{\prod _{k=1}^{i}\ln _{(k)}(n)}}-{\frac {\rho _{n}}{\prod _{k=1}^{K}\ln _{(k)}(n)}}+O\left({\frac {1}{n}}\right).}$

したがって、

${\displaystyle a_{n}={\begin{cases}\mathrm {e} ^{-1+O(1/n)}{\frac {1}{(n\prod _{k=1}^{K-2}\ln _{(k)}n)\ln _{(K-1)}^{\rho _{n}}n}},&K\geq 2,\\\mathrm {e} ^{-1+O(1/n)}{\frac {1}{n^{\rho _{n}}}},&K=1.\end{cases}}}$

(空の積は1に設定されます。)

最終結果は収束の積分テストから得られます。

• 比率テスト
• 収束級数

• Knopp, Konrad (1956)。「§ 3.2」。無限シーケンスとシリーズ。Dover publications, Inc.、ニューヨーク。ISBN 0-486-60153-6。
• Whittaker, ET & Watson, GN (1963)。「§ 2.35」。現代分析コース(第 4 版)。ケンブリッジ大学出版局。ISBN 0-521-58807-3。

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