符号（数学）

ゼロは正でも負でもないという慣例の中で、数値0に特定の符号値0を割り当てることができる。これは、${\displaystyle \operatorname {sgn} }$-関数、実数に対して定義される。^{[ 1 ]}算術では、+0と-0はどちらも同じ数0を表す。一般的に値とその符号を混同する危険性はないが、両方の符号を0に割り当てる慣習では、この区別をすぐにはできない。

ベルギーやフランスなど一部のヨーロッパ諸国では​​、ニコラ・ブルバキが定めた慣例に従い、0は正と負の両方とみなされる。^{[ 2 ]}

コンピュータにおける実数の浮動小数点表現など、特定の状況においては、符号付きゼロを考慮することが有用です。符号付きゼロは、異なる離散的な数値表現を指します（詳細については、符号付き数値表現を参照してください）。

記号+0と−0 は、微積分や数学解析で片側極限（それぞれ右側極限と左側極限）を表す0 ⁺と0 ⁻の代わりとして用いられることは稀です。この表記は、関数の実数入力変数が正の値（または負の値）に沿って0に近づくときの関数の挙動を表します。2 つの極限は必ずしも存在する必要はなく、また一致する必要もありません。

0が正でも負でもないと言われる場合、以下の表現は数の符号を指すことがあります。

• 数値が正であるとは、その数値がゼロより大きい場合をいう。
• 数値がゼロより小さい場合、その数値は負の数である。
• 数値が負でないとは、その数値が0以上であることを意味します。
• 数が0以下の場合、その数は非正の数である。

0が正と負の両方であると言われる場合、 ^{[ 2 ]}数値の符号を表すために修飾語句が使用されます。

• 数値が正であるとは、その数値がゼロより大きい場合をいう。
• 数値が負であるとは、その数値がゼロより小さい場合をいう。
• 数値が正であるとは、その数値が0以上であることを意味します。
• 数値が負であるとは、その数値がゼロ以下の場合をいう。

例えば、実数の絶対値は常に「非負」であるが、最初の解釈では必ずしも「正」とは限らない。一方、2番目の解釈では「正」と呼ばれるが、必ずしも「厳密に正」とは限らない。

同様の用語は、実数やその他の符号付き値を返す関数にも用いられることがあります。例えば、定義域内のすべての引数に対して値が正である関数は正関数と呼ばれ、すべての値が非負である関数は非負関数と呼ばれます。

複素数は順序付けが不可能なため、順序付き環の構造を持つことができず、したがって正の複素数と負の複素数に分割することもできません。しかし、複素数は実数と共通の属性を持ち、それは絶対値または大きさと呼ばれます。大きさは常に非負の実数であり、ゼロ以外の数には必ず正の実数、つまりその絶対値が対応します。

例えば、−3の絶対値と3の絶対値はどちらも3に等しい。これは記号で| −3 | = 3および| 3 | = 3と表される。

一般に、任意の実数値は、その大きさと符号によって指定できます。標準符号化を用いると、任意の実数値は、標準符号化における大きさと符号の積で表されます。この関係は、複素数の符号を定義するために一般化できます。

実数と複素数はどちらも体を形成し、正の実数を含むため、すべての非ゼロ数の絶対値の逆数も含みます。これは、任意の非ゼロ数をその絶対値の逆数で乗算、つまりその絶対値で除算できることを意味します。任意の非ゼロ実数をその絶対値で割った商が、その符号を正確に表すことは明らかです。同様に、複素数zの符号は、 zとその絶対値| z |の商として定義できます。複素数の符号は、その引数と虚数単位の積の指数です。ある意味で、複素引数を表します。これは、実数の符号と比較できますが、${\displaystyle e^{i\pi }=-1.}$複素符号関数の定義については、下記の「複素符号関数」の項 を参照してください。

数値を扱う際、符号も数値として利用できると便利な場合がよくあります。これは、任意の数値の符号を抽出し、それをあらかじめ定義された値にマッピングしてから、後続の計算に利用できるようにする関数によって実現されます。例えば、正の値のみを対象とした複雑なアルゴリズムを作成し、符号の処理は後で行う方が有利な場合もあります。

多くの文脈において、角度、特に方向角や回転角の測定値に符号を関連付けることが一般的です。このような状況では、符号は角度が時計回りか反時計回りかを示します。さまざまな慣習が使用できますが、数学では反時計回りの角度を正、時計回りの角度を負とするのが一般的です。^{[ 4 ]}

回転軸の向きが定められていると仮定すれば、3次元空間における回転角度に符号を関連付けることも可能です。具体的には、向きが定められた軸を中心とした右回転は通常正、左回転は負とみなされます。

与えられた角度の負の角度は、等しい弧を持ちますが、反対の軸を持ちます。^{[ 5 ]}

量x が時間とともに変化する場合、xの値の変化は通常、次の式で定義されます。 $${\displaystyle \Delta x=x_{\text{final}}-x_{\text{initial}}.}$$

この慣例を用いると、 xの増加は正の変化、 xの減少は負の変化とみなされます。微積分学では、導関数の定義において同じ慣例が用いられます。その結果、増加関数は正の導関数を持ち、減少関数は負の導関数を持ちます。

解析幾何学や物理学において一次元変位や運動を研究する際、可能な2つの方向を正と負とするのが一般的です。数直線は通常、正の数が右側に、負の数が左側に描かれるため、右方向への運動には正の符号を、左方向への運動には負の符号を与えるのが慣例となっています。

デカルト座標系では、通常、右方向と上方向が正とみなされ、右方向は正のx方向、上方向は正のy方向となります。変位ベクトルをそのベクトル成分に分解すると、水平成分は右方向への移動に対して正、左方向への移動に対して負となり、垂直成分は上方向への移動に対して正、下方向への移動に対して負となります。

同様に、負の速度（変位の変化率）は反対方向の速度、つまり前進ではなく後退を意味します。特殊なケースとして、半径方向の速度があります。

3次元空間においては、符号に関連する概念は、2つの通常の方向と、一般的な方向付け可能性の中に見出すことができる。

コンピュータでは、整数値は、コンピュータが数値の符号を追跡しているかどうかに応じて、符号付きまたは符号なしのいずれかになります。整数変数を非負の値のみに制限することで、数値の値を格納するためにさらに1ビットを使用できます。コンピュータ内での整数演算の方法により、符号付き数値表現では通常、符号を独立した単一のビットとして格納せず、代わりに、たとえば2の補数を使用します。

一方、実数は浮動小数点値として格納および操作されます。浮動小数点値は、仮数部、指数部、符号という3つの独立した値を用いて表現されます。この独立した符号ビットを用いることで、正のゼロと負のゼロの両方を表現することが可能です。ほとんどのプログラミング言語では、正のゼロと負のゼロは同等の値として扱われますが、両者を区別するための手段も提供されています。

実数の符号に加えて、「符号」という言葉は、数学やその他の科学分野において、さまざまな関連する意味でも用いられています。

• 符号までがわかっているということは、量qについて、特定のQに対してq = Qまたはq = − Qであることがわかっていることを意味します。これはしばしばq = ± Qと表現されます。実数の場合、これは量の絶対値| q |のみがわかっていることを意味します。複素数とベクトルの場合、符号までがわかっている量は、大きさがわかっている量よりも強い条件です。Qと− Qの他に、 | q | = | Q |となるようなqの可能な値は多数あります。
• 順列の符号は、順列が偶数の場合は正、順列が奇数の場合は負と定義される。
• グラフ理論において、符号付きグラフとは、各辺に正または負の符号が付けられたグラフのことである。
• 数学解析において、符号付き測度は測度の概念を一般化したもので、集合の測度が正の値または負の値を取り得ることを意味する。
  • 符号付き距離の概念は、側面、内側、外側を表すために使用されます。
  • 符号付き面積や符号付き体積の概念は、特定の面積や体積を負の値として扱うことが都合の良い場合に用いられることがあります。これは特に行列式の理論において顕著です。（抽象的な）向き付けられたベクトル空間では、ベクトル空間の各順序付き基底は、正または負の向きに分類できます。
• 符号付き数字表現では、数値の各桁は正または負の符号を持つことができます。
• 物理学において、あらゆる電荷には正または負の符号が伴います。慣例として、正電荷は陽子と同じ符号を持つ電荷であり、負電荷は電子と同じ符号を持つ電荷です。