碑文（数学）

数学において、拡張実数で評価される関数のエピグラフまたはスーパーグラフ^{[1]は、関数の}グラフ上またはその上にある直積 内のすべての点からなる集合です。 [ 2 ^] 同様に、厳密なエピグラフは、そのグラフの厳密な上にある内の点の集合です。 ${\displaystyle f:X\to [-\infty ,\infty ]}$ ${\displaystyle [-\infty ,\infty ]=\mathbb {R} \cup \{\pm \infty \}}$ $${\displaystyle \operatorname {epi} f=\{(x,r)\in X\times \mathbb {R} ~:~r\geq f(x)\}}$$ ${\displaystyle X\times \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \operatorname {epi} _{S}f}$${\displaystyle X\times \mathbb {R} }$

重要なのは、グラフとは異なり、エピグラフは常に内の点のみで構成されることです(これは、 が実数値の場合のみグラフに当てはまります)。関数が を値として取る場合、 はエピグラフのサブセットにはなりません 。たとえば、 の場合、点はに属しますが、 には属しません。それでも、 グラフは常にエピグラフから再構築でき、その逆も可能であるため、これら 2 つのセットは密接に関連しています。 ${\displaystyle f,}$${\displaystyle X\times \mathbb {R} }$${\displaystyle f}$${\displaystyle \pm \infty}$${\displaystyle \operatorname {graph} f}$${\displaystyle \operatorname {epi} f.}$${\displaystyle f\left(x_{0}\right)=\infty }$${\displaystyle \left(x_{0},f\left(x_{0}\right)\right)=\left(x_{0},\infty \right)}$${\displaystyle \operatorname {graph} f}$${\displaystyle \operatorname {epi} f.}$

実解析における連続 実数値関数の研究は、伝統的に、それらのグラフの研究と密接に関連しており、グラフはこれらの関数についての幾何学的情報（および直感）を提供する集合である。^{[2]エピグラフは、}凸解析と変分解析の分野でも同じ目的を果たし、これらの分野では、ベクトル空間で値が決定される連続関数（またはなど）ではなく、で値が決定される凸関数に主な焦点が当てられている。 ^[2]これは、一般に、そのような関数の場合、幾何学的直感は関数のグラフよりもエピグラフからの方が容易に得られるためである。^{[2]実解析でグラフが使用されるのと同様に、エピグラフは、}凸関数の特性の幾何学的解釈を与えたり、仮説の定式化や証明を助けたり、反例の構築を助けたりするために使用されることが多い。 ${\displaystyle [-\infty ,\infty ]}$${\displaystyle \mathbb {R} }$${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$

エピグラフの定義は、関数のグラフの定義にヒントを得たもので、のグラフは集合として定義される ${\displaystyle f:X\to Y}$$${\displaystyle \operatorname {graph} f:=\{(x,y)\in X\times Y~:~y=f(x)\}.}$$

の碑文または拡張された実数で評価される関数の スーパーグラフは 、最後の行で結合されるすべての集合が互いに素である 集合^[2]${\displaystyle f:X\to [-\infty ,\infty ]}$ ${\displaystyle [-\infty ,\infty ]=\mathbb {R} \cup \{\pm \infty \}}$ $${\displaystyle {\begin{alignedat}{4}\operatorname {epi} f&=\{(x,r)\in X\times \mathbb {R} ~:~r\geq f(x)\}\\&=\left[f^{-1}(-\infty )\times \mathbb {R} \right]\cup \bigcup _{x\in f^{-1}(\mathbb {R} )}(\{x\}\times [f(x),\infty ))\end{alignedat}}}$$

最後の行の右側に現れる の和集合は、その「真上」にあるすべての点と からなる「垂直線」であると解釈できます。同様に、関数のグラフ上またはグラフ下の点の集合は、その関数の${\displaystyle x\in f^{-1}(\mathbb {R} )}$${\displaystyle \{x\}\times [f(x),\infty )}$${\displaystyle (x,f(x))}$${\displaystyle X\times \mathbb {R} }$ハイポグラフ。

の厳密なエピグラフはグラフが削除されたエピグラフです。 最後の行で結合されるすべてのセットはペアごとに素であり、いくつかは空である可能性があります。 $${\displaystyle {\begin{alignedat}{4}\operatorname {epi} _{S}f&=\{(x,r)\in X\times \mathbb {R} ~:~r>f(x)\}\\&=\operatorname {epi} f\setminus \operatorname {graph} f\\&=\bigcup _{x\in X}\left(\{x\}\times (f(x),\infty )\right)\end{alignedat}}}$$

は の一方（または両方）を値として取る可能性がある（その場合、そのグラフはのサブセットではない）という事実にもかかわらず、 のエピグラフはのサブセットではなく のサブセットとして定義されます。これは意図的なものです。なぜなら、 がベクトル空間である場合、 も ですが、は決してベクトル空間ではないからです^[2]（拡張された実数直線はベクトル空間ではないため）。がベクトル空間ではなく、あるベクトル空間の空でないサブセットにすぎない場合でも、のこの欠陥は残ります。 エピグラフがベクトル空間のサブセットであることにより、実解析や関数解析（およびその他の分野）に関連するツールをより簡単に適用できるようになります。 ${\displaystyle f}$${\displaystyle \pm \infty}$${\displaystyle X\times \mathbb {R} }$${\displaystyle f}$${\displaystyle X\times \mathbb {R} }$${\displaystyle X\times [-\infty ,\infty ].}$${\displaystyle X}$${\displaystyle X\times \mathbb {R} }$${\displaystyle X\times [-\infty ,\infty ]}$ ${\displaystyle [-\infty ,\infty ]}$${\displaystyle X\times [-\infty ,\infty ]}$${\displaystyle X}$

この定義では関数の定義域（共役領域ではなく）は特に重要ではありません。定義域は任意の線型空間^[1]や、の代わりに任意の集合^[3]であっても構いません。 ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$

厳密なエピグラフとグラフは常に互いに素です。 ${\displaystyle \operatorname {epi} _{S}f}$${\displaystyle \operatorname {graph} f}$

関数のエピグラフは、そのグラフおよび厳密なエピグラフと によって関連しており 、集合の等式はが実数値の 場合にのみ成立します。ただし、 は常に成立します。 ${\displaystyle f:X\to [-\infty ,\infty ]}$$${\displaystyle \,\operatorname {epi} f\,\subseteq \,\operatorname {epi} _{S}f\,\cup \,\operatorname {graph} f}$$${\displaystyle f}$$${\displaystyle \operatorname {epi} f=\left[\operatorname {epi} _{S}f\,\cup \,\operatorname {graph} f\right]\,\cap \,[X\times \mathbb {R} ]}$$

関数が無限大と等しい場合にのみ、 エピグラフは空になります。

任意の関数をそのグラフから再構築できるのと同様に、上の任意の拡張実数値関数もそのエピグラフから再構築できます ( が を値として取る場合でも)。 の値は、と を通る「垂直線」の交点から次のように再構築できます。 ${\displaystyle f}$${\displaystyle X}$${\displaystyle E:=\operatorname {epi} f}$${\displaystyle f}$${\displaystyle \pm \infty}$${\displaystyle x\in X,}$${\displaystyle f(x)}$${\displaystyle E\cap (\{x\}\times \mathbb {R} )}$${\displaystyle E}$${\displaystyle \{x\}\times \mathbb {R} }$${\displaystyle x}$

• ケース1:場合のみ${\displaystyle E\cap (\{x\}\times \mathbb {R} )=\varnothing }$${\displaystyle f(x)=\infty ,}$
• ケース2:場合のみ${\displaystyle E\cap (\{x\}\times \mathbb {R} )=\{x\}\times \mathbb {R} }$${\displaystyle f(x)=-\infty ,}$
• ケース 3: それ以外の場合、 は、区間の最小値を取ることによって の値を取得できる形式である必要があります。${\displaystyle E\cap (\{x\}\times \mathbb {R} )}$${\displaystyle \{x\}\times [f(x),\infty ),}$${\displaystyle f(x)}$

上記の観察を組み合わせると、に関して単一の式が得られます。 具体的には、 定義により、任意の に対して、この同じ式を使用して、その厳密なエピグラフから 再構築することもできます。${\displaystyle f(x)}$${\displaystyle E:=\operatorname {epi} f.}$${\displaystyle x\in X,}$ $${\displaystyle f(x)=\inf _{}\{r\in \mathbb {R} ~:~(x,r)\in E\}}$$${\displaystyle \inf _{}\varnothing :=\infty .}$${\displaystyle f}$${\displaystyle E:=\operatorname {epi} _{S}f.}$

関数が凸であるためには、そのエピグラフが凸集合となる必要がある。実アフィン関数 のエピグラフは、${\displaystyle g:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} }$${\displaystyle \mathbb {R} ^{n+1}.}$

関数が下半連続となるのは、その関数のエピグラフが閉じている場合のみです。

• 有効ドメイン
• ハイポグラフ（数学）  – グラフの下の領域
• 適切な凸関数

ウィキメディア・コモンズには、碑銘と碑文に関連するメディアがあります。

• R・ティレル・ロッカフェラー;ウェッツ、ロジャー J.-B. (2009 年 6 月 26 日)。変分分析。 Grundlehren der mathematischen Wissenschaften。 Vol. 317. ベルリン、ニューヨーク: Springer Science & Business Media。ISBN 9783642024313. OCLC  883392544.
• Rockafellar, Ralph Tyrell (1996)、「Convex Analysis 」、Princeton University Press、プリンストン、ニュージャージー州。ISBN 0-691-01586-4。