片側制限

微積分学において、片側極限とは、実変数の関数が左または右から指定された点に近づくときの2つの極限のうちのいずれかを指します。 ^{[1] [2]} ${\displaystyle f(x)}$${\displaystyle x}$${\displaystyle x}$

値が減少する限界は、（「右から」^[3]または「上から」）に近づくにつれて次のように表される。^{[1] [2]}${\displaystyle x}$${\displaystyle a}$${\displaystyle x}$${\displaystyle a}$

$${\displaystyle \lim _{x\to a^{+}}f(x)\quad {\text{ or }}\quad \lim _{x\,\downarrow \,a}\,f(x)\quad {\text{ or }}\quad \lim _{x\searrow a}\,f(x)\quad {\text{ or }}\quad f(x+)}$$

値が近づくにつれて（「左から」^{[4] [5]}または「下から」近づくにつれて）限界は次のように表される：^{[1] [2]}${\displaystyle x}$${\displaystyle a}$${\displaystyle x}$${\displaystyle a}$

$${\displaystyle \lim _{x\to a^{-}}f(x)\quad {\text{ or }}\quad \lim _{x\,\uparrow \,a}\,f(x)\quad {\text{ or }}\quad \lim _{x\nearrow a}\,f(x)\quad {\text{ or }}\quad f(x-)}$$

に近づくときの極限が存在する場合、左からの極限と右からの極限の両方が存在し、それらは等しくなります。 極限が存在しない場合でも 、2 つの片側極限は存在します。 したがって、に近づくとき の極限は「両側極限」と呼ばれることがあります。^{[引用が必要]}${\displaystyle f(x)}$${\displaystyle x}$${\displaystyle a}$$${\displaystyle \lim _{x\to a}f(x)}$$${\displaystyle x}$${\displaystyle a}$

2 つの片側極限のうち 1 つだけが存在する (もう 1 つは存在しない) 可能性があります。また、2 つの片側極限のどちらも存在しない可能性もあります。

が の定義域に含まれる区間を表し、が の点である場合、 が に近づくときの右側の極限は、次を満たす値として厳密に定義できます。 ^{[6] [検証が必要]}が に近づくとき の左側の極限は、次を満たす値として厳密に定義できます。 ${\displaystyle I}$${\displaystyle f}$${\displaystyle a}$${\displaystyle I}$${\displaystyle x}$${\displaystyle a}$${\displaystyle R}$ $${\displaystyle {\text{for all }}\varepsilon >0\;{\text{ there exists some }}\delta >0\;{\text{ such that for all }}x\in I,{\text{ if }}\;0<x-a<\delta {\text{ then }}|f(x)-R|<\varepsilon ,}$$${\displaystyle x}$${\displaystyle a}$${\displaystyle L}$$${\displaystyle {\text{for all }}\varepsilon >0\;{\text{ there exists some }}\delta >0\;{\text{ such that for all }}x\in I,{\text{ if }}\;0<a-x<\delta {\text{ then }}|f(x)-L|<\varepsilon .}$$

同じことを次のようにもっと象徴的に表すことができます。

が区間を表すものとします。ここで、 および です。 ${\displaystyle I}$${\displaystyle I\subseteq \mathrm {domain} (f)}$${\displaystyle a\in I}$

$${\displaystyle \lim _{x\to a^{+}}f(x)=R~~~\iff ~~~(\forall \varepsilon \in \mathbb {R} _{+},\exists \delta \in \mathbb {R} _{+},\forall x\in I,(0<x-a<\delta \longrightarrow |f(x)-R|<\varepsilon ))}$$

$${\displaystyle \lim _{x\to a^{-}}f(x)=L~~~\iff ~~~(\forall \varepsilon \in \mathbb {R} _{+},\exists \delta \in \mathbb {R} _{+},\forall x\in I,(0<a-x<\delta \longrightarrow |f(x)-L|<\varepsilon ))}$$

ある点における関数の極限の正式な定義と比較すると、片側極限は (名前が示すように) 近づいた入力値の片側の入力値のみを扱います。

参考までに、ある点における関数の極限の正式な定義は次のとおりです。

$${\displaystyle \lim _{x\to a}f(x)=L~~~\iff ~~~\forall \varepsilon \in \mathbb {R} _{+},\exists \delta \in \mathbb {R} _{+},\forall x\in I,0<|x-a|<\delta \implies |f(x)-L|<\varepsilon .}$$

片側極限を定義するには、この不等式を修正する必要があります。と の間の絶対距離は ${\displaystyle x}$${\displaystyle a}$

$${\displaystyle |x-a|=|(-1)(-x+a)|=|(-1)(a-x)|=|(-1)||a-x|=|a-x|.}$$

右からの極限では、の右側、つまり となることを目指します。したがって、 は 正です。上から、は と の間の距離です。この距離を の値で制限して、不等式 を得ます。不等式 と をまとめ、不等式の推移性特性を使用すると、複合不等式 が得られます。 ${\displaystyle x}$${\displaystyle a}$${\displaystyle a<x}$${\displaystyle x-a}$${\displaystyle x-a}$${\displaystyle x}$${\displaystyle a}$${\displaystyle \delta }$${\displaystyle x-a<\delta }$${\displaystyle 0<x-a}$${\displaystyle x-a<\delta }$${\displaystyle 0<x-a<\delta }$

同様に、左からの極限では、の左側、つまりとなることが必要です。この場合、 は正であり、 と の間の距離を表します。ここでも、この距離を の値で制限し、複合不等式 を導きます。 ${\displaystyle x}$${\displaystyle a}$${\displaystyle x<a}$${\displaystyle a-x}$${\displaystyle x}$${\displaystyle a}$${\displaystyle \delta }$${\displaystyle 0<a-x<\delta }$

ここで、 の値が目的の区間内にある場合、 の値も目的の区間内にあることが予想されます。との間の距離、つまり左側の極限の限界値は です。同様に、との間の距離、つまり右側の極限の限界値は です。どちらの場合も、この距離を で制限したいので、左側の極限については次の式、右側の極限については となります。 ${\displaystyle x}$${\displaystyle f(x)}$${\displaystyle f(x)}$${\displaystyle L}$${\displaystyle |f(x)-L|}$${\displaystyle f(x)}$${\displaystyle R}$${\displaystyle |f(x)-R|}$${\displaystyle \varepsilon }$${\displaystyle |f(x)-L|<\varepsilon }$${\displaystyle |f(x)-R|<\varepsilon }$

例 1 :に近づくにつれて、の左と右からの極限は になります。 となる理由はためです(満たすすべての値で となることを意味する)。常に正であることを意味し、したがって が左から近づくにつれて は に発散します ( には発散しません)。同様に、のすべての値が を満たすため (言い換えると は常に正)、 が右から近づくにつれてはに発散し^ます。これはが常に負であることを意味し、したがって はに発散します。${\displaystyle g(x):=-{\frac {1}{x}}}$${\displaystyle x}$${\displaystyle a:=0}$$${\displaystyle \lim _{x\to 0^{-}}{-1/x}=+\infty \qquad {\text{ and }}\qquad \lim _{x\to 0^{+}}{-1/x}=-\infty }$$${\displaystyle \lim _{x\to 0^{-}}{-1/x}=+\infty }$${\displaystyle x}$${\displaystyle x\to 0^{-}}$${\displaystyle x\to 0}$${\displaystyle x}$${\displaystyle x<0}$${\displaystyle -1/x}$${\displaystyle \lim _{x\to 0^{-}}{-1/x}}$${\displaystyle +\infty }$${\displaystyle -\infty }$${\displaystyle x}$${\displaystyle 0}$${\displaystyle \lim _{x\to 0^{+}}{-1/x}=-\infty }$${\displaystyle x}$${\displaystyle x>0}$${\displaystyle x}$${\displaystyle x}$${\displaystyle 0}$${\displaystyle -1/x}$${\displaystyle \lim _{x\to 0^{+}}{-1/x}}$${\displaystyle -\infty .}$

例 2 : 異なる片側極限を持つ関数の 1 つの例は(図を参照) です。ここで、左からの極限は で、右からの極限は これらの極限を計算するには、まず であることを示します ( であるため真です)。したがって となりますが、 つまり であるため となります極限は存在しない ため${\displaystyle f(x)={\frac {1}{1+2^{-1/x}}},}$${\displaystyle \lim _{x\to 0^{-}}f(x)=0}$${\displaystyle \lim _{x\to 0^{+}}f(x)=1.}$$${\displaystyle \lim _{x\to 0^{-}}2^{-1/x}=\infty \qquad {\text{ and }}\qquad \lim _{x\to 0^{+}}2^{-1/x}=0}$$${\displaystyle \lim _{x\to 0^{-}}{-1/x}=+\infty {\text{ and }}\lim _{x\to 0^{+}}{-1/x}=-\infty }$$${\displaystyle \lim _{x\to 0^{+}}{\frac {1}{1+2^{-1/x}}}={\frac {1}{1+\displaystyle \lim _{x\to 0^{+}}2^{-1/x}}}={\frac {1}{1+0}}=1}$$${\displaystyle \lim _{x\to 0^{-}}{\frac {1}{1+2^{-1/x}}}=0}$${\displaystyle \lim _{x\to 0^{-}}1+2^{-1/x}=\infty .}$${\displaystyle \lim _{x\to 0^{-}}f(x)\neq \lim _{x\to 0^{+}}f(x),}$${\displaystyle \lim _{x\to 0}f(x)}$

点への片側極限は、関数の定義域が位相空間のサブセットであると認めるか、[1]を含む片側部分空間を考慮することによって、関数の定義域が片側に制限された極限の一般的な定義に対応します^[検証が^{必要]。あるいは、}半開区間位相を持つ定義域を考慮することもできます。^{[引用が必要]}${\displaystyle p}$${\displaystyle p.}$

特定の冪級数の収束区間の境界における片側極限を扱う注目すべき定理はアーベルの定理である。^[要出典]

• 射影的に拡張された実数直線
• 半微分可能性
• 上限を上限とし、下限を下限とする