同次関数

VとWを体F上の2つのベクトル空間とする。Vにおける線形錐とは、Vの部分集合Cであって、 ${\displaystyle sx\in C}$すべての人々のために${\displaystyle x\in C}$そしてすべての非ゼロ${\displaystyle s\in F.}$

VからWへの同次関数fは、線形錐Cを定義域とするVからWへの部分関数であり、以下の条件を満たす。

${\displaystyle f(sx)=s^{k}f(x)}$

ある整数kに対して、${\displaystyle x\in C,}$そしてすべての非ゼロ${\displaystyle s\in F.}$整数kは同次度、または単にfの次数と呼ばれます。

次数kの同次関数の典型的な例は、次数kの同次多項式で定義される関数です。2つの同次多項式の商で定義される有理関数は同次関数であり、その次数は分子と分母の次数の差です。また、その定義錐は、分母の値がゼロでない点の線形錐です。

同次関数は射影幾何学において基本的な役割を果たします。なぜなら、 VからWへの任意の同次関数f は、VとWの射影化の間の明確な関数を定義するからです。次数が 0 の同次有理関数 (同じ次数の 2 つの同次多項式の商によって定義されるもの) は、射影スキームのProj 構成において重要な役割を果たします。

実数、あるいはより一般的には順序体上で作業する場合、正の同次性を考慮すると便利な場合が多い。その定義は前の節と全く同じで、線形錐と同次関数の定義において「非ゼロのs 」が「 s > 0 」に置き換えられる。

この変更により、正の実数を底とするべき乗が明確に定義されているため、任意の実数を次数とする（正の）同次関数を考慮に入れることが可能になります。

整数次数であっても、同次関数ではないが正同次関数である有用な関数は多数存在する。特に、絶対値関数とノルムがこれに該当し、これらはすべて次数1の正同次関数である。これらは同次関数ではない。${\displaystyle |-x|=|x|\neq -|x|}$もし${\displaystyle x\neq 0.}$これは複素数の場合にも当てはまります。${\displaystyle \mathbb {C} }$そして、すべての複素ベクトル空間は実ベクトル空間とみなすことができる。

オイラーの同次関数定理は、正同次微分可能関数の特徴付けであり、同次関数に関する基本定理とみなすことができる。

機能${\displaystyle f(x,y)=x^{2}+y^{2}}$次数2の同次関数である。 $${\displaystyle f(tx,ty)=(tx)^{2}+(ty)^{2}=t^{2}\left(x^{2}+y^{2}\right)=t^{2}f(x,y).}$$

実数の絶対値は次数1の正の同次関数であり、同次ではない。${\displaystyle |sx|=s|x|}$もし${\displaystyle s>0,}$そして${\displaystyle |sx|=-s|x|}$ もし${\displaystyle s<0.}$

複素数の絶対値は次数に関して正の同次関数である${\displaystyle 1}$実数全体にわたって（つまり、複素数を実数上のベクトル空間として考える場合）、複素数は実数全体にわたっても複素数全体にわたっても同次ではありません。

より一般的に言えば、すべてのノルムとセミノルムは次数1の正同次関数であり、同次関数ではありません。絶対値に関しては、ノルムまたはセミノルムが複素数上のベクトル空間で定義されている場合、正同次関数の定義を適用するには、このベクトル空間を実数上のベクトル空間として扱う必要があります。

任意の線形マップ${\displaystyle f:V\to W}$体F上のベクトル空間間の関係は、線形性の定義により次数 1 の同次空間である。 $${\displaystyle f(\alpha \mathbf {v} )=\alpha f(\mathbf {v} )}$$ すべての人々のために${\displaystyle \alpha \in {F}}$そして${\displaystyle v\in V.}$

同様に、任意の多重線形関数${\displaystyle f:V_{1}\times V_{2}\times \cdots V_{n}\to W}$次数が同質である${\displaystyle n,}$多重線形性の定義によれば： $${\displaystyle f\left(\alpha \mathbf {v} _{1},\ldots ,\alpha \mathbf {v} _{n}\right)=\alpha ^{n}f(\mathbf {v} _{1},\ldots ,\mathbf {v} _{n})}$$ すべての人々のために${\displaystyle \alpha \in {F}}$そして${\displaystyle v_{1}\in V_{1},v_{2}\in V_{2},\ldots ,v_{n}\in V_{n}.}$

単項式​${\displaystyle n}$変数は同次関数を定義する${\displaystyle f:\mathbb {F} ^{n}\to \mathbb {F} .}$例えば、 $${\displaystyle f(x,y,z)=x^{5}y^{2}z^{3}\,}$$ 次数が 10 の同次関数である。 $${\displaystyle f(\alpha x,\alpha y,\alpha z)=(\alpha x)^{5}(\alpha y)^{2}(\alpha z)^{3}=\alpha ^{10}x^{5}y^{2}z^{3}=\alpha ^{10}f(x,y,z).\,}$$ 次数は変数の指数の合計です。この例では、${\displaystyle 10=5+2+3.}$

同次多項式とは、同じ次数の単項式の和で構成される 多項式のことです。例えば、$${\displaystyle x^{5}+2x^{3}y^{2}+9xy^{4}}$$ は次数5の同次多項式です。同次多項式は同次関数も定義します。

次数が の同次多項式が与えられた場合${\displaystyle k}$正の値のみを取る実数係数を用いると、次数が正の同次関数が得られる。${\displaystyle k/d}$それを次のべき乗に上げる${\displaystyle 1/d.}$例えば、次の関数は次数1の正同次関数ではあるが、同次関数ではない。 $${\displaystyle \left(x^{2}+y^{2}+z^{2}\right)^{\frac {1}{2}}.}$$

重みのセットごとに${\displaystyle w_{1},\dots ,w_{n},}$以下の関数は、次数1の正同次関数であるが、同次関数ではない。

• ${\displaystyle \min \left({\frac {x_{1}}{w_{1}}},\dots ,{\frac {x_{n}}{w_{n}}}\right)}$（レオンチェフ効用関数）
• ${\displaystyle \max \left({\frac {x_{1}}{w_{1}}},\dots ,{\frac {x_{n}}{w_{n}}}\right)}$

2 つの同次多項式の比として形成される有理関数は、その定義域、つまり分母の零点によって形成される線形錐の外側では同次関数です。したがって、${\displaystyle f}$次数が同質である${\displaystyle m}$そして${\displaystyle g}$次数が同質である${\displaystyle n,}$それから${\displaystyle f/g}$次数が同質である${\displaystyle m-n}$ゼロから離れて${\displaystyle g.}$

1変数の同次実関数は次の形式をとる。${\displaystyle x\mapsto cx^{k}}$ある定数cに対して、アフィン関数は${\displaystyle x\mapsto x+5,}$自然対数${\displaystyle x\mapsto \ln(x),}$そして指数関数${\displaystyle x\mapsto e^{x}}$均質ではない。

上記の定義はすべて、以下のより一般的な均質性の概念の特殊なケースであり、${\displaystyle X}$は任意の集合（ベクトル空間ではなく）であり、実数はより一般的なモノイドの概念に置き換えることができる。

させて${\displaystyle M}$単位元を持つモノイドである${\displaystyle 1\in M,}$させて${\displaystyle X}$そして${\displaystyle Y}$を集合とし、両方において であると仮定する。${\displaystyle X}$そして${\displaystyle Y}$モノイド作用が定義されています${\displaystyle M.}$させて${\displaystyle k}$は非負の整数とし、${\displaystyle f:X\to Y}$地図になる。それから${\displaystyle f}$次数が同質であると言われている${\displaystyle k}$以上${\displaystyle M}$すべての${\displaystyle x\in X}$そして${\displaystyle m\in M,}$$${\displaystyle f(mx)=m^{k}f(x).}$$ さらに関数がある場合${\displaystyle M\to M,}$で示される${\displaystyle m\mapsto |m|,}$絶対値と呼ばれるもの${\displaystyle f}$完全に均質であると言われている${\displaystyle k}$以上${\displaystyle M}$すべての${\displaystyle x\in X}$そして${\displaystyle m\in M,}$$${\displaystyle f(mx)=|m|^{k}f(x).}$$

関数は、上で同次である。${\displaystyle M}$（それぞれ完全に均質）${\displaystyle M}$) 次数が同次である場合${\displaystyle 1}$以上${\displaystyle M}$（それぞれ、絶対的に同質な${\displaystyle 1}$以上${\displaystyle M}$)

より一般的には、記号は${\displaystyle m^{k}}$定義される予定${\displaystyle m\in M}$と${\displaystyle k}$整数以外の値である場合（例えば、${\displaystyle M}$実際の数字と${\displaystyle k}$がゼロでない実数である場合${\displaystyle m^{k}}$定義されていますが、${\displaystyle k}$（整数ではない）。この場合、${\displaystyle f}$次数が同質である${\displaystyle k}$以上${\displaystyle M}$同じ等式が成り立つ場合： $${\displaystyle f(mx)=m^{k}f(x)\quad {\text{ for every }}x\in X{\text{ and }}m\in M.}$$

完全に均質であるという概念${\displaystyle k}$以上${\displaystyle M}$同様に一般化される。

連続関数${\displaystyle f}$の上${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$次数が同質である${\displaystyle k}$かつその場合に限り$${\displaystyle \int _{\mathbb {R} ^{n}}f(tx)\varphi (x)\,dx=t^{k}\int _{\mathbb {R} ^{n}}f(x)\varphi (x)\,dx}$$コンパクトにサポートされているすべてのテスト関数 について${\displaystyle \varphi }$; および非ゼロ実数${\displaystyle t.}$言い換えれば、変数変換を行う${\displaystyle y=tx,}$${\displaystyle f}$次数が同質である${\displaystyle k}$かつその場合に限り $${\displaystyle t^{-n}\int _{\mathbb {R} ^{n}}f(y)\varphi \left({\frac {y}{t}}\right)\,dy=t^{k}\int _{\mathbb {R} ^{n}}f(y)\varphi (y)\,dy}$$ すべての人々のために${\displaystyle t}$およびすべてのテスト機能${\displaystyle \varphi .}$最後の表示では、分布の均一性を定義することができます。${\displaystyle S}$次数が同質である${\displaystyle k}$もし $${\displaystyle t^{-n}\langle S,\varphi \circ \mu _{t}\rangle =t^{k}\langle S,\varphi \rangle }$$ すべての非ゼロ実数に対して${\displaystyle t}$およびすべてのテスト機能${\displaystyle \varphi .}$ここで山括弧は分布とテスト関数のペアリングを示し、${\displaystyle \mu _{t}:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} ^{n}}$は、実数によるスカラー除算のマッピングです。${\displaystyle t.}$