微積分学の基本定理

微積分学の基本定理は、関数を微分する概念（関数の傾き、つまり各時点での変化率を計算する）と関数を積分する概念（関数のグラフの下の面積、つまり小さな寄与の累積効果を計算する）を結び付ける定理です。大まかに言えば、この 2 つの演算は互いに逆であると考えることができます。

定理の最初の部分、すなわち微積分学の第一基本定理は、連続関数 fに対して、不定積分F は、変数の上限を持つ区間でのfの積分として得られるということを述べています。 ^[1]

逆に、定理の2番目の部分、つまり微積分学の第二基本定理は、関数fの固定区間での積分は、区間の両端間の任意の原始積分Fの変化に等しいと述べています。これにより、原始積分が記号積分によって求められる場合、定積分の計算が大幅に簡素化され、数値積分が回避されます。

微積分の基本定理は、微分と積分を関連付け、これら 2 つの演算が本質的に互いに逆であることを示しています。この定理が発見される前は、これら 2 つの演算が関連しているとは認識されていませんでした。古代ギリシャの数学者は、無限小を介して面積を計算する方法を知っていました。これは、現在では積分と呼ばれる演算です。微分の起源も同様に、微積分の基本定理より数百年前に遡ります。たとえば、14 世紀には、関数と運動の連続性の概念がオックスフォード計算者やその他の学者によって研究されていました。微積分の基本定理の歴史的意義は、これらの演算を計算できることではなく、一見異なる 2 つの演算 (幾何学的面積の計算と勾配の計算) が実際には密接に関連しているという認識にあります。

微積分学の基本定理の予想と証明から、積分と微分との統一理論としての微積分学が始まりました。幾何学的な性格が強い基本定理の初歩的な形の最初の発表と証明は、ジェームズ・グレゴリー(1638–1675)によるものでした。^{[2] [3 ] [4]}アイザック・バロー(1630–1677) は、定理のより一般化されたバージョンを証明し、^[5]彼の弟子のアイザック・ニュートン(1642–1727) は、周囲の数学理論の発展を完成させました。ゴットフリート・ライプニッツ(1646–1716) は、この知識を微積分学として体系化し、今日使用されている表記法を導入しました。

最初の基本定理は、次のように解釈できます。グラフが曲線としてプロットされる連続関数が与えられた場合、対応する「面積関数」を定義します。A ( x ) は、0 と x の間の曲線の下の面積です。面積 A ( x )は簡単に計算できないかもしれませんが、明確に定義されていると想定されます。 ${\displaystyle y=f(x)}$${\displaystyle x\mapsto A(x)}$

xとx + hの間の曲線の下の面積は、0とx + hの間の面積を求め、そこから0とxの間の面積を引くことで計算できます。つまり、この「帯」の面積はA ( x + h ) − A ( x )となります。

この同じストリップの面積を推定する別の方法があります。添付の​​図に示すように、hにf ( x )を掛けて、このストリップとほぼ同じサイズの長方形の面積を求めます。つまり、 $${\displaystyle A(x+h)-A(x)\approx f(x)\cdot h}$$

両辺をhで割ると次のようになります。 $${\displaystyle {\frac {A(x+h)-A(x)}{h}}\ \approx f(x)}$$

この推定値は、h が 0 に近づくと完全な等式になります。 つまり、面積関数A ( x )の導関数が存在し、元の​​関数f ( x )と等しいため、面積関数は元の関数の逆導関数になります。 $${\displaystyle f(x)=\lim _{h\to 0}{\frac {A(x+h)-A(x)}{h}}\ {\stackrel {\text{def}}{=}}\ A'(x).}$$

このように、関数の積分（面積）の微分は元の関数であり、微分と積分は互いに逆の 逆演算である。これが基本定理の本質である。

直感的に言えば、基本定理は、積分と微分は互いに逆の操作であると述べています。

第二基本定理は、量の微小変化の合計（量の導関数の積分）は、量の正味の変化になると述べています。これを視覚化するために、車で旅行していて、移動した距離（高速道路に沿った位置の正味の変化）を知りたい場合を想像してください。速度はスピードメーターで見ることができますが、外を見て自分の位置を確認することはできません。1 秒ごとに、距離 = 速度 × 時間、つまり現在の速度（キロメートル/時またはマイル/時）に時間間隔（1 秒 =時間）を掛けて、車がどれだけ移動したかを調べることができます。これらの小さなステップをすべて合計することで、車の外を見なくても移動した総距離を概算できます。が無限に小さくなると、合計は積分に対応します。したがって、速度関数の積分（位置の導関数）は、車がどれだけ移動したか（位置の正味の変化）を計算します。 ${\displaystyle {\tfrac {1}{3600}}}$$${\displaystyle {\text{distance traveled}}=\sum \left({\begin{array}{c}{\text{velocity at}}\\{\text{each time}}\end{array}}\right)\times \left({\begin{array}{c}{\text{time}}\\{\text{interval}}\end{array}}\right)=\sum v_{t}\times \Delta t.}$$${\displaystyle \Delta t}$

最初の基本定理は、関数の値は、固定された開始点から任意の終了点までの積分の変化率 (導関数) であると述べています。速度を関数として使用する上記の例を続けると、開始時刻から任意の時刻まで積分して、その速度を導関数とする距離関数を取得できます。(高速道路の標識の位置を取得するには、この積分に開始位置を追加し、移動方向がマイル標識の増加方向か減少方向かを考慮する必要があります。)

この定理は 2 つの部分から成ります。最初の部分では原始微分 の微分について扱い、2 番目の部分では原始微分と定積分の関係について扱います。

この部分は微積分学の第一基本定理と呼ばれることもあります。^[6]

f を閉区間[ a , b ]上で定義される連続実数値関数とする。Fを[ a , b ]内の任意のxに対して次のように 定義される関数とする。 $${\displaystyle F(x)=\int _{a}^{x}f(t)\,dt.}$$

すると、F は[ a , b ]上で一様連続であり、開区間( a , b )上で微分可能であり、 ( a , b )内のすべてのx に対して、F はfの原始微分になります。 $${\displaystyle F'(x)=f(x)}$$

基本定理は、不定積分がわかっている関数の定積分を計算するためによく用いられる。具体的には、が 上の実数値連続関数であり、 がにおけるの不定積分である場合、 ${\displaystyle f}$${\displaystyle F}$${\displaystyle f}$${\displaystyle [a,b]}$${\displaystyle F}$${\displaystyle f}$${\displaystyle [a,b]}$$${\displaystyle \int _{a}^{b}f(t)\,dt=F(b)-F(a).}$$

系は区間全体で連続性を仮定しています。この結果は定理の次の部分で少し強化されます。

この部分は、微積分学の第二基本定理^[7]またはニュートン-ライプニッツの定理と呼ばれることもあります。

閉区間上の実数値関数を、上の連続関数を とし、におけるの不定積分であるとします。 ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle [a,b]}$${\displaystyle F}$${\displaystyle [a,b]}$${\displaystyle f}$${\displaystyle (a,b)}$$${\displaystyle F'(x)=f(x).}$$

がリーマン積分可能 ならば${\displaystyle f}$${\displaystyle [a,b]}$$${\displaystyle \int _{a}^{b}f(x)\,dx=F(b)-F(a).}$$

2 番目の部分は、 が連続であると仮定していないため、系よりもいくぶん強力です。 ${\displaystyle f}$

の原始積分が存在する場合、に任意の定数を加えることで得られる の原始積分は無数に存在します。また、定理の最初の部分により、が連続する場合、 の原始積分は常に存在します。 ${\displaystyle F}$${\displaystyle f}$${\displaystyle f}$${\displaystyle F}$${\displaystyle f}$${\displaystyle f}$

与えられた関数fに対して、関数F ( x ) を次のように 定義する。$${\displaystyle F(x)=\int _{a}^{x}f(t)\,dt.}$$

[ a , b ]内の任意の2つの数x ₁とx ₁ + Δ xについて、

$${\displaystyle {\begin{aligned}F(x_{1}+\Delta x)-F(x_{1})&=\int _{a}^{x_{1}+\Delta x}f(t)\,dt-\int _{a}^{x_{1}}f(t)\,dt\\&=\int _{x_{1}}^{x_{1}+\Delta x}f(t)\,dt,\end{aligned}}}$$ 後者の等式は積分の基本的な性質と面積の加法性から生じます。

積分における平均値定理によれば 、${\displaystyle c\in [x_{1},x_{1}+\Delta x]}$$${\displaystyle \int _{x_{1}}^{x_{1}+\Delta x}f(t)\,dt=f(c)\cdot \Delta x.}$$

すると 、 $${\displaystyle F(x_{1}+\Delta x)-F(x_{1})=f(c)\cdot \Delta x,}$$$${\displaystyle {\frac {F(x_{1}+\Delta x)-F(x_{1})}{\Delta x}}=f(c).}$$

を極限として、導関数の定義、 fの連続性、スクイーズ定理 に従って、次が得られる ことを念頭に置くと 、 次が得られる。^[8]${\displaystyle \Delta x\to 0,}$${\displaystyle c\in [x_{1},x_{1}+\Delta x],}$$${\displaystyle \lim _{\Delta x\to 0}{\frac {F(x_{1}+\Delta x)-F(x_{1})}{\Delta x}}=\lim _{\Delta x\to 0}f(c),}$$$${\displaystyle F'(x_{1})=f(x_{1}),}$$

F がfの不定積分であり、f が[ a , b ]上で連続であるとする。 $${\displaystyle G(x)=\int _{a}^{x}f(t)\,dt.}$$

定理の最初の部分により、 G はfの不定関数でもあることがわかります。F ′ − G ′ = 0なので、平均値定理はF − Gが定数関数であることを意味します。つまり、 [ a , b ]内のすべてのxに対してG ( x ) = F ( x ) +  cとなる数c が存在するということです。x = aとすると、 c = − F ( a ) を意味します。言い換えると、G ( x ) = F ( x ) − F ( a )であり、したがって $${\displaystyle F(a)+c=G(a)=\int _{a}^{a}f(t)\,dt=0,}$$$${\displaystyle \int _{a}^{b}f(x)\,dx=G(b)=F(b)-F(a).}$$

これはリーマン和による極限証明です。

まず、平均値定理を思い出しましょう。簡単に言うと、Fが閉区間[ a、b ]で連続で開区間( a、b )で微分可能である場合、( a、b )に次のような cが存在し、$${\displaystyle F'(c)(b-a)=F(b)-F(a).}$$

f が区間[ a , b ]上で (リーマン) 積分可能であり、f が( a , b )上で原始微分F を持ち、 F が[ a , b ]上で連続であるとする。量F ( b ) − F ( a )から始める。数x ₀ , ..., x _nがあり、 $${\displaystyle a=x_{0}<x_{1}<x_{2}<\cdots <x_{n-1}<x_{n}=b.}$$

すると、 $${\displaystyle F(b)-F(a)=F(x_{n})-F(x_{0}).}$$

ここで、各F ( x _i )とその加法逆数を加算すると、結果の量は等しくなります。 $${\displaystyle {\begin{aligned}F(b)-F(a)&=F(x_{n})+[-F(x_{n-1})+F(x_{n-1})]+\cdots +[-F(x_{1})+F(x_{1})]-F(x_{0})\\&=[F(x_{n})-F(x_{n-1})]+[F(x_{n-1})-F(x_{n-2})]+\cdots +[F(x_{2})-F(x_{1})]+[F(x_{1})-F(x_{0})].\end{aligned}}}$$

上記の量は、次のように合計して表すことができます。

関数F は区間( a , b )で微分可能であり、閉区間[ a , b ]で連続である。したがって、各区間( x _{i −1} , x _i )で微分可能であり、各区間[ x _{i −1} , x _i ]で連続である。平均値定理 (上記) によれば、各iに対して( x _{i −1} , x _i )にa が存在し、 ${\displaystyle c_{i}}$$${\displaystyle F(x_{i})-F(x_{i-1})=F'(c_{i})(x_{i}-x_{i-1}).}$$

上記を（１'）に代入すると、 $${\displaystyle F(b)-F(a)=\sum _{i=1}^{n}[F'(c_{i})(x_{i}-x_{i-1})].}$$

この仮定は、 を意味します。また、 は、のパーティションとして表すことができます。 ${\displaystyle F'(c_{i})=f(c_{i}).}$${\displaystyle x_{i}-x_{i-1}}$${\displaystyle \Delta x}$${\displaystyle i}$

ここでは、幅と高さを掛けた長方形の面積を記述し、面積を合計しています。平均値の定理により、各長方形は、その長方形が描かれている曲線部分の近似値を表します。また、すべてのiの値に対して同じである必要はなく、言い換えると、長方形の幅は異なっていてもかまいません。必要なのは、曲線をn 個の長方形で近似することです。ここで、パーティションのサイズが小さくなり、nが増加すると、空間をカバーするパーティションの数が増え、曲線の実際の面積にどんどん近づきます。 ${\displaystyle \Delta x_{i}}$

分割のノルムがゼロに近づくにつれて式の極限をとると、リーマン積分に到達します。 fが積分可能であると仮定されているため、この極限が存在することがわかります。つまり、最大の分割のサイズがゼロに近づくにつれて極限をとり、他のすべての分割は小さくなり、分割の数は無限に近づきます。

そこで、（ 2'） の両辺の極限をとると、$${\displaystyle \lim _{\|\Delta x_{i}\|\to 0}F(b)-F(a)=\lim _{\|\Delta x_{i}\|\to 0}\sum _{i=1}^{n}[f(c_{i})(\Delta x_{i})].}$$

F ( b )もF ( a )もに依存しないので、左側の極限はF ( b ) − F ( a )のままです。 ${\displaystyle \|\Delta x_{i}\|}$$${\displaystyle F(b)-F(a)=\lim _{\|\Delta x_{i}\|\to 0}\sum _{i=1}^{n}[f(c_{i})(\Delta x_{i})].}$$

等式の右側の式は、aからbまでのf上の積分を定義します。したがって、 が得られ、 これで証明は完了です。 $${\displaystyle F(b)-F(a)=\int _{a}^{b}f(x)\,dx,}$$

上で説明したように、第 1 部の後に、第 2 部のやや弱いバージョンが続きます。

同様に、定理の最初の部分は、2 番目の部分から直接従うように見えます。つまり、Gがfの原始微分であるとします。2 番目の定理により、 となります。ここで、 と仮定します。 すると、F はGと同じ導関数を持ち、したがってF ′ = fとなります。ただし、この議論は、fに原始微分があることが既にわかっている場合にのみ有効であり、すべての連続関数に原始微分があることを知る唯一の方法は、基本定理の最初の部分によるものです。^[9] たとえば、f ( x ) = e ^{− x 2}の場合、fには原始微分、つまり があり 、この関数をより簡単に表すことはできません。したがって、定理の 2 番目の部分を積分の定義として解釈しないことが重要です。実際、積分可能だが基本原始微分を持たない関数は多くあり、積分可能だが原始微分をまったく持たない不連続関数もあります。逆に、原始微分を持つ関数の多くはリーマン積分可能ではありません（ヴォルテラ関数を参照）。 ${\textstyle G(x)-G(a)=\int _{a}^{x}f(t)\,dt}$${\textstyle F(x)=\int _{a}^{x}f(t)\,dt=G(x)-G(a)}$$${\displaystyle G(x)=\int _{0}^{x}f(t)\,dt}$$

次のような計算を行うとします。 $${\displaystyle \int _{2}^{5}x^{2}\,dx.}$$

ここで、およびを不定積分として使用できます。したがって、 ${\displaystyle f(x)=x^{2}}$${\textstyle F(x)={\frac {1}{3}}x^{3}}$$${\displaystyle \int _{2}^{5}x^{2}\,dx=F(5)-F(2)={\frac {5^{3}}{3}}-{\frac {2^{3}}{3}}={\frac {125}{3}}-{\frac {8}{3}}={\frac {117}{3}}=39.}$$

を計算すると仮定します 。定理の最初の部分を に適用すると、 $${\displaystyle {\frac {d}{dx}}\int _{0}^{x}t^{3}\,dt}$$${\displaystyle f(t)=t^{3}}$$${\displaystyle {\frac {d}{dx}}\int _{0}^{x}t^{3}\,dt=f(x)=x^{3}.}$$

これは定理の2番目の部分を使っても確認できます。具体的には、はの不定積分なので、 ${\textstyle F(t)={\frac {1}{4}}t^{4}}$${\displaystyle f(t)}$$${\displaystyle {\frac {d}{dx}}\int _{0}^{x}t^{3}\,dt={\frac {d}{dx}}F(x)-{\frac {d}{dx}}F(0)={\frac {d}{dx}}{\frac {x^{4}}{4}}=x^{3}.}$$

と仮定すると 、 はゼロで連続ではありません。さらに、の極限は存在しないため、これは がゼロでどのように定義されるかという問題だけではありません。したがって、系を使用して を計算することはできません。ただし、関数 を考えてみましょ う。は で連続しており（スクイーズ定理により ゼロを含む）、 でで微分可能であることに 注意してください。したがって、定理のパート2が適用され、 $${\displaystyle f(x)={\begin{cases}\sin \left({\frac {1}{x}}\right)-{\frac {1}{x}}\cos \left({\frac {1}{x}}\right)&x\neq 0\\0&x=0\\\end{cases}}}$$${\displaystyle f(x)}$${\displaystyle f}$${\displaystyle x\to 0}$${\displaystyle f(x)}$$${\displaystyle \int _{0}^{1}f(x)\,dx.}$$$${\displaystyle F(x)={\begin{cases}x\sin \left({\frac {1}{x}}\right)&x\neq 0\\0&x=0.\\\end{cases}}}$$${\displaystyle F(x)}$${\displaystyle [0,1]}$${\displaystyle F(x)}$${\displaystyle (0,1)}$${\displaystyle F'(x)=f(x).}$$${\displaystyle \int _{0}^{1}f(x)\,dx=F(1)-F(0)=\sin(1).}$$

この定理は、 $${\displaystyle \int _{a}^{b}f(x)dx=\int _{a}^{c}f(x)dx+\int _{c}^{b}f(x)dx.}$$

結果 は、 $${\displaystyle {\begin{aligned}\int _{a}^{b}f(x)dx&=F(b)-F(a),\\\int _{a}^{c}f(x)dx&=F(c)-F(a),{\text{ and }}\\\int _{c}^{b}f(x)dx&=F(b)-F(c),\end{aligned}}}$$$${\displaystyle F(b)-F(a)=F(c)-F(a)+F(b)-F(c).}$$

関数f は区間全体にわたって連続である必要はない。定理の第 1 部では、次のように述べている。fが[ a , b ]上の任意のルベーグ積分可能関数であり、x ₀が[ a , b ]内の数でfがx ₀で連続している場合、 $${\displaystyle F(x)=\int _{a}^{x}f(t)\,dt}$$

はx = x ₀で微分可能であり、 F ′( x ₀ ) = f ( x ₀ )である。 fの条件をさらに緩和して、単に局所的に積分可能であると仮定することができる。その場合、関数F はほとんどどこでも微分可能であり、F ′( x ) = f ( x )はほとんどどこでも微分可能であると結論付けることができる。実数直線上では、このステートメントはルベーグの微分定理と同等である。これらの結果は、より大規模なクラスの積分可能な関数を許容するヘンストック-クルツワイル積分にも当てはまる。^[10]

高次元では、ルベーグの微分定理は、ほぼすべてのxに対して、 xを中心とする半径rの球体上の関数fの平均値は、 r が0 に近づくにつれてf ( x )に近づくことを述べて、微積分学の基本定理を一般化します。

定理のパートIIは、任意のルベーグ積分可能関数fに対して成り立ち、これは反微分F を持つ（ただし、すべての積分可能関数がそうであるわけではない）。言い換えれば、実関数Fが[ a , b ]上のすべての点xで微分f ( x )を許し、この微分fが[ a , b ]上でルベーグ積分可能である場合、[ ¹¹ ] $${\displaystyle F(b)-F(a)=\int _{a}^{b}f(t)\,dt.}$$

この結果は、カントール関数の例が示すように、ほぼすべての点xで導関数f ( x )を許す連続関数Fでは成り立たない可能性があります。ただし、 F が絶対連続である場合は、ほぼすべての点xで導関数F′ ( x )を許し、さらにF′ は積分可能であり、F ( b ) − F ( a )は[ a , b ]でのF′の積分に等しくなります。逆に、f が任意の積分可能関数である場合、最初の式で与えられたF は、ほぼすべての場所でF′ = fと絶対連続になります。

この定理の条件は、関係する積分をヘンストック・カーツワイル積分とみなすことで緩和される。具体的には、連続関数F ( x ) が可算点以外のすべての点で導関数f ( x )を許容する場合、 f ( x ) はヘンストック・カーツワイル積分可能であり、F ( b ) − F ( a )は[ a , b ]上のfの積分に等しい。ここでの違いは、 fの積分可能性を仮定する必要がないことである。^[12]

誤差項を積分として表現する テイラーの定理のバージョンは、基本定理の一般化として見ることができます。

複素関数に対する定理のバージョンがあります。UがCの開集合で、f  : U → CがU上の正則不定理関数F を持つ関数であるとします。すると、すべての曲線γ : [ a , b ] → Uに対して、曲線積分は次のように計算できます。 $${\displaystyle \int _{\gamma }f(z)\,dz=F(\gamma (b))-F(\gamma (a)).}$$

基本定理は、高次元および多様体上の曲線積分と面積分に一般化できます。移動面の微積分によって提供されるそのような一般化の 1 つは、積分の時間発展です。高次元の微積分の基本定理の最もよく知られた拡張は、発散定理と勾配定理です。

この方向への最も強力な一般化の一つは、一般化されたストークスの定理（多変数解析の基本定理とも呼ばれる）である：[13] M を n 次元の有向区分滑らかな多様体とし、を^M上の滑らかでコンパクト に 支えられた ( n − 1) 形式とする。∂ MがMの誘導 された方向が与えられた境界を表す場合、 ${\displaystyle \omega }$ $${\displaystyle \int _{M}d\omega =\int _{\partial M}\omega .}$$

ここでd は外微分であり、多様体構造のみを使用して定義されます。

この定理は、 M が、その形式が定義されているより大きな多様体 (例: R ^k ) の埋め込まれた有向部分多様体である場合によく使用されます。 ${\displaystyle \omega }$

微積分の基本定理により、定積分を 1 階常微分方程式として表すことができます。 は、 積分の値として 表す ことができます 。$${\displaystyle \int _{a}^{b}f(x)\,dx}$$$${\displaystyle {\frac {dy}{dx}}=f(x),\;\;y(a)=0}$$${\displaystyle y(b)}$

• 積分記号による微分
• 伸縮シリーズ
• 線積分に関する微積分学の基本定理
• 微分表記

ウィキブックスには、微積分学の基本定理に関する詳細が掲載されています。

• 「微積分学の基本定理」、数学百科事典、EMS Press、2001 [1994]
• ジェームズ・グレゴリーのユークリッド的収束における微積分の基本定理の証明
• アイザック・バローによる微積分学の基本定理の証明
• imomath.com の微積分学の基本定理
• 微積分学の基本定理の代替証明
• MIT微積分学の基本定理。
• 微積分学の基本定理Mathworld。