垂直接線

数学、特に微積分学において、垂直接線とは、垂直な接線をいいます。垂直線の傾きは無限大なので、グラフに垂直接線がある関数は、接点で 微分できません。

関数ƒ は、導関数を定義するために使用する差分商が無限大の極限を持つ場合、x  =  aで垂直接線を持ちます。

${\displaystyle \lim _{h\to 0}{\frac {f(a+h)-f(a)}{h}}={+\infty }\quad {\text{または}}\quad \lim _{h\to 0}{\frac {f(a+h)-f(a)}{h}}={-\infty }.}$

ƒ のaにおける導関数が正または負の無限大である 場合、 ƒ のグラフはx  =  aで垂直接線を持ちます。

連続関数の場合、導関数の極限を取ることで垂直接線を検出できることが多い。

${\displaystyle \lim _{x\to a}f'(x)={+\infty }{\text{,}}}$

ƒ はx  =  aにおいて上向きの垂直接線を持つ必要がある。同様に、

${\displaystyle \lim _{x\to a}f'(x)={-\infty }{\text{,}}}$

すると、ƒ はx  =  aにおいて下向きの垂直接線を持つことになります。このような状況では、ƒ の垂直接線は、導関数のグラフ上で 垂直漸近線として現れます。

垂直接線と密接に関連しているのは、垂直カスプです。これは、片側導関数が両方とも無限大であるが、一方が正でもう一方が負である場合に発生します。たとえば、

${\displaystyle \lim _{h\to 0^{-}}{\frac {f(a+h)-f(a)}{h}}={+\infty }\quad {\text{and}}\quad \lim _{h\to 0^{+}}{\frac {f(a+h)-f(a)}{h}}={-\infty }{\text{,}}}$

すると、ƒ のグラフには、左側が上向き、右側が下向きの垂直の尖端ができます。

垂直接線と同様に、連続関数の垂直尖点は導関数の極限を調べることで検出できる場合があります。たとえば、

${\displaystyle \lim _{x\to a^{-}}f'(x)={-\infty }\quad {\text{および}}\quad \lim _{x\to a^{+}}f'(x)={+\infty }{\text{,}}}$

すると、ƒ のグラフはx  =  aに垂直な尖点を持ち、左側が下がり、右側が上がるようになります。

機能

${\displaystyle f(x)={\sqrt[{3}]{x}}}$

x = 0で垂直接線を持ちます 。連続しており、

${\displaystyle \lim _{x\to 0}f'(x)\;=\;\lim _{x\to 0}{\frac {1}{3{\sqrt[{3}]{x^{2}}}}}\;=\;\infty .}$

同様に、関数

${\displaystyle g(x)={\sqrt[{3}]{x^{2}}}}$

x  = 0 では連続なので 垂直の尖点を持つ。

${\displaystyle \lim _{x\to 0^{-}}g'(x)\;=\;\lim _{x\to 0^{-}}{\frac {2}{3{\sqrt[{3}]{x}}}}\;=\;{-\infty }{\text{,}}}$

そして

${\displaystyle \lim _{x\to 0^{+}}g'(x)\;=\;\lim _{x\to 0^{+}}{\frac {2}{3{\sqrt[{3}]{x}}}}\;=\;{+\infty }{\text{.}}}$

• 垂直接線と尖点。2006 年 5 月 12 日閲覧。