ピラミッド（幾何学）

ピラミッドは、多角形の底面と頂点と呼ばれる点を結んで形成される多面体です。底面の各辺と頂点は、側面と呼ばれる三角形を形成します。ピラミッドは、多角形の底面を持つ円錐台です。底面の形状を決定することで、正多角形を底面とする場合（正ピラミッド）や、頂点を切り落とす場合（切頭ピラミッド）など、多くの種類のピラミッドを見つけることができます。

ピラミッドは、ハイパーピラミッドと呼ばれるより高次元に一般化することができる。すべてのピラミッドは自己双対である。

ピラミッドは、平面多角形の各頂点をその平面の外側にある点に接続することによって形成される多面体です。この点はピラミッドの頂点と呼ばれ、平面多角形はピラミッドの底面と呼ばれます。ピラミッドの他の各面は、底面の辺の 1 つと、その辺の端点を頂点に接続する 2 つの辺からなる三角形です^{[ 1 ]。}これらの面はピラミッドの側面と呼ばれ、頂点に接続されている各辺は側辺と呼ばれます。^{[ 2 ]}歴史的に、ピラミッドの定義は古代の多くの数学者によって記述されてきました。ユークリッドは『原論』の中で、ピラミッドを 1 つの平面から 1 つの点に構築された立体図形と定義しました。彼の定義の文脈は、アレクサンドリアのヘロンがそれを点と多角形の底面を組み合わせた図形と定義するまで曖昧でした。 ^{[ 3 ]}

角柱は、頂点が2つの平行な平面上にあり、側面が三角形、台形、平行四辺形である多面体として定義されます。^{[ 4 ]}ピラミッドは角柱に分類されます。^{[ 5 ]}

正多角形底面を持つピラミッドの仲間：正四面体、正四角錐、正五角錐、正六角錐。

「正ピラミッド」と「正多角形ピラミッド」という用語は、ピラミッドの特殊なケースを説明するために使用されます。それらの一般的な概念は次のとおりです。正多角形ピラミッドは、底面が正多角形であるピラミッドです。正ピラミッドは、軸（底面の重心と頂点を結ぶ線）が底面に垂直であるピラミッドです。^{[ 6 ] [ 7 ] [ 8 ]}斜ピラミッドは、軸が底面に垂直でないピラミッドです。 ^{[ 9 ]}ただし、これらの用語には標準的な定義はなく、さまざまな情報源で多少異なる意味で使用されています。

一部の資料では、「正ピラミッド」という用語を正ピラミッドの特殊なケースとしてのみ定義しているが、^{[ 10 ]}他の資料では、底面の形状に関係なく一般の場合として定義している。また、別の資料では、「正ピラミッド」という用語の定義に正底面のみを含めるものとしている。^{[ 11 ]}まれに、「正ピラミッド」は、底面が円に外接し、ピラミッドの高さが円の中心で底面と交わるピラミッドとして定義される。^{[ 12 ]}

n面正底面を持つピラミッドは、 n + 1 個の頂点、n + 1 個の面、および2 n個の辺を持ちます。^{[ 13 ]}このようなピラミッドは、面が二等辺三角形で、対称性はC _{n v}であり、次数は2 nです。ピラミッドは、対称軸 (頂点と底面の重心を通る線) を中心に回転すると対称になり、底面の二等分線を通る任意の垂直平面に対して鏡面対称になります。^{[ 14 ] [ 15 ]}例としては、正方形と五角形の底面を持つ、それぞれ 4 面と 5 面の三角形のピラミッドである正四角錐と五角錐があります。これらは、正面と辺の長さが等しい場合、第 1 次および第 2 次ジョンソン立体に分類され、対称性はそれぞれ次数 8 のC _4vと次数 10 のC _5vです。^{[ 16 ] [ 17 ]}正四面体または三角錐は、4 つの三角形を持つ例です。辺の長さがすべて等しく、面が正三角形で、そのうちの 1 つを底面とみなすと、正四面体として知られ、プラトン立体およびデルタ面の例であり、正四面体対称性を持ちます。^{[ 18 ] [ 19 ]}底面が円であるピラミッドは、円錐として知られています。^{[ 20 ]}

ピラミッドは自己双対性という性質を持ち、その双対は辺に対応する頂点と同じであり、その逆もまた同様である。^{[ 21 ]}ピラミッドの骨格はホイールグラフとして表現することができ、つまり、頂点が普遍頂点と呼ばれる中心の頂点を結ぶ多角形として描くことができる。^{[ 22 ]}

長方形および菱形の底面を持つピラミッド

正ピラミッドの底面は、不規則な多角形を持つ場合もある。不規則なピラミッドの例としては、底面が長方形や菱形であるものが挙げられる。これら2つのピラミッドは_{、位数4の}C2v対称性を持つ。

傾斜面によって切り取られたピラミッド

五芒星を底面とするピラミッド。

ピラミッドの種類はさまざまな方法で導き出すことができます。ピラミッドの底面の規則性は多角形の種類に基づいて分類できます。1つの例としては、星形ピラミッド、その底面は正星形多角形である。^{[ 23 ]}

切頭ピラミッドとは、平面によって切り取られたピラミッドのことです。切り取られた平面がピラミッドの底面と平行である場合、それは円錐台と呼ばれます。

多面体の表面積は、その面の面積の合計です。ピラミッドの表面積は、三角形の面積と多角形の底面の面積の合計です。

ピラミッドの体積は、底面積とピラミッドの高さの積の3分の1です。ピラミッドの高さは、頂点と底面への直交投影を結ぶ線分の長さとして定義されます。${\displaystyle B}$は基地の面積であり、${\displaystyle h}$はピラミッドの高さであり、ピラミッドの体積は次のようになります。^{[ 24 ]}$${\displaystyle V={\frac {1}{3}}Bh.}$$ ピラミッドの体積は古代エジプトで記録されており、彼らは正方形の円錐台の体積を計算していたことから、正方形ピラミッドの体積を知っていたことが示唆される。^{[ 25 ]}

ハイパーピラミッドは、 n次元空間におけるピラミッドの一般化です。ピラミッドの場合、平面上の多角形である底面のすべての頂点を、平面外の頂点と呼ばれる点に接続します。ピラミッドの高さは、頂点から平面までの距離です。この構成はn次元に一般化されます。底面は、( n -1)次元の超平面上の( n -1)多面体になります。頂点と呼ばれる点は超平面の外側にあり、多面体のすべての頂点に接続され、頂点から超平面までの距離が高さと呼ばれます。^{[ 26 ]}

n次元超ピラミッドのn次元体積は、次のように計算できます。 $${\displaystyle V_{n}={\frac {A\cdot h}{n}}.}$$ ここで、V _{n は}超ピラミッドの​​n次元体積を表します。Aは底面の( n  −  1)次元体積を表し、 h は高さ、つまり頂点と底面Aを含む( n  −  1)次元超平面との間の距離です。^{[ 26 ]}

• 二重ピラミッド

• ワイススタイン、エリック・W. 「ピラミッド」 . MathWorld .