挟み撃ちの定理

上記の仮説によれば、下限と上限の極限を取ると次のようになる。 $${\displaystyle L=\lim _{x\to a}g(x)\leq \liminf _{x\to a}f(x)\leq \limsup _{x\to a}f(x)\leq \lim _{x\to a}h(x)=L,}$$ つまり、すべての不等式は実際には等式であり、そこから直ちに命題が導かれる。

極限の( ε , δ )定義を用いた直接的な証明は、すべての実数ε > 0に対して、すべてのxに対してとなるような実数δ > 0が存在することを証明することである。${\displaystyle |xa|<\delta ,}$我々は持っています${\displaystyle |f(x)-L|<\varepsilon .}$象徴的に言えば、

$${\displaystyle \forall \varepsilon >0,\exists \delta >0:\forall x,(|xa|<\delta \ \Rightarrow |f(x)-L|<\varepsilon ).}$$

として

$${\displaystyle \lim _{x\to a}g(x)=L}$$

つまり

そして $${\displaystyle \lim _{x\to a}h(x)=L}$$

つまり

すると、

$${\displaystyle g(x)\leq f(x)\leq h(x)}$$$${\displaystyle g(x)-L\leq f(x)-L\leq h(x)-L}$$

私たちは選ぶことができます${\displaystyle \delta$ :=\min \left\{\delta _{1},\delta _{2}\right\}} 。次に、${\displaystyle |xa|<\delta }$（１）と（２）を組み合わせると、次のようになる。

$${\displaystyle -\varepsilon <g(x)-L\leq f(x)-L\leq h(x)-L\ <\varepsilon ,}$$$${\displaystyle -\varepsilon <f(x)-L<\varepsilon ,}$$

これで証明は完了する。証明終了

数列の証明も非常に似ており、${\displaystyle \varepsilon }$-数列の極限の定義。

限界

$${\displaystyle \lim _{x\to 0}x^{2}\sin \left({\tfrac {1}{x}}\right)}$$

極限法則では決定できない

$${\displaystyle \lim _{x\to a}(f(x)\cdot g(x))=\lim _{x\to a}f(x)\cdot \lim _{x\to a}g(x),}$$

なぜなら

$${\displaystyle \lim _{x\to 0}\sin \left({\tfrac {1}{x}}\right)}$$

存在しません。

しかし、正弦関数の定義によれば、

$${\displaystyle -1\leq \sin \left({\tfrac {1}{x}}\right)\leq 1.}$$

したがって、

$${\displaystyle -x^{2}\leq x^{2}\sin \left({\tfrac {1}{x}}\right)\leq x^{2}}$$

以来${\displaystyle \lim _{x\to 0}-x^{2}=\lim _{x\to 0}x^{2}=0}$挟み撃ちの定理により、${\displaystyle \lim _{x\to 0}x^{2}\sin \left({\tfrac {1}{x}}\right)}$0でなければならない。

おそらく、極限を絞り込むことで見つける最もよく知られた例は、次の等式の証明です。 $${\displaystyle {\begin{aligned}&\lim _{x\to 0}{\frac {\sin x}{x}}=1,\\[10pt]&\lim _{x\to 0}{\frac {1-\cos x}{x}}=0.\end{aligned}}}$$

最初の極限は、次の事実からスクイーズ定理によって導かれる^{[ 2 ]}

$$\displaystyle \cos x\leq {\frac {\sin x}{x}}\leq 1}$$

xが0に十分近い場合。正のxに対するその正しさは、単純な幾何学的推論（図を参照）によって確認でき、負のxにも拡張できます。2番目の極限は、挟み撃ちの定理と次の事実から導かれます。

$${\displaystyle 0\leq {\frac {1-\cos x}{x}}\leq x}$$x が0に十分近い場合。これは、前の事実のsin xをに置き換えることで導出できます。${\textstyle {\sqrt {1-\cos ^{2}x}}}$そして、得られた不等式を二乗する。

これら2つの極限は、正弦関数の導関数が余弦関数であることを証明する際に用いられる。この事実は、三角関数の導関数の他の証明においても依拠している。

示すことができるのは $$\displaystyle {\frac {d}{d\theta }}\tan \theta =\sec ^{2}\theta }$$ 以下のように絞ることで。

右の図において、円の2つの影付き扇形のうち小さい方の面積は

$${\displaystyle {\frac {\sec ^{2}\theta \,\Delta \theta }{2}},}$$

半径はsec θで、単位円上の弧の長さはΔ θなので、同様に、2つの影付き扇形のうち大きい方の面積は 

$${\displaystyle {\frac {\sec ^{2}(\theta +\Delta \theta )\,\Delta \theta }{2}}.}$$

それらの間に挟まれているのは、底辺が2つの点を端点とする垂直線分である三角形です。三角形の底辺の長さはtan( θ + Δ θ ) − tan θで、高さは 1 です。したがって、三角形の面積は

$${\displaystyle {\frac {\tan(\theta +\Delta \theta )-\tan \theta }{2}}.}$$

不平等から

$$\displaystyle {\frac {\sec ^{2}\theta \,\Delta \theta }{2}}\leq {\frac {\tan(\theta +\Delta \theta )-\tan \theta }{2}}\leq {\frac {\sec ^{2}(\theta +\Delta \theta )\,\Delta \theta }{2}}}$$

我々は次のように推論する

$${\displaystyle \sec ^{2}\theta \leq {\frac {\tan(\theta +\Delta \theta )-\tan \theta }{\Delta \theta }}\leq \sec ^{2}(\theta +\Delta \theta ),}$$

ただし、Δθ > 0の場合、不等式は逆になります。Δθ → 0のとき、最初の式と 3 番目の式はsec 2θに^近づき、真ん中の式は  ${\displaystyle {\tfrac {d}{d\theta }}\tan \theta ,}$望ましい結果が得られた。

挟み撃ちの定理は多変数微積分でも使用できますが、下側（および上側）の関数は、対象関数の経路に沿ってだけでなく、関心のある点の周囲全体で下側（および上側）に存在しなければならず、関数が実際にその点で極限を持つ場合にのみ有効です。したがって、関数が点において極限を持つことを証明するために使用できますが、関数が点において極限を持たないことを証明するために使用することは決してできません。^{[ 3 ]}

$${\displaystyle \lim _{(x,y)\to (0,0)}{\frac {x^{2}y}{x^{2}+y^{2}}}}$$

点を通る経路に沿って任意の数の極限を取っても見つけることはできないが、

$${\displaystyle {\begin{array}{rccccc}&0&\leq &\displaystyle {\frac {x^{2}}{x^{2}+y^{2}}}&\leq &1\\[4pt]-|y|\leq y\leq |y|\implies &-|y|&\leq &\displaystyle {\frac {x^{2}y}{x^{2}+y^{2}}}&\leq &|y|\\[4pt]{{\displaystyle \lim _{(x,y)\to (0,0)}-|y|=0} \atop {\displaystyle \lim _{(x,y)\to (0,0)}\ \ \ |y|=0}}\implies &0&\leq &\displaystyle \lim _{(x,y)\to (0,0)}{\frac {x^{2}y}{x^{2}+y^{2}}}&\leq &0\end{array}}}$$

したがって、挟み撃ちの定理により、

$${\displaystyle \lim _{(x,y)\to (0,0)}{\frac {x^{2}y}{x^{2}+y^{2}}}=0.}$$