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数学と物理学において、スカラー場は、空間領域（場合によっては物理空間）の各点に単一の数値を関連付ける関数です。スカラーは、純粋な数学的数値（無次元）またはスカラー物理量（単位付き）のいずれかです。
物理的な文脈では、スカラー場は基準フレームの選択から独立している必要があります。つまり、同じ単位を使用する 2 人の観測者は、それぞれの原点に関係なく、空間 (または時空) 内の同じ絶対点におけるスカラー場の値に同意することになります。物理学で使用される例としては、空間全体の温度分布、流体内の圧力分布、ヒッグス場などのスピンゼロの量子場などがあります。これらの場はスカラー場理論の対象です。
意味
数学的には、領域 U上のスカラー場は、U上の実数値または複素数値関数または超関数です。[1] [2]領域Uは、ユークリッド空間、ミンコフスキー空間、またはより一般的には多様体のサブセット内の集合である可能性があり、数学では、連続しているか、多くの場合、ある順序まで連続的に微分可能であるように、さらにフィールドに条件を課すのが一般的です。スカラー場は、順序がゼロのテンソル場であり、 [3] 「スカラー場」という用語は、この種の関数をより一般的なテンソル場、密度、または微分形式と区別するために使用される場合があります。
物理的には、スカラー場はそれに関連付けられた測定単位を持つことによってもさらに区別されます。この文脈では、スカラー場は物理システムを記述するために使用される座標系からも独立している必要があります。つまり、同じ単位を使用する 2 人の観測者は、物理空間の任意のポイントでのスカラー場の数値について同意する必要があります。スカラー場は、領域のすべてのポイントにベクトルを関連付けるベクトル場、テンソル場、スピノル場などの他の物理量と対比されます。[要出典]より微妙な点として、スカラー場は擬スカラー場と対比されることがよくあります。
物理学における用途
物理学では、スカラー場は特定の力に関連する位置エネルギーを表すことが多い。力はベクトル場であり、位置エネルギー スカラー場の 勾配の係数として得られる。例を次に示します。
量子論と相対性理論の例
- 量子場理論では、スカラー場はスピン0粒子に関連付けられています。スカラー場は実数値または複素数値です。複素スカラー場は荷電粒子を表します。これには標準モデルのヒッグス場や、強い核相互作用を媒介する荷電パイ中間子が含まれます。[4]
- 素粒子の標準モデルでは、スカラーヒッグス場は、湯川相互作用と自発的対称性の破れの組み合わせを介して、レプトンと質量を持つベクトル粒子に質量を与えるために使用されます。このメカニズムはヒッグス機構として知られています。[5]ヒッグス粒子の候補は、2012年にCERNで初めて検出されました。
- 重力のスカラー理論では、スカラー場が重力場を記述するために使用されます。
- スカラー-テンソル理論は、テンソルとスカラーの両方を介して重力相互作用を表現する。そのような試みとしては、例えば、カルツァ-クライン理論の一般化としてのジョーダン理論[6]やブランス-ディッケ理論[7]がある。
- スカラー場は超弦理論の中ではディラトン場として存在し、弦の共形対称性を破るが、このテンソルの量子異常性をバランスさせる。[11]
- スカラー場は初期宇宙の急加速膨張（インフレーション）を引き起こしたと仮定されており、[12]地平線問題の解決に役立ち、宇宙論における宇宙定数がゼロでない理由を仮説的に示している。この文脈における質量のない（すなわち長距離の）スカラー場は、インフレーションとして知られている。質量のある（すなわち短距離の）スカラー場も、例えばヒッグスのような場を用いて提案されている。[13]
その他の分野
- ベクトル場は、空間内のあらゆる点にベクトルを関連付けます。ベクトル場の例としては、電磁場や気象学における空気の流れ（風）などがあります。
- テンソル場は、空間のあらゆる点にテンソルを関連付けます。たとえば、一般相対性理論では、重力はアインシュタイン テンソルと呼ばれるテンソル場と関連付けられます。カルツァ-クライン理論では、時空は 5 次元に拡張され、そのリーマン曲率テンソルは通常の4 次元重力と、電磁場のマクスウェル方程式に相当する追加のセット、および「ディラトン」と呼ばれる追加のスカラー場に分離できます。[要出典] (ディラトンスカラーは、弦理論の質量のないボゾン場の中にも見られます。)
参照
参考文献
- ^ アポストル、トム(1969)。微積分学。第2巻（第2版）。ワイリー。
- ^ 「スカラー」、数学百科事典、EMS Press、2001 [1994]
- ^ 「スカラー場」、数学百科事典、EMS Press、2001 [1994]
- ^技術的には、パイ中間子は実際には 擬スカラー中間子の例であり、空間反転の下では不変ではないが、ローレンツ変換の下では不変である。
- ^ PW Higgs (1964年10月). 「対称性の破れとゲージボソンの質量」. Phys. Rev. Lett . 13 (16): 508–509. Bibcode :1964PhRvL..13..508H. doi : 10.1103/PhysRevLett.13.508 .
- ^ ジョーダン、P. (1955)。シュヴェルクラフトとヴェルトール。ブラウンシュヴァイク: Vieweg.
- ^ Brans, C.; Dicke, R. (1961). 「マッハの原理と重力の相対論的理論」. Phys. Rev. 124 ( 3): 925. Bibcode :1961PhRv..124..925B. doi :10.1103/PhysRev.124.925.
- ^ Zee, A. (1979). 「重力の対称性の破れ理論」. Phys. Rev. Lett . 42 (7): 417–421. Bibcode :1979PhRvL..42..417Z. doi :10.1103/PhysRevLett.42.417.
- ^ Dehnen, H.; Frommert, H.; Ghaboussi, F. (1992). 「ヒッグス場と新しいスカラー-テンソル重力理論」. Int. J. Theor. Phys . 31 (1): 109. Bibcode :1992IJTP...31..109D. doi :10.1007/BF00674344. S2CID 121308053.
- ^ Dehnen, H.; Frommmert, H. (1991). 「標準モデルにおけるヒッグス場重力」. Int. J. Theor. Phys . 30 (7): 985–998 [p. 987]. Bibcode :1991IJTP...30..985D. doi :10.1007/BF00673991. S2CID 120164928.
- ^ Brans, CH (2005). 「スカラー-テンソル理論のルーツ」. arXiv : gr-qc/0506063 .
- ^ Guth, A. (1981). 「インフレーション宇宙：地平線と平坦性の問題に対する可能な解決策」. Phys. Rev. D . 23 (2): 347–356. Bibcode :1981PhRvD..23..347G. doi : 10.1103/PhysRevD.23.347 .
- ^ Cervantes-Cota, JL; Dehnen, H. (1995). 「SU(5) GUTにおける誘導重力インフレーション」. Phys. Rev. D . 51 (2): 395–404. arXiv : astro-ph/9412032 . Bibcode :1995PhRvD..51..395C. doi :10.1103/PhysRevD.51.395. PMID 10018493. S2CID 11077875.