関数のゼロ

数学において、実関数、複素関数、または一般にベクトル値関数の零点（根とも呼ばれる）は、の定義域の要素で、でが消滅するものである。つまり、関数はで 0 の値を達成するか、または同等に、方程式 の解である。^[1]関数の「零点」は、したがって、出力 0 を生成する入力値である。^[2] ${\displaystyle f}$${\displaystyle x}$${\displaystyle f}$${\displaystyle f(x)}$ ${\displaystyle x}$${\displaystyle f}$${\displaystyle x}$${\displaystyle x}$${\displaystyle f(x)=0}$

多項式の根は、対応する多項式関数の零点である。^[1]代数学の基本定理によれば、零でない任意の多項式は、その次数に等しい数の根を持つが、複素根（より一般的には、代数的に閉じた拡大における根）をその重複度とともに数えた場合、根の数と次数は等しい。^[3]たとえば、で定義される次数 2 の多項式には、2と3という 2 つの根（または零点）がある。 ${\displaystyle f}$${\displaystyle f(x)=x^{2}-5x+6=(x-2)(x-3)}$$${\displaystyle f(2)=2^{2}-5\times 2+6=0{\text{ および }}f(3)=3^{2}-5\times 3+6=0.}$$

関数が実数を実数にマップする場合、そのゼロはグラフがx軸と交わる点の -座標です。このコンテキストでは、このような点の別名は-切片です。 ${\displaystyle x}$${\displaystyle (x,0)}$${\displaystyle x}$

未知数のすべての方程式は次のように書き直すことができる。 ${\displaystyle x}$

${\displaystyle f(x)=0}$

左辺のすべての項をグループ化することによって、このような方程式の解は関数の零点とまったく同じになります。言い換えれば、「関数の零点」はまさに「関数を 0 に等しくすることによって得られる方程式の解」であり、関数の零点の研究は方程式の解の研究とまったく同じです。 ${\displaystyle f}$

奇数次の実多項式はすべて、奇数の実根を持ちます (重複数を数えると)。同様に、偶数次の実多項式は偶数の実根を持ちます。したがって、実奇多項式は少なくとも 1 つの実根を持ちます (最小の奇数は 1 であるため)。一方、偶数多項式は実根を持たない場合があります。この原理は、中間値定理を参照して証明できます。多項式関数は連続しているため、関数値は、負から正へ、またはその逆に変化する過程で、必ずゼロを横切ります (これは、奇関数では常に発生します)。

代数学の基本定理によれば、次数の多項式はすべて複素根を持ち、その重複度は数えられる。実係数を持つ多項式の非実根は共役対になっている。^[2]ヴィエタの公式は、多項式の係数をその根の和と積に関連付けている。 ${\displaystyle n}$${\displaystyle n}$

多項式関数などの関数の根を計算するには、特殊な手法や近似手法 (ニュートン法など)を使用する必要があることがよくあります。ただし、次数が 4 以下の多項式関数など、一部の多項式関数では、すべての根を係数を使って代数的に表現できます(詳細については、代数解法を参照してください)。

数学のさまざまな分野で、関数の零点集合とは、その関数のすべての零点の集合のことです。より正確には、が実数値関数（または、より一般的には、何らかの加法群内の値を取る関数）である場合、その零点集合は におけるの逆像であるです。 ${\displaystyle f:X\to \mathbb {R} }$${\displaystyle f^{-1}(0)}$${\displaystyle \{0\}}$${\displaystyle X}$

関数の共役領域に関する同じ仮定の下では、関数の準位集合は、共役領域内のいくつかの関数の零点集合である。${\displaystyle f}$${\displaystyle fc}$${\displaystyle c}$${\displaystyle f.}$

線形写像の零点集合はカーネルとも呼ばれます。

関数のコゼロ集合は、のゼロ集合の補集合（つまり、の部分がゼロでない集合） です。${\displaystyle f:X\to \mathbb {R} }$${\displaystyle f}$${\displaystyle X}$${\displaystyle f}$

代数幾何学では、代数多様体の最初の定義は零集合を通して行われます。具体的には、アフィン代数集合は、体上の多項式環における、いくつかの多項式の零集合の共通部分です。この文脈では、零集合は零位置と呼ばれることもあります。 ${\displaystyle k\left[x_{1},\ldots ,x_{n}\right]}$

解析学と幾何学において、の任意の閉部分集合は、 全体にわたって定義された滑らかな関数の零集合である。これは、パラコンパクト性の帰結として、任意の滑らかな多様体に拡張される。 ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$

微分幾何学では、零点集合は多様体を定義するために頻繁に使用されます。が から への滑らかな関数である場合は、重要な特殊なケースです。の正則値が零点である場合、 の零点集合は、正則値定理により、次元の滑らかな多様体になります。 ${\displaystyle f}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{p}}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$${\displaystyle f}$${\displaystyle f}$${\displaystyle m=pn}$

たとえば、の単位球面は実数値関数 の零点集合です。 ${\displaystyle m}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{m+1}}$${\displaystyle f(x)=\Vert x\Vert ^{2}-1}$

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