直接比較テスト

数学において、比較テストは、類似の関連テスト（特に極限比較テスト）と区別するために直接比較テストと呼ばれることもあり、級数または積分を収束特性がわかっているものと比較することによって、無限級数または不完全な積分が収束するか発散するかを推論する方法を提供します。

微積分学では、級数の比較テストは、通常、非負（実数値）項を持つ無限級数に関する一対のステートメントで構成される：^[1]

• 無限級数が収束し、十分に大きいすべてのnに対して（つまり、ある固定値Nに対してすべてに対して）収束する場合、無限級数も収束します。${\displaystyle \sum b_{n}}$${\displaystyle 0\leq a_{n}\leq b_{n}}$${\displaystyle n>N}$${\displaystyle \sum a_{n}}$
• 無限級数が発散し、十分に大きいすべてのnに対して、無限級数も発散します。${\displaystyle \sum b_{n}}$${\displaystyle 0\leq b_{n}\leq a_{n}}$${\displaystyle \sum a_{n}}$

より大きな項を持つ級数は、より小さな項を持つ級数を支配する（または最終的に支配する）と言われることがあることに注意する。 ^[2]

あるいは、このテストは絶対収束の観点から述べることもできる。その場合、複素項を含む級数にも適用される。^[3]

• 無限級数が絶対収束し、十分に大きいすべてのnに対して、無限級数も絶対収束します。${\displaystyle \sum b_{n}}$${\displaystyle |a_{n}|\leq |b_{n}|}$${\displaystyle \sum a_{n}}$
• 無限級数が絶対収束せず、十分に大きいすべてのnに対しても、無限級数は絶対収束しません。${\displaystyle \sum b_{n}}$${\displaystyle |b_{n}|\leq |a_{n}|}$${\displaystyle \sum a_{n}}$

この最後のステートメントでは、級数は依然として条件付き収束する可能性があることに注意してください。実数値の級数の場合、a _nがすべて非負でない場合にこれが発生する可能性があります。 ${\displaystyle \sum a_{n}}$

2 番目のステートメントのペアは、実数値の級数の場合、最初のステートメントと同等です。これは、非負の項を持つ級数 が収束する 場合に限り、絶対収束するためです。${\displaystyle \sum c_{n}}$${\displaystyle \sum |c_{n}|}$

上記のすべてのステートメントの証明は類似しています。以下は 3 番目のステートメントの証明です。

を絶対収束する（したがって 収束する）無限級数とし、一般性を失うことなく、すべての正の整数nに対してと仮定する。部分和を考える。${\displaystyle \sum a_{n}}$${\displaystyle \sum b_{n}}$${\displaystyle \sum b_{n}}$${\displaystyle \sum |b_{n}|}$${\displaystyle |a_{n}|\leq |b_{n}|}$

${\displaystyle S_{n}=|a_{1}|+|a_{2}|+\ldots +|a_{n}|,\ T_{n}=|b_{1}|+|b_{2}|+\ldots +|b_{n}|.}$

は絶対収束するので、ある実数Tに対しては、任意のnに対して、 ${\displaystyle \sum b_{n}}$${\displaystyle \lim _{n\to \infty }T_{n}=T}$

${\displaystyle 0\leq S_{n}=|a_{1}|+|a_{2}|+\ldots +|a_{n}|\leq |a_{1}|+\ldots +|a_{n}|+|b_{n+1}|+\ldots =S_{n}+(T-T_{n})\leq T.}$

${\displaystyle S_{n}}$は非減少数列であり、は非増加です。 とすると、両方とも区間 に属し、 が無限大に近づくにつれて長さは 0 に減少します。これは、 がコーシー数列であることを示しており、したがって極限に収束する必要があります。したがって、は絶対収束します。 ${\displaystyle S_{n}+(T-T_{n})}$${\displaystyle m,n>N}$${\displaystyle S_{n},S_{m}}$${\displaystyle [S_{N},S_{N}+(T-T_{N})]}$${\displaystyle T-T_{N}}$${\displaystyle N}$${\displaystyle (S_{n})_{n=1,2,\ldots }}$${\displaystyle \sum a_{n}}$

積分の比較テストは、連続した実数値関数fとgと、bが垂直漸近線を持つ実数のいずれかであると仮定して、次のように述べることができる。[ 4 ^]${\displaystyle [a,b)}$${\displaystyle +\infty }$

• 仮積分がに対して収束し、に対しても収束するならば、仮積分はに対しても収束する。${\displaystyle \int _{a}^{b}g(x)\,dx}$${\displaystyle 0\leq f(x)\leq g(x)}$${\displaystyle a\leq x<b}$${\displaystyle \int _{a}^{b}f(x)\,dx}$${\displaystyle \int _{a}^{b}f(x)\,dx\leq \int _{a}^{b}g(x)\,dx.}$
• に対して不定積分が発散し、 となる場合、不定積分も発散します。${\displaystyle \int _{a}^{b}g(x)\,dx}$${\displaystyle 0\leq g(x)\leq f(x)}$${\displaystyle a\leq x<b}$${\displaystyle \int _{a}^{b}f(x)\,dx}$

実数値級数の収束を判定する別の検定法は、上記の直接比較検定と比検定の両方に似ており、比比較検定と呼ばれる。^[5]

• 無限級数が収束し、十分に大きいすべてのnに対して、、、およびである場合、無限級数も収束します。${\displaystyle \sum b_{n}}$${\displaystyle a_{n}>0}$${\displaystyle b_{n}>0}$${\displaystyle {\frac {a_{n+1}}{a_{n}}}\leq {\frac {b_{n+1}}{b_{n}}}}$${\displaystyle \sum a_{n}}$
• 無限級数が発散し、十分に大きいすべてのnに対して、、、およびである場合、無限級数も発散します。${\displaystyle \sum b_{n}}$${\displaystyle a_{n}>0}$${\displaystyle b_{n}>0}$${\displaystyle {\frac {a_{n+1}}{a_{n}}}\geq {\frac {b_{n+1}}{b_{n}}}}$${\displaystyle \sum a_{n}}$

• 収束テスト
• 収束（数学）
• 優勢収束定理
• 収束の積分テスト
• 限界比較テスト
• 単調収束定理

• エアーズ、フランク・ジュニア、メンデルソン、エリオット（1999年）。シャウムの微積分学概論（第4版）。ニューヨーク：マグロウヒル。ISBN 0-07-041973-6。
• Buck, R. Creighton (1965)。『Advanced Calculus (第 2 版)』。ニューヨーク: McGraw-Hill。
• ノップ、コンラッド（1956）。無限列と級数。ニューヨーク：ドーバー出版。§ 3.1。ISBN 0-486-60153-6。
• Munem, MA; Foulis, DJ (1984)。解析幾何学による微積分（第2版）。Worth Publishers。ISBN 0-87901-236-6。
• シルバーマン、ハーブ（1975）。複素変数。ホートン・ミフリン社。ISBN 0-395-18582-3。
• Whittaker, ET ; Watson, GN (1963). A Course in Modern Analysis (第4版). Cambridge University Press. § 2.34. ISBN 0-521-58807-3。