正接

接線を割線の極限と捉える幾何学的概念は、接線を明示的に求めるために用いられる解析的手法の動機となっている。グラフの接線を求める問題、すなわち接線問題は、 17世紀に微積分学が発展するきっかけとなった中心的な問題の一つであった。ルネ・デカルト^{[ 11 ]}は、著書『幾何学』第2巻で、曲線の接線を作図する問題について、「これは私が知る限り、幾何学において最も有用で最も一般的な問題であるだけでなく、私がこれまで知りたいと願ってきた問題でもある」と述べている^{[ 12 ] 。}

曲線がy = f ( x ) で与えられる場合、接線の傾きは${\displaystyle dy/dx,}$点傾き公式 により、 ( X , Y )における接線の方程式は次のようになる。 

${\displaystyle yY={\frac {dy}{dx}}(X)\cdot (xX)}$

ここで ( x , y ) は接線上の任意の点の座標であり、導関数は で評価される。 ${\displaystyle x=X}$[ ^{13 ]​}

曲線がy = f ( x ) で与えられる場合、接線の方程式は多項式の除算を用いて求めることもできます^{[ 14 ]}${\displaystyle f\,(x)}$による${\displaystyle (xX)^{2}}$; 余りが次のように表される場合${\displaystyle g(x)}$すると、接線の方程式は次のように表される。

${\displaystyle y=g(x).}$

曲線の式が f ( x , y ) = 0 の形で与えられている場合、傾きの値は陰関数微分によって求めることができ、 

${\displaystyle {\frac {dy}{dx}}=-{\frac {\partial f}{\partial x}}{\bigg ⋆\frac {\partial f}{\partial y}}.}$

f ( X , Y ) = 0となる点( X , Y )における接線の方程式は次のようになる^{[ 13 ]}

$\displaystyle {\frac {\partial f}{\partial x}}(X,Y)\cdot (xX)+{\frac {\partial f}{\partial y}}(X,Y)\cdot (yY)=0.}$

この方程式は、以下の場合にも成り立ちます。

${\displaystyle {\frac {\partial f}{\partial y}}(X,Y)=0,\quad {\frac {\partial f}{\partial x}}(X,Y)\neq 0,}$

この場合、接線の傾きは無限大になります。しかし、

${\displaystyle {\frac {\partial f}{\partial y}}(X,Y)={\frac {\partial f}{\partial x}}(X,Y)=0,}$

接線は定義されておらず、点 ( X , Y ) は特異点であると言われます。

代数曲線の場合、同次座標に変換することで計算をいくらか簡略化できます。具体的には、曲線の同次方程式をg ( x , y , z ) = 0 とします。ここでgはn次同次関数です。すると、( X , Y , Z ) が曲線上にある場合、オイラーの定理は 、    $${\displaystyle {\frac {\partial g}{\partial x}}\cdot X+{\frac {\partial g}{\partial y}}\cdot Y+{\frac {\partial g}{\partial z}}\cdot Z=ng(X,Y,Z)=0.}$$ したがって、接線の同次方程式は次のようになる。

$\displaystyle {\frac {\partial g}{\partial x}}(X,Y,Z)\cdot x+{\frac {\partial g}{\partial y}}(X,Y,Z)\cdot y+{\frac {\partial g}{\partial z}}(X,Y,Z)\cdot z=0.}$

デカルト座標系における接線の方程式は、この方程式でz = 1 と置くことで求めることができる。 ^{[ 15 ]}

これを代数曲線に適用するには、f ( x , y ) を次のように書きます。 

${\displaystyle f=u_{n}+u_{n-1}+\dots +u_{1}+u_{0}\,}$

ここで、各u _rは次数rのすべての項の合計である。曲線の同次方程式は次のようになる。

${\displaystyle g=u_{n}+u_{n-1}z+\dots +u_{1}z^{n-1}+u_{0}z^{n}=0.\,}$

上記の式を適用し、z = 1とすると、

${\displaystyle {\frac {\partial f}{\partial x}}(X,Y)\cdot x+{\frac {\partial f}{\partial y}}(X,Y)\cdot y+{\frac {\partial g}{\partial z}}(X,Y,1)=0}$

接線の方程式として。^{[ 16 ]}この形式の方程式は、適用後にさらに簡略化する必要がないため、実際にはより簡単に使用できることが多い。^{[ 15 ]}

曲線がパラメトリックに与えられている場合

${\displaystyle x=x(t),\quad y=y(t)}$

接線の傾きは

${\displaystyle {\frac {dy}{dx}}={\frac {dy}{dt}}{\bigg ＊\frac {dx}{dt}}}$

接線の方程式を与える${\displaystyle \,t=T,\,X=x(T),\,Y=y(T)}$[ ^{17 ]​}

$\displaystyle {\frac {dx}{dt}}(T)\cdot (yY)={\frac {dy}{dt}}(T)\cdot (xX).}$

もし

${\displaystyle {\frac {dx}{dt}}(T)={\frac {dy}{dt}}(T)=0,}$

接線は定義されていません。ただし、接線が存在し、曲線の陰関数方程式から計算できる場合もあります。

曲線の接点における接線に垂直な直線を、その点における曲線の法線と呼びます。垂直な直線の傾きの積は −1 なので、曲線の式がy = f ( x ) の場合、法線の傾きは

${\displaystyle -1{\bigg ＊\frac {dy}{dx}}}$

したがって、(X, Y)における法線の式は次のようになる。

${\displaystyle (xX)+{\frac {dy}{dx}}(yY)=0.}$

同様に、曲線の式がf ( x , y ) = 0 の形である場合、法線の式は^{[ 18 ]で与えられます。} 

$\displaystyle {\frac {\partial f}{\partial y}}(xX)-{\frac {\partial f}{\partial x}}(yY)=0.}$

曲線がパラメトリックに与えられている場合

${\displaystyle x=x(t),\quad y=y(t)}$

すると、法線の方程式は^{[ 17 ]となる。}

$\displaystyle {\frac {dx}{dt}}(xX)+{\frac {dy}{dt}}(yY)=0.}$

2つの曲線が交わる点における2つの曲線の間の角度は、その点におけるそれらの接線の間の角度として定義されます。より具体的には、2つの曲線は、ある点で同じ接線を持つ場合、その点で接していると言われ、それらの接線が直交する場合、直交していると言われます。^{[ 19 ]}

上記の式は、点が特異点である場合には適用できません。この場合、曲線にはその点を通る枝が2つ以上存在し、それぞれの枝に独自の接線が存在する可能性があります。点が原点である場合、代数曲線のこれらの直線の式は、元の式から最低次の項以外をすべて消去して得られる式を因数分解することで求めることができます。変数変換（または曲線の平行移動）によって任意の点を原点にすることができるため、この方法によって任意の特異点における接線を求めることができます。

例えば、右図に示すリマソン三等分線の式は次のようになります。

${\displaystyle (x^{2}+y^{2}-2ax)^{2}=a^{2}(x^{2}+y^{2}).\,}$

これを展開し、次数2の項以外をすべて取り除くと、

${\displaystyle a^{2}(3x^{2}-y^{2})=0\,}$

因数分解すると、

${\displaystyle y=\pm {\sqrt {3}}x.}$

これらは原点を通る2つの接線の方程式です。^{[ 20 ]}

曲線が自己交差しない場合、曲線が他の場所では微分可能であっても、その点では微分可能ではないため、基準点における接線は一意に定義されないことがあります。この場合、左導関数と右導関数は、導関数を評価する点がそれぞれ左側（低い値）または右側（高い値）から基準点に近づくときの導関数の極限として定義されます。たとえば、曲線y = | x | はx = 0で微分可能ではありません。その左導関数と右導関数の傾きはそれぞれ −1 と 1 です。その傾きを持つその点における接線は、左接線と右接線と呼ばれます。^{[ 21 ]}

左右の接線の傾きが等しい場合、接線は一致することがあります。例えば、曲線y = x² ^/3では、 x = 0における左右の導関数がともに無限大となるため、左右の接線の方程式はともにx = 0 となります。