数列（数学）

数列、または冗長に無限数列は、無限和です。それはしばしば^{[ 8 ] [ 15 ] [ 16 ]}のように表されます。$${\displaystyle a_{0}+a_{1}+a_{2}+\cdots \quad {\text{または}}\quad a_{1}+a_{2}+a_{3}+\cdots ,}$$ 用語が${\displaystyle a_{k}}$数列、関数、または加算可能なその他のものの 要素です。数列は、大文字のシグマ表記でも表すことができます。^{[ 8 ] [ 16 ]}$$\displaystyle \sum _{k=0}^{\infty }a_{k}\qquad {\text{または}}\qquad \sum _{k=1}^{\infty }a_{k}.}$$

数項、省略記号、一般項、そして最後の省略記号を用いて級数を表現することも一般的であり、一般項は の式である。${\displaystyle n}$⁠の関数としての第 1項${\displaystyle n}$⁠ : $${\displaystyle a_{0}+a_{1}+a_{2}+\cdots +a_{n}+\cdots \quad {\text{ または }}\quad f(0)+f(1)+f(2)+\cdots +f(n)+\cdots .}$$ 例えば、オイラー数は次の級数で定義できる。 $${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{n!}}=1+1+{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{6}}+\cdots +{\frac {1}{n!}}+\cdots ,}$$ どこ${\displaystyle n!}$の積を表す${\displaystyle n}$最初の正の整数、および${\displaystyle 0!}$慣習的に等しい${\displaystyle 1.}$^{[ 17 ] [ 18 ] [ 19 ]}

一連の${\textstyle s=\sum _{k=0}^{\infty }a_{k}}$、その${\displaystyle n}$⁠部分和は^{[ 9 ] [ 10 ] [ 11 ] [ 16 ]}$${\displaystyle s_{n}=\sum _{k=0}^{n}a_{k}=a_{0}+a_{1}+\cdots +a_{n}.}$$

一部の著者は、数列を部分和の列と直接同一視している。^{[ 9 ] [ 11 ]}部分和の列または項の列のいずれかが数列を完全に特徴づけ、項の列は連続する要素間の差を取ることによって部分和の列から復元できる。 $${\displaystyle a_{n}=s_{n}-s_{n-1}.}$$

数列の部分和は線形数列変換の一例であり、コンピュータサイエンスでは接頭辞和とも呼ばれます。部分和から数列を復元するための逆変換は有限差分であり、これもまた線形数列変換です。

数列の部分和は、より単純な閉じた形式の式で表される場合があり、たとえば等差数列の部分和は $${\displaystyle s_{n}=\sum _{k=0}^{n}\left(a+kd\right)=a+(a+d)+(a+2d)+\cdots +(a+nd)=(n+1){\bigl (}a+{\tfrac {1}{2}}nd{\bigr )},}$$等比級数 には部分和があります^{[ 20 ] [ 21 ] [ 22 ]}$${\displaystyle s_{n}=\sum _{k=0}^{n}ar^{k}=a+ar+ar^{2}+\cdots +ar^{n}=a{\frac {1-r^{n+1}}{1-r}}}$$ もし⁠${\displaystyle r\neq 1}$または単に​${\displaystyle s_{n}=a(n+1)}$もし​​${\displaystyle r=1}$⁠ .

厳密に言えば、級数は、その部分和の数列に 極限があるときに収束する、収束する、または総和可能であると言われます。部分和の数列の極限が存在しない場合、級数は発散します。[ ^{23 ]部分}和の極限が存在する場合、それは級数の和または級数の値と呼ばれます。^{[ 9 ] [ 10 ] [ 11 ] [ 16 ]}$${\displaystyle \sum _{k=0}^{\infty }a_{k}=\lim _{n\to \infty }\sum _{k=0}^{n}a_{k}=\lim _{n\to \infty }s_{n}.}$$ 非ゼロ項が有限個しかない級数は常に収束する。このような級数は、項の数を気にせずに有限和を考えるのに便利である。^{[ 24 ]}和が存在する場合、級数の和とその差は${\displaystyle n}$番目の部分和、${\textstyle s-s_{n}=\sum _{k=n+1}^{\infty }a_{k},}$として知られています${\displaystyle n}$無限級数のth打ち切り誤差。 ^{[ 25 ] [ 26 ]}

収束級数の例としては、等比級数が挙げられる。 $${\displaystyle 1+{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{4}}+{\frac {1}{8}}+\cdots +{\frac {1}{2^{k}}}+\cdots .}$$

代数計算により、各部分和が$s_n$は $$\sum_{k=0}^{n}{\frac{1}{2^{k}}}=2-{\frac{1}{2^{n}}}.}$$一人が持っているように $${\displaystyle \lim _{n\to \infty }\left(2-{\frac {1}{2^{n}}}\right)=2,}$$ この級数は収束し、 に収束する。${\displaystyle 2}$切り捨てエラーあり$1/2^n$[ ^{20 ] [ 21 ] [ 22 ]​}

対照的に、等比数列 $${\displaystyle \sum _{k=0}^{\infty }2^{k}}$$実数 では発散する。^{[ 20 ] [ 21 ] [ 22 ]}しかし、拡張実数直線では収束し、${\displaystyle +\infty }$その限界として、${\displaystyle +\infty }$各ステップでの切り捨て誤差として。^{[ 27 ]}

級数の部分和の列を直接計算して収束性を評価することが容易でない場合、収束判定法を用いて級数が収束するか発散するかを証明することができる。

通常の有限和においては、加法の結合法則により、和の項を自由にグループ化したり、グループ化を解除したりしても、和の結果は変わりません。${\displaystyle a_{0}+a_{1}+a_{2}={}}$${\displaystyle a_{0}+(a_{1}+a_{2})={}}$${\displaystyle (a_{0}+a_{1})+a_{2}.}$同様に、級数では、級数の項を有限個にグループ化しても、級数の部分和の極限は変化せず、したがって級数の合計も変化しません。ただし、無限級数で無限個のグループ化が行われると、グループ化された級数の部分和は元の級数とは異なる極限を持つ可能性があり、また、異なるグループ化は互いに異なる極限を持つ可能性があります。${\displaystyle a_{0}+a_{1}+a_{2}+\cdots }$合計と等しくない場合があります${\displaystyle a_{0}+(a_{1}+a_{2})+{}}$${\displaystyle (a_{3}+a_{4})+\cdots .}$

例えば、グランディのシリーズ${\displaystyle 1-1+1-1+\cdots }$は、部分和のシーケンスを持ち、交互に繰り返されます。${\displaystyle 1}$そして​​${\displaystyle 0}$⁠収束しない。要素をペアにグループ化すると、次の級数が得られる。${\displaystyle (1-1)+(1-1)+(1-1)+\cdots ={}}$${\displaystyle 0+0+0+\cdots ,}$これは、各項の部分和がゼロに等しく、したがって合計もゼロになります。最初の項以降から要素をペアごとにグループ化すると、次の数列が作成されます。${\displaystyle 1+(-1+1)+{}}$${\displaystyle (-1+1)+\cdots ={}}$${\displaystyle 1+0+0+\cdots ,}$これは、各項の部分和が1に等しく、したがって合計も1になるという、異なる結果である。

一般に、級数の項をグループ化すると、元の級数の部分和の列の部分和の列である新しい級数が作成されます。これは、元の級数が収束する場合、グループ化後の新しい級数も収束することを意味します。収束する列のすべての無限部分列も同じ極限に収束します。ただし、元の級数が発散する場合、上記のグランディの級数の例のように、グループ化された級数は必ずしも発散しません。しかし、グループ化された級数が発散すると、元の級数も発散しなければならないことがわかります。これは、元の級数の部分和の列の中に収束しない部分列が存在することを証明するものであり、収束している場合はあり得ないことです。この推論は、オレームによる調和級数の発散の証明[28]に適用され、一般^{的なコーシー}凝縮テスト^{[ 29 ] [ 30 ]}の基礎となっています。

通常の有限和においては、加法の可換性により、和の項を自由に並べ替えても和の結果は変わらない。${\displaystyle a_{0}+a_{1}+a_{2}={}}$${\displaystyle a_{0}+a_{2}+a_{1}={}}$${\displaystyle a_{2}+a_{1}+a_{0}.}$同様に、級数においては、級数の項を有限に並べ替えても、級数の部分和の極限は変化せず、したがって級数の総和も変化しません。有限に並べ替えた場合、並べ替えによってそれ以降の項に影響が及ばない項が必ず存在します。並べ替えの影響は、その項までの有限の総和に限定することができ、有限の総和は並べ替えによって変化しません。

しかし、グループ化に関しては、級数の項を無限に並べ替えると、級数の部分和の極限が変化する場合があります。ある値に収束する部分和の列を持つ級数で、項を並べ替えると別の値に収束する部分和を持つ級数になるものを条件収束級数と呼びます。並べ替えに関係なく同じ値に収束する級数を無条件収束級数と呼びます。

実数と複素数の系列の場合、${\displaystyle a_{0}+a_{1}+a_{2}+\cdots }$項の絶対値を合計した級数が無条件に収束するのは、${\displaystyle |a_{0}|+|a_{1}|+|a_{2}|+\cdots ,}$も収束する。これは絶対収束と呼ばれる性質である。そうでなければ、収束するが絶対収束しない実数または複素数の級数は条件収束する。条件収束する実数の和は、極限として他の実数を得るか、発散するように並べ替えることができる。これらの主張はリーマン級数の定理の内容である。^{[ 31 ] [ 32 ] [ 33 ]}

条件付き収束の歴史的に重要な例として、交代調和級数がある。

$${\displaystyle \sum \limits _{n=1}^{\infty }{(-1)^{n+1} \over n}=1-{1 \over 2}+{1 \over 3}-{1 \over 4}+{1 \over 5}-\cdots ,}$$これは自然対数2の 合計を持ち、項の絶対値の合計は調和級数である。 $${\displaystyle \sum \limits _{n=1}^{\infty }{1 \over n}=1+{1 \over 2}+{1 \over 3}+{1 \over 4}+{1 \over 5}+\cdots ,}$$ これは調和級数の発散によって発散するため、^{[ 28 ]}交代調和級数は条件付き収束します。たとえば、交代調和級数の項を並べ替えて、元の級数の各正の項の後に、1 つではなく 2 つの負の項が続くようにすると、^{[ 34 ]が得られます。}$${\displaystyle {\begin{aligned}&1-{\frac {1}{2}}-{\frac {1}{4}}+{\frac {1}{3}}-{\frac {1}{6}}-{\frac {1}{8}}+{\frac {1}{5}}-{\frac {1}{10}}-{\frac {1}{12}}+\cdots \\[3mu]&\quad =\left(1-{\frac {1}{2}}\right)-{\frac {1}{4}}+\left({\frac {1}{3}}-{\frac {1}{6}}\right)-{\frac {1}{8}}+\left({\frac {1}{5}}-{\frac {1}{10}}\right)-{\frac {1}{12}}+\cdots \\[3mu]&\quad ={\frac {1}{2}}-{\frac {1}{4}}+{\frac {1}{6}}-{\frac {1}{8}}+{\frac {1}{10}}-{\frac {1}{12}}+\cdots \\[3mu]&\quad ={\frac {1}{2}}\left(1-{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{3}}-{\frac {1}{4}}+{\frac {1}{5}}-{\frac {1}{6}}+\cdots \right),\end{aligned}}}$$ それは${\displaystyle {\tfrac {1}{2}}}$元の数列の倍数となるため、和は2の自然対数の半分になります。リーマン級数の定理により、交代調和級数を並べ替えて他の実数を得ることも可能です。

2つのシリーズの追加${\textstyle a_{0}+a_{1}+a_{2}+\cdots }$そして${\textstyle b_{0}+b_{1}+b_{2}+\cdots }$項ごとの和によって与えられる^{[ 13 ] [ 35 ] [ 36 ] [ 37 ]}${\textstyle (a_{0}+b_{0})+(a_{1}+b_{1})+(a_{2}+b_{2})+\cdots \,}$または、総和表記では、 $${\displaystyle \sum _{k=0}^{\infty }a_{k}+\sum _{k=0}^{\infty }b_{k}=\sum _{k=0}^{\infty }a_{k}+b_{k}.}$$

記号を使用する${\displaystyle s_{a,n}}$そして${\displaystyle s_{b,n}}$加算された級数の部分和と${\displaystyle s_{a+b,n}}$結果として得られる級数の部分和については、この定義は結果として得られる級数の部分和が以下になることを意味する。${\displaystyle s_{a+b,n}=s_{a,n}+s_{b,n}.}$すると、結果として得られる級数の和、すなわち結果として得られる級数の部分和の列の極限は、次の式を満たす。 $${\displaystyle \lim _{n\rightarrow \infty }s_{a+b,n}=\lim _{n\rightarrow \infty }(s_{a,n}+s_{b,n})=\lim _{n\rightarrow \infty }s_{a,n}+\lim _{n\rightarrow \infty }s_{b,n},}$$ 限界が存在する場合。したがって、まず、加算によって得られる級数は、加算された級数が総和可能であれば総和可能であり、次に、結果として得られる級数の和は、加算された級数の和の和になります。2 つの発散級数の加算によって収束級数が得られる場合があります。たとえば、発散​​級数とその項の 倍の級数との加算です。${\displaystyle -1}$すべてゼロの系列が得られ、それはゼロに収束します。しかし、一方が収束し、もう一方が発散する任意の2つの系列の場合、それらの加算結果は発散します。^{[ 35 ]}

実数列または複素数列の場合、級数の加算は結合法則、交換法則、および可逆法則を満たします。したがって、級数の加算は、収束する実数列または複素数列の集合にアーベル群の構造を与え、また、収束性に関係なく、すべての実数列または複素数列の集合にもアーベル群の構造を与えます。

一連の製品の${\textstyle a_{0}+a_{1}+a_{2}+\cdots }$定数で${\displaystyle c}$この文脈ではスカラーと呼ばれる は、項ごとの積^{[ 35 ]によって与えられる。}${\textstyle ca_{0}+ca_{1}+ca_{2}+\cdots }$または、総和表記では、

$${\displaystyle c\sum _{k=0}^{\infty }a_{k}=\sum _{k=0}^{\infty }ca_{k}.}$$

記号を使用する${\displaystyle s_{a,n}}$元の数列の部分和と${\displaystyle s_{ca,n}}$乗算後の級数の部分和については${\displaystyle c}$この定義は、${\displaystyle s_{ca,n}=cs_{a,n}}$すべての人々のために${\displaystyle n,}$そしてそれゆえに${\textstyle \lim _{n\rightarrow \infty }s_{ca,n}=c\lim _{n\rightarrow \infty }s_{a,n},}$極限が存在する場合。したがって、級数が総和可能であれば、その級数のゼロでないスカラー倍数も総和可能であり、その逆もまた然りです。つまり、級数が発散すれば、その級数のゼロでないスカラー倍数も発散します。

実数と複素数のスカラー乗算は、結合法則、交換法則、逆元法則を満たし、級数加算に対して分配法則が成り立つ。

要約すると、級数の加算とスカラー乗算によって、収束級数の集合と実数級数の集合は実ベクトル空間の構造を持つ。同様に、複素数級数と複素数収束級数に対しては複素ベクトル空間が得られる。これらのベクトル空間はすべて無限次元である。

2つの数列の乗算${\displaystyle a_{0}+a_{1}+a_{2}+\cdots }$そして${\displaystyle b_{0}+b_{1}+b_{2}+\cdots }$3番目のシリーズを生成する${\displaystyle c_{0}+c_{1}+c_{2}+\cdots }$コーシー積と呼ばれる^{[ 12 ] [ 13 ] [ 14 ] [ 36 ] [ 38 ]}は、総和記号で表すことができる。 $${\displaystyle {\biggl (}\sum _{k=0}^{\infty }a_{k}{\biggr )}\cdot {\biggl (}\sum _{k=0}^{\infty }b_{k}{\biggr )}=\sum _{k=0}^{\infty }c_{k}=\sum _{k=0}^{\infty }\sum _{j=0}^{k}a_{j}b_{k-j},}$$ それぞれ${\textstyle c_{k}=\sum _{j=0}^{k}a_{j}b_{k-j}={}\!}$${\displaystyle \!a_{0}b_{k}+a_{1}b_{k-1}+\cdots +a_{k-1}b_{1}+a_{k}b_{0}.}$ここでは、級数の部分和の収束${\displaystyle c_{0}+c_{1}+c_{2}+\cdots }$加算ほど簡単に確立できるものではない。しかし、両方の系列が${\displaystyle a_{0}+a_{1}+a_{2}+\cdots }$そして${\displaystyle b_{0}+b_{1}+b_{2}+\cdots }$が絶対収束級数である場合、それらを掛け合わせた級数も絶対収束し、その和は掛け合わせた級数の2つの和の積に等しくなります。^{[ 13 ] [ 36 ] [ 39 ]}$${\displaystyle \lim _{n\rightarrow \infty }s_{c,n}=\left(\,\lim _{n\rightarrow \infty }s_{a,n}\right)\cdot \left(\,\lim _{n\rightarrow \infty }s_{b,n}\right).}$$

絶対収束する実数および複素数の数列の乗算は、結合法則、交換法則を満たし、級数加算に対して分配法則が成り立ちます。級数加算と乗算を組み合わせると、絶対収束する実数または複素数の数列の集合は可換環の構造を持ち、スカラー乗算と組み合わせると可換代数の構造を持ちます。また、これらの演算は、すべての実数または複素数の数列の集合に結合代数の構造を与えます。

$${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{2}}}={\frac {1}{1^{2}}}+{\frac {1}{2^{2}}}+{\frac {1}{3^{2}}}+{\frac {1}{4^{2}}}+\cdots ={\frac {\pi ^{2}}{6}}}$$

$${\displaystyle 4\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{n+1}}{2n-1}}={\frac {4}{1}}-{\frac {4}{3}}+{\frac {4}{5}}-{\frac {4}{7}}+{\frac {4}{9}}-{\frac {4}{11}}+{\frac {4}{13}}-\cdots =\pi }$$

$${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{n+1}}{n}}=\ln 2}$$

$${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{2^{n}n}}=\ln 2}$$

$${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{n!}}=1-{\frac {1}{1!}}+{\frac {1}{2!}}-{\frac {1}{3!}}+\cdots ={\frac {1}{e}}}$$

$${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{n!}}={\frac {1}{0!}}+{\frac {1}{1!}}+{\frac {1}{2!}}+{\frac {1}{3!}}+{\frac {1}{4!}}+\cdots =e}$$

数列のすべての項が非負の実数である場合、例えば項が別の実数または複素数の数列の絶対値である場合、部分和の数列は非減少になります。したがって、非負の項を持つ数列は、部分和の数列が有界である場合に限り収束し、数列またはその項の絶対値の上限を見つけることは、数列の収束または絶対収束を証明する効果的な方法です。^{[ 48 ] [ 49 ] [ 47 ] [ 50 ]}

例えば、シリーズ${\textstyle 1+{\frac {1}{4}}+{\frac {1}{9}}+\cdots +{\frac {1}{n^{2}}}+\cdots \,}$収束し、絶対収束するのは${\textstyle {\frac {1}{n^{2}}}\leq {\frac {1}{n-1}}-{\frac {1}{n}}}$すべての人々のために${\displaystyle n\geq 2}$また、テレスコープ和の議論によれば、これらの非負の境界項の級数の部分和は、それ自体が2で上から抑えられる。^{[ 43 ]}この級数の正確な値は${\textstyle {\frac {1}{6}}\pi ^{2}}$バーゼル問題を参照。

この種の境界設定戦略は、一般的な系列比較テストの基礎となる。まず、一般的な直接比較テストがある。^{[ 51 ] [ 52 ] [ 47 ]}任意の系列について${\textstyle \sum a_{n}}$、 もし${\textstyle \sum b_{n}}$は絶対収束級数であり、${\displaystyle \left\vert a_{n}\right\vert \leq C\left\vert b_{n}\right\vert }$ある正の実数に対して${\displaystyle C}$十分に大きい場合${\displaystyle n}$、 それから${\textstyle \sum a_{n}}$絶対収束もします。${\textstyle \sum \left\vert b_{n}\right\vert }$分岐し、${\displaystyle \left\vert a_{n}\right\vert \geq \left\vert b_{n}\right\vert }$ 十分に大きいすべての${\displaystyle n}$、 それから${\textstyle \sum a_{n}}$また、絶対収束に失敗するが、例えば、条件付き収束する可能性はある。${\displaystyle a_{n}}$符号が交互に変わる。2番目は一般的な限界比較テストである：^{[ 53 ] [ 54 ]}もし${\textstyle \sum b_{n}}$は絶対収束級数であり、${\displaystyle \left\vert {\tfrac {a_{n+1}}{a_{n}}}\right\vert \leq \left\vert {\tfrac {b_{n+1}}{b_{n}}}\right\vert }$十分に大きい${\displaystyle n}$、 それから${\textstyle \sum a_{n}}$絶対収束もします。${\textstyle \sum \left|b_{n}\right|}$分岐し、${\displaystyle \left\vert {\tfrac {a_{n+1}}{a_{n}}}\right\vert \geq \left\vert {\tfrac {b_{n+1}}{b_{n}}}\right\vert }$十分に大きいすべての${\displaystyle n}$、 それから${\textstyle \sum a_{n}}$また、絶対収束に失敗するが、条件付き収束する可能性もある。${\displaystyle a_{n}}$符号が異なる。

特に幾何級数との比較を用いると、 ^{[ 20 ] [ 21 ]} 2 つの一般的な比較テストは、非負項を持つ級数の収束、または一般項を持つ級数の絶対収束に関する、さらに 2 つの一般的で一般的に有用なテストを示唆します。 1 つ目は比率テストです。^{[ 55 ] [ 56 ] [ 57 ]}定数が存在する場合${\displaystyle C<1}$そのため${\displaystyle \left\vert {\tfrac {a_{n+1}}{a_{n}}}\right\vert <C}$十分に大きいすべての ${\displaystyle n}$、 それから${\textstyle \sum a_{n}}$絶対収束する。比率が以下${\displaystyle 1}$ただし、定数より小さい値ではない。${\displaystyle 1}$収束は可能だが、このテストではそれが証明されない。2つ目は根テストである：^{[ 55 ] [ 58 ] [ 59 ]}定数が存在する場合${\displaystyle C<1}$そのため${\displaystyle \textstyle \left\vert a_{n}\right\vert ^{1/n}\leq C}$十分に大きいすべての ${\displaystyle n}$、 それから${\textstyle \sum a_{n}}$完全に収束する。

あるいは、積分の級数表現との比較を具体的に用いると、積分判定法が導かれる。^{[ 60 ] [ 61 ]}${\displaystyle f(x)}$区間上で定義された正の単調減少関数である。${\displaystyle [1,\infty )}$ 次に項を持つ数列の場合${\displaystyle a_{n}=f(n)}$すべての人々のために ${\displaystyle n}$、${\textstyle \sum a_{n}}$が収束するのは、積分が${\textstyle \int _{1}^{\infty }f(x)\,dx}$は有限である。級数の平坦化されたバージョンとの比較を用いると、コーシーの凝縮判定法が得られる。^{[ 29 ] [ 30 ]}項の列が${\displaystyle a_{n}}$が非負かつ非増加である場合、2 つの系列は${\textstyle \sum a_{n}}$そして${\textstyle \sum 2^{k}a_{(2^{k})}}$両方とも収束するか、両方とも発散するかのどちらかである。

実数または複素数の列は、収束するものの絶対収束しない場合、条件収束（または半収束）であると言われます。条件収束の判定方法は、絶対収束の判定方法とは異なります。

条件収束のテストの重要な例の1つは、交代級数テストまたはライプニッツテストです。^{[ 62 ] [ 63 ] [ 64 ]}次の形式の級数${\textstyle \sum (-1)^{n}a_{n}}$すべてと共に${\displaystyle a_{n}>0}$は交代数列と呼ばれます。このような数列は、非負数列が収束する場合に収束します。${\displaystyle a_{n}}$は単調減少であり、 ${\displaystyle 0}$逆は一般的には成り立たない。このテストの有名な応用例として、交代調和級数がある。$${\displaystyle \sum \limits _{n=1}^{\infty }{(-1)^{n+1} \over n}=1-{1 \over 2}+{1 \over 3}-{1 \over 4}+{1 \over 5}-\cdots ,}$$ これは交代級数判定法により収束し、その和は ${\displaystyle \ln 2}$）ただし、各項の絶対値を取って形成される級数は通常の調和級数であり、これは発散する。^{[ 65 ] [ 66 ]}

交代級数テストは、より一般的なディリクレのテストの特殊なケースと見なすことができる。^{[ 67 ] [ 68 ] [ 69 ]}${\displaystyle (a_{n})}$は、ゼロに収束する減少する非負の実数の項の数列であり、${\displaystyle (\lambda _{n})}$は部分和が制限された項の列であり、その級数は${\textstyle \sum \lambda _{n}a_{n}}$収束する。${\displaystyle \lambda _{n}=(-1)^{n}}$交代数列テストを復元する。

アーベルの判定法は、半収束級数を扱うためのもう一つの重要な手法である。 ^{[ 67 ] [ 29 ]}級数が次の形式である場合${\textstyle \sum a_{n}=\sum \lambda _{n}b_{n}}$ここで、項を含む級数の部分和${\displaystyle b_{n}}$、${\displaystyle s_{b,n}=b_{0}+\cdots +b_{n}}$制限されている、${\displaystyle \lambda _{n}}$変動範囲は限定されており、${\displaystyle \lim \lambda _{n}b_{n}}$存在する場合:${\textstyle \sup _{n}|s_{b,n}|<\infty ,}$${\textstyle \sum \left|\lambda _{n+1}-\lambda _{n}\right|<\infty ,}$そして${\displaystyle \lambda _{n}s_{b,n}}$収束すると、${\textstyle \sum a_{n}}$収束する。

特定の種類の級数に対するその他の特殊な収束テストには、フーリエ級数に対するディニテスト^{[ 70 ]}がある。

級数の打ち切り誤差の評価は、数値解析（特に検証済みの数値計算やコンピュータ支援による証明）において重要である。これは、収束の証明や収束速度の解析に利用できる。

冪級数とは、次の形式の級数である。

$${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }a_{n}(x-c)^{n}.}$$

テイラー級数のある時点で${\displaystyle c}$関数のべき級数は、多くの場合、関数の近傍で関数に収束します。${\displaystyle c}$例えば、シリーズ

$${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }{\frac {x^{n}}{n!}}}$$

テイラー級数は${\displaystyle e^{x}}$原点にあり、すべての に対して原点に収束する。${\displaystyle x}$⁠ .

収束するのは⁠のみである。${\displaystyle x=c}$このような級数は、点を中心とするある開円盤に収束する。${\displaystyle c}$複素平面上で、円盤の境界上のいくつかの点で収束することもある。この円盤の半径は収束半径と呼ばれ、原理的には係数の漸近挙動から決定できる。${\displaystyle a_{n}}$収束は、収束円盤の内部の閉じた有界（つまりコンパクトな）部分集合上で一様です。すなわち、コンパクト集合上で一様に収束します。

歴史的に見ると、レオンハルト・オイラーのような数学者は、無限級数が収束しない場合でも、それらを自由に扱っていた。しかし、19世紀に微積分学が確固たる正しい基礎の上に築かれると、級数の収束に関する厳密な証明が常に求められるようになった。

冪級数の多くの用法は和を指しますが、冪級数を形式的な和として扱うことも可能です。これは、実際には加算演算が行われず、記号「+」は加算に対応するとは必ずしも解釈されない抽象的な論理積記号であることを意味します。この場合、級数の収束ではなく、係数の列自体が重要になります。形式的な冪級数は、組み合わせ論において、例えば母関数法を用いるなど、そうでなければ扱いが難しい数列を記述および研究するために使用されます。ヒルベルト・ポアンカレ級数は、次数付き代数を研究するために使用される形式的な冪級数です。

べき級数の極限を考慮しない場合でも、項が適切な構造をサポートしていれば、記号「+」を加算に対応するものとして扱い、べき級数に対して加算、乗算、微分、原始関数などの演算を「形式的に」定義することが可能です。最も一般的な設定では、項は可換環から得られるため、形式的べき級数は項ごとに加算でき、コーシー積を介して乗算できます。この場合、形式的べき級数の代数は、基礎となる項環上の自然数のモノイドの全代数です。 ^{[ 76 ]}基礎となる項環が微分代数 である場合、形式的べき級数の代数も微分代数であり、微分は項ごとに実行されます。

ローラン級数は、正の指数だけでなく負の指数を持つ項も級数に含めることで、冪級数を一般化したものです。したがって、ローラン級数とは、次の形式の級数のことです。

$${\displaystyle \sum _{n=-\infty }^{\infty }a_{n}x^{n}.}$$

このような級数が収束する場合、一般に円盤状ではなく環状領域で収束し、場合によっては境界点でも収束する。級数は、収束する環状領域の内部のコンパクトな部分集合上で一様収束する。

ディリクレ級数は、

$${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{a_{n} \over n^{s}},}$$

どこで${\displaystyle s}$は複素数です。たとえば、すべての が の場合${\displaystyle a_{n}}$はに等しい${\displaystyle 1}$⁠、するとディリクレ級数の和はリーマンゼータ関数となる。

$${\displaystyle \zeta (s)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{s}}}.}$$

ゼータ関数と同様に、ディリクレ級数は一般的に解析的整数論において重要な役割を果たします。一般に、ディリクレ級数は、その実部が の場合に収束します。${\displaystyle s}$は収束の横座標と呼ばれる数よりも大きい。多くの場合、ディリクレ級数で定義される関数は解析関数であり、解析接続によって級数の収束領域外に拡張することができる。例えば、ゼータ関数のディリクレ級数は、 のときに絶対収束する。${\displaystyle \operatorname {Re} (s)>1}$しかし、ゼータ関数は、上で定義された正則関数に拡張することができる。${\displaystyle \mathbb {C} \setminus \{1\}}$シンプルなポールで ${\displaystyle 1}$⁠ .

この級数は、一般ディリクレ級数に直接一般化することができる。

項が三角関数である一連の関数を三角級数と呼ぶ。

$${\displaystyle A_{0}+\sum _{n=1}^{\infty }\left(A_{n}\cos nx+B_{n}\sin nx\right).}$$

三角級数の最も重要な例は、関数のフーリエ級数である。

漸近級数（一般に漸近展開と呼​​ばれる）は、項が異なる漸近次数列の関数であり、部分和が漸近極限における別の関数の近似値となる無限級数です。一般に収束しませんが、有限個の項に対してそれぞれが目的の解に近い値を与える近似値の列として有用です。これらは摂動論やアルゴリズム解析において重要なツールです。

漸近級数は、通常の収束関数級数のように、漸近極限から離れた領域で必ずしも望むような正確な解を導き出すとは限りません。実際、典型的な漸近級数は、有限個の項を扱った後に漸近極限から離れた領域で実用的な最良の近似値に達します。項数を増やすと、近似値の精度は低下します。

無限級数は、特にゼノンのパラドックスにおいて、古代ギリシアの運動哲学の現代的分析において重要な役割を果たしている。^{[ 77 ]}アキレスと亀のパラドックスは、連続運動には実際に無限の時間的瞬間が必要であることを示しており、これは明らかに不条理である。アキレスは亀を追いかけるが、レース開始時の亀の位置に到達したとき、亀は2番目の位置に到達している。アキレスがこの2番目の位置に到達したとき、亀は3番目の位置にあり、以下同様である。ゼノンは、したがってアキレスは決して亀に到達できず、したがって連続運動は錯覚に違いないと主張したと言われている。ゼノンはレースを無限に多くの部分レースに分割し、それぞれに有限の時間が必要であるため、アキレスが亀を捕まえるのにかかる合計時間は級数で与えられる。このパラドックスの純粋に数学的で想像力に富んだ側面の解決策は、級数は無限の項を持つものの、和は有限であり、アキレスが亀に追いつくのに必要な時間を与えるというものである。しかし、現代の運動哲学では、この問題の物理的な側面は未解決のままであり、哲学者と物理学者の両方が、ゼノンのように空間運動が無限に分割可能であることを疑っている。量子重力理論における量子力学と一般相対性理論の仮説的な調和は、しばしばプランクスケールでの時空の量子化を導入する。^{[ 78 ] [ 79 ]}

ギリシャの数学者アルキメデスは、今日でも微積分学の分野で使われている方法で、既知の限りでは最初の無限級数の総和を算出しました。彼は、無限級数の総和を用いて放物線の弧の下の面積を計算するために、攀除去法を用いました^{[ 5 ]} 。そして、 πの驚くほど正確な近似値を与えました^{[ 80 ] [ 81 ]}。

14世紀、フランスの数学者ニコル・オレームは調和級数の発散の最初の証明を開発した。^{[ 82 ]}彼の研究は、同時期にリチャード・スワインズヘッドが別の級数について行った研究とともに、数学において幾何級数以外の無限級数が初めて登場したことを示すものとなった。 ^{[ 83 ]}

中世インドのケーララ学派の数学者たちは、紀元1350年頃に無限級数を研究していた。彼らの最も重要な業績の一つ​​である三角関数の級数展開は、ニーラカンタによる『タントラサングラハ』（1500年頃）という書物の中でサンスクリット語の詩で記述されており、また、作者不明の『タントラサングラハ・ヴァーキャ』というこの著作の注釈書にも再び記述されている。定理は証明なしで述べられていたが、正弦、余弦、逆正接の級数の証明は、1世紀後にジェーシュタデーヴァによってマラヤーラム語で書かれた『ユクティバーサ』（ 1530年頃 ）という著作の中で、また『タントラサングラハ』の注釈書の中で提供された。^{[ 84 ] [ 85 ] [ 86 ]}

17世紀、ジェームズ・グレゴリーは新しい十進法で無限級数の研究を行い、いくつかのマクローリン級数を発表した。1715年、ブルック・テイラーは、テイラー級数が存在するすべての関数についてテイラー級数を構成する一般的な方法を提供した。18世紀、レオンハルト・オイラーは超幾何級数とq級数の理論を発展させた。

無限級数の妥当性の研究は、19世紀のガウスから始まったと考えられている。オイラーはすでに超幾何級数を考察していた。

$${\displaystyle 1+{\frac {\alpha \beta }{1\cdot \gamma }}x+{\frac {\alpha (\alpha +1)\beta (\beta +1)}{1\cdot 2\cdot \gamma (\gamma +1)}}x^{2}+\cdots }$$

これについて、ガウスは1812年に論文を発表した。この論文は、より単純な収束基準を確立し、剰余と収束範囲の問題を提起した。

コーシー（1821）は厳密な収束判定法を主張し、2つの級数が収束してもその積が必ずしも収束するとは限らないことを示し、彼によって有効な判定基準の発見が始まった。収束と発散という用語は、それよりずっと前にグレゴリー（1668）によって導入されていた。レオンハルト・オイラーとガウスは様々な判定基準を与え、コリン・マクローリンはコーシーの発見のいくつかを先取りしていた。コーシーは、複素関数をこのような形で展開することによって、冪級数の理論を発展させた。

アベル（1826年）は二項級数に関する回想録の中で

$${\displaystyle 1+{\frac {m}{1!}}x+{\frac {m(m-1)}{2!}}x^{2}+\cdots }$$

コーシーの結論の一部を修正し、複素数値に対する級数の完全な科学的要約を与えた。${\displaystyle m}$そして${\displaystyle x}$彼は、収束の問題において連続性という主題を考慮する必要性を示した。

コーシーの方法では一般的な基準ではなく特別な基準が導き出され、この主題について初めて詳細な調査を行ったラーベ（1832年）、対数テストが特定の領域内で失敗するとデュボワ＝レイモン（1873年）とプリングスハイム（1889年）によって示されたド・モルガン（1842年から）、ベルトラン（1842年）、ボネ （1843年）、マルムステン（1846年、1847年、後者は積分なし）、ストークス（1847年）、パウカー（1852年）、チェビシェフ（1852年）、アルント （1853年）についても同じことが言える。

一般基準はクンマー（1835年）に始まり、アイゼンシュタイン（1847年）、関数論への様々な貢献におけるワイエルシュトラス、ディニ（1867年）、デュボワ＝レイモン（1873年）など、多くの研究者によって研究されてきた。プリングスハイムの論文（1889年）は、最も包括的な一般理論を提示している。

一様収束の理論はコーシー（1821年）によって扱われ、その限界はアーベルによって指摘されたが、最初にこの理論をうまく解いたのはザイデルとストークス（1847～48年）であった。コーシーはアーベルの批判を認めつつ、この問題に再び取り組み（1853年）、ストークスが既に得ていたのと同じ結論に達した。トーマエはこの理論を用いた（1866年）が、関数論の要求にもかかわらず、一様収束と非一様収束を区別することの重要性を認識するのにかなりの時間がかかった。

級数は、収束するが絶対収束しない場合、半収束（または条件収束）であると言われる。

半収束級数はポアソン（1823年）によって研究され、彼はマクローリンの公式の剰余の一般形も示しました。しかし、この問題の最も重要な解決策はヤコビ（1834年）によるもので、彼は異なる観点から剰余の問題に取り組み、別の公式に到達しました。この式はマルムステン（1847年）によっても解明され、別の式も示されました。シュレーミルヒ（『ツァイトシュリフト』第1巻、192ページ、1856年）もヤコビの剰余を改良し、剰余とベルヌーイの関数 との関係を示しました。

$${\displaystyle F(x)=1^{n}+2^{n}+\cdots +(x-1)^{n}.}$$

ジェノッキ（1852）は、この理論にさらに貢献した。

初期の著述家の中にはヴロンスキーがおり、彼の「最高法規」（1815年）はケイリー（1873年）によって広く知られるようになるまで、ほとんど認知されていなかった。

フーリエ級数は、ガウス、アーベル、コーシーが無限級数の理論を研究していたのと同時期に、物理的な考察の結果として研究されていました。正弦と余弦、弧の正弦と余弦のべき乗による多重弧の展開級数は、 ヤコブ・ベルヌーイ（1702年）とその弟ヨハン・ベルヌーイ（1701年）によって扱われ、さらに以前にはヴィエタによって扱われていました。オイラーとラグランジュは、ポワンソ、シュレーター、グレイシャー、クンマーと同様に、この主題を簡略化しました。

フーリエ（1807）は、与えられた関数を展開するという別の問題を自らに課した。${\displaystyle x}$⁠の倍数の正弦または余弦に関して⁠${\displaystyle x}$⁠ 、これはフーリエが著書『熱の解析理論』 （1822年）で取り上げた問題である。オイラーはすでに級数の係数を決定する公式を与えていたが、フーリエは一般定理を主張し証明しようとした最初の人物である。ポアソン（1820～23年）も別の観点からこの問題に取り組んだ。しかし、フーリエは級数の収束の問題を解決せず、この問題はコーシー（1826年）が試み、ディリクレ（1829年）が徹底的に科学的に扱うことになった（フーリエ級数の収束を参照）。ディリクレの三角級数に関する扱い（クレレ、1829年）は、リーマン（1854年）、ハイネ、リプシッツ、シュレーフリ、 デュ・ボワ＝レイモンによって批判され、改良された。三角関数とフーリエ級数の理論に貢献した著名な人物には、ディニ、エルミート、ハルフェン、クラウス、バイアリー、アペルなどがいる。

家族を合計する場合${\displaystyle \left\{a_{i}:i\in I\right\}}$インデックス集合上の非負の実数${\displaystyle I}$、 定義する