反微分

微積分学では、関数fの原始関数、逆微分、原始関数、原始積分、または不定積分^{[注 1 ]}は、導関数が元の関数fに等しい微分可能な関数Fです。これは記号的にF' = fと表すことができます。^{[ 1 ] [ 2 ]}原始関数を求めるプロセスは逆微分（または不定積分）と呼ばれ、その反対の操作は微分と呼ばれ、導関数を求めるプロセスです。原始関数は、FやGなどのローマ字の大文字で表されることがよくあります。

原始関数は、微積分学の第二基本定理によって定積分と関連付けられています。すなわち、関数がリーマン積分可能な閉区間における関数の定積分は、その区間の両端で評価された原始関数の値の差に等しくなります。

物理学では、原始関数は直線運動の文脈で現れます（例えば、位置、速度、加速度の関係を説明するときなど）。^{[ 3 ]}原始関数の概念の離散的な等価物は、逆差分です。

機能${\displaystyle F(x)={\tfrac {x^{3}}{3}}}$は、${\displaystyle f(x)=x^{2}}$の導関数は${\displaystyle {\tfrac {x^{3}}{3}}}$は${\displaystyle x^{2}}$定数の導関数はゼロなので、${\displaystyle x^{2}}$無限個の原始関数を持つことになる。${\displaystyle {\tfrac {x^{3}}{3}},{\tfrac {x^{3}}{3}}+1,{\tfrac {x^{3}}{3}}-2}$など。したがって、のすべての反微分は${\displaystyle x^{2}}$Cの値を変更することで得られる${\displaystyle F(x)={\tfrac {x^{3}}{3}}+C}$ここで、Cは積分定数と呼ばれる任意の定数です。与えられた関数の原始関数のグラフは互いに垂直方向に平行移動したもので、各グラフの垂直方向の位置はCの値 によって決まります。

より一般的には、べき関数${\displaystyle f(x)=x^{n}}$アンチデリバティブを持つ${\displaystyle F(x)={\tfrac {x^{n+1}}{n+1}}+C}$n ≠ − 1 の場合、${\displaystyle F(x)=\ln |x|+C}$n = − 1 の場合。

物理学では、加速度の積分は速度と定数項を合わせたものになります。定数項は、速度の微分を取ると失われる初期速度項です。定数項の微分はゼロになるからです。この同じパターンは、運動（位置、速度、加速度など）のさらなる積分と微分にも適用されます。^{[ 3 ]}したがって、積分によって加速度、速度、変位の関係が得られます。 $${\displaystyle {\begin{aligned}\int a\,dt&=v+v_{0}\\\int v\,dt&=s+s_{0}\end{aligned}}}$$

原始関数は、微積分学の基本定理を用いて定積分を計算するために使用できます。Fが区間上の連続関数fの原始関数である場合、${\displaystyle [a,b]}$、 それから： $${\displaystyle \int _{a}^{b}f(x)\,dx=F(b)-F(a).}$$

このため、与えられた関数fの無限に存在する原始関数はそれぞれ、 fの「不定積分」と呼ばれ、積分記号を用いて範囲なしで表すことができます。 $${\displaystyle \int f(x)\,dx.}$$

Fがfの原始関数であり、関数f がある区間で定義されている場合、 fの他のすべての原始関数G は定数だけFと異なる。つまり、ある数cが存在して、${\displaystyle G(x)=F(x)+c}$すべてのxに対してcは積分定数と呼ばれます。Fの定義域が2 つ以上の（開）区間の互いに素な和集合である場合、各区間に対して異なる積分定数を選択できます。たとえば、 $${\displaystyle F(x)={\begin{cases}-{\dfrac {1}{x}}+c_{1}&x<0\\[1ex]-{\dfrac {1}{x}}+c_{2}&x>0\end{cases}}}$$

は、の最も一般的な反微分である。${\displaystyle f(x)=1/x^{2}}$その自然領域において${\displaystyle (-\infty ,0)\cup (0,\infty ).}$

すべての連続関数fには原始関数が存在し、その原始関数Fは、可変上限を持つ fの定積分によって与えられる。$${\displaystyle F(x)=\int _{a}^{x}f(t)\,dt~,}$$fの定義域内の任意のa に対して、 が成り立つ。下限値を変化させると他の原始関数が得られるが、必ずしもすべての可能な原始関数が得られるとは限らない。これは微積分学の基本定理の別の定式化である。

原始関数の中には、原始関数が存在するにもかかわらず、原始関数で表現できないものが数多くあります。原始関数とは、多項式、指数関数、対数関数、三角関数、逆三角関数、およびそれらの合成と線形結合による組み合わせのことです。これらの非原始積分の例は次のとおりです。

より詳細な議論については、微分ガロア理論も参照してください。

初等関数の原始関数を求めることは、導関数を求めることよりもはるかに難しい場合が多い（実際、不定積分を計算するためのあらかじめ定義された方法は存在しない）。^{[ 4 ]}一部の初等関数については、他の初等関数を用いて原始関数を求めることは不可能である。詳細については、「初等関数と非初等積分」を参照のこと。

反微分を見つけるための特性や手法は数多く存在する。これらには、とりわけ以下のようなものがある。

• 積分の線形性（複雑な積分をより単純な積分に分解する）
• 置換積分は、三角関数の恒等式や自然対数と組み合わせて用いられることが多い。
• 逆連鎖律法（置換積分法の特殊な場合）
• 部分積分（関数の積を積分する）
• 逆関数の積分（可逆かつ連続な関数fの逆関数f ⁻¹の原始関数をf ⁻¹とfの原始関数を用いて表す公式）。
• 部分分数分解法による積分法（これにより、すべての有理関数、すなわち2つの多項式の分数を積分することができる）
• リッシュアルゴリズム
• 多重積分のための追加的な手法（例えば、二重積分、極座標、ヤコビアン、ストークスの定理を参照）
• 数値積分（ exp(− x ² )のように、基本原始関数が存在しない場合に定積分を近似する手法）
• 被積分関数の代数的操作（置換積分などの他の積分手法を使用できるようにするため）
• コーシーの繰り返し積分公式（関数のn回積分を計算するための公式）$$\displaystyle \int _{x_{0}}^{x}\int _{x_{0}}^{x_{1}}\cdots \int _{x_{0}}^{x_{n-1}}f(x_{n})\,dx_{n}\cdots \,dx_{2}\,dx_{1}=\int _{x_{0}}^{x}f(t){\frac {(xt)^{n-1}}{(n-1)!}}\,dt.}$$

コンピュータ代数システムを使用すると、上記の記号的手法に伴う作業の一部または全部を自動化できます。これは、関連する代数操作が非常に複雑または長い場合に特に役立ちます。既に導出された積分は、積分表で調べることができます。

非連続関数は原始関数を持つ可能性がある。この分野にはまだ未解決の問題が残っているが、以下のことが知られている。

• 多数の不連続点を持つような、極めて病的な関数であっても、反微分値を持つ場合がある。
• 場合によっては、このような異常な関数の原始関数はリーマン積分によって求められることがあるが、他の場合には、これらの関数はリーマン積分可能ではない。

関数の定義域が開区間であると仮定します。

• 関数fが原始関数を持つための必要条件ではあるが十分条件ではないのは、 f が中間値の性質を持つことである。つまり、[ a , b ]がfの定義域の部分区間であり、y がf ( a )とf ( b )の間の任意の実数である場合、 aとbの間にf ( c ) = yとなるcが存在する。これはダルブーの定理の結果である。
• 関数fの不連続点の集合は、乏しい集合でなければならない。この集合はF-σ集合でもある必要がある（任意の関数の不連続点の集合はこのタイプでなければならないため）。さらに、任意の乏しい F-σ 集合に対して、与えられた集合を不連続点の集合とする原始関数fを構成することができる。
• 関数fが原始関数を持ち、定義域の閉有限部分区間で有界であり、ルベーグ測度0 の不連続点の集合を持つ場合、ルベーグの意味での積分によって原始関数を求めることができます。実際、ヘンストック・クルツヴァイル積分のようなより強力な積分を用いると、原始関数が存在するすべての関数は積分可能であり、その一般積分は原始関数と一致します。
• 閉区間上でfが原始関数Fを持つ場合${\displaystyle [a,b]}$すると、任意のパーティションの選択に対して${\displaystyle a=x_{0}<x_{1}<x_{2}<\dots <x_{n}=b,}$サンプルポイントを選択する場合${\displaystyle x_{i}^{*}\in [x_{i-1},x_{i}]}$平均値の定理で規定されているように、対応するリーマン和は値に縮退する。${\displaystyle F(b)-F(a)}$。$${\displaystyle {\begin{aligned}\sum _{i=1}^{n}f(x_{i}^{*})(x_{i}-x_{i-1})&=\sum _{i=1}^{n}[F(x_{i})-F(x_{i-1})]\\&=F(x_{n})-F(x_{0})=F(b)-F(a)\end{aligned}}}$$しかし、fが非有界である場合、またはfが有界であってもfの不連続点の集合が正のルベーグ測度を持つ場合、サンプル点の選択方法が異なる${\displaystyle x_{i}^{*}}$分割の細かさに関わらず、リーマン和の値が大きく異なる場合がある。以下の例4を参照のこと。

• もし${\displaystyle {\frac {d}{dx}}f(x)=g(x)}$、 それから${\displaystyle \int g(x)dx=f(x)+C}$。
• ${\displaystyle \int 1dx=x+C}$
• ${\displaystyle \int a\ dx=ax+C}$
• ${\displaystyle \int x^{n}\ dx={\frac {x^{n+1}}{n+1}}+C;\ n\neq -1}$
• ${\displaystyle \int \sin {x}\ dx=-\cos {x}+C}$
• ${\displaystyle \int \cos {x}\ dx=\sin {x}+C}$
• ${\displaystyle \int \sec ^{2}{x}\ dx=\tan {x}+C}$
• ${\displaystyle \int \csc ^{2}{x}\ dx=-\cot {x}+C}$
• ${\displaystyle \int \sec {x}\tan {x}\ dx=\sec {x}+C}$
• ${\displaystyle \int \csc {x}\cot {x}\ dx=-\csc {x}+C}$
• ${\displaystyle \int {\frac {dx}{x}}=\ln |x|+C}$
• ${\displaystyle \int e^{x}\ dx=e^{x}+C}$
• ${\displaystyle \int a^{x}\ dx={\frac {a^{x}}{\ln a}}+C;\ a>0,\ a\neq 1}$
• ${\displaystyle \int {\frac {1}{\sqrt {a^{2}-x^{2}}}}\ dx=\arcsin \left({\frac {x}{a}}\right)+C}$
• ${\displaystyle \int {\frac {1}{a^{2}+x^{2}}}\ dx={\frac {1}{a}}\arctan \left({\frac {x}{a}}\right)+C}$

• 原始関数（複素解析）
• 形式的アンチデリバティブ
• ジャクソンインテグラル
• 積分の一覧
• 記号統合
• エリア

• カール・R・ストロンバーグ著『古典実解析入門』、ワズワース社、1981年（参照）
• デイブ・L・レンフロによる、デリバティブの連続性に関する歴史的エッセイ

• Wolfram Integrator — Mathematicaを使用した無料のオンライン記号積分ツール
• WIMSの関数計算機
• HyperPhysicsのIntegral
• カーンアカデミーの不定積分と原始関数
• Symbolabの積分計算機
• MITにおける反微分
• SparkNotesの積分入門
• ハービー・マッド大学における反微分法