シェル統合

シェル積分（積分計算におけるシェル法）は、回転軸に垂直な軸に沿って積分することで、回転体の体積を計算する方法です。これは、回転軸に平行な軸に沿って積分する円盤積分とは対照的です。

シェル法は次のようになります。xy平面上の断面をy軸を中心に回転させて得られる3次元の体積を考えます。断面が区間[ a , b ]上の正値関数f ( x )のグラフで定義されているとします。すると、体積の式は次のようになります。

${\displaystyle 2\pi \int _{a}^{b}xf(x)\,dx}$

関数がy座標に関するもので、回転軸がx軸である場合、式は次のようになります。

${\displaystyle 2\pi \int _{a}^{b}yf(y)\,dy}$

関数が直線x = hの周りを回転する場合、式は次のようになります。^{[ 1 ]}

${\displaystyle {\begin{cases}\displaystyle 2\pi \int _{a}^{b}(xh)f(x)\,dx,&{\text{if}}\ h\leq a<b\\\displaystyle 2\pi \int _{a}^{b}(hx)f(x)\,dx,&{\text{if}}\ a<b\leq h,\end{cases}}}$

そしてy = kを中心とした回転では次のようになる

${\displaystyle {\begin{cases}\displaystyle 2\pi \int _{a}^{b}(yk)f(y)\,dy,&{\text{if}}\ k\leq a<b\\\displaystyle 2\pi \int _{a}^{b}(ky)f(y)\,dy,&{\text{if}}\ a<b\leq k.\end{cases}}}$

この式は、極座標における二重積分を計算することによって導き出される。

下図に示す体積を考えます。区間[1, 2]における断面は次のように定義されます。

$y=8(x-1)^{2}(x-2)^{2}}$

断面

3Dボリューム

シェル方式では、単純に次の式を使用します。

${\displaystyle V=16\pi \int _{1}^{2}x((x-1)^{2}(x-2)^{2})\,dx}$

多項式を展開すると、積分は簡単に実行でき、8 / 10となります。${\displaystyle \pi }$立方単位。

• 革命の固体
• ディスク統合

• ワイススタイン、エリック・W. 「シェル法」 . MathWorld .
• フランク・エアーズ、エリオット・メンデルソン。『シャウムズ・アウトラインズ：微積分』マグロウヒル・プロフェッショナル、2008年、ISBN 978-0-07-150861-2244～248ページ （オンライン版、244ページ、Googleブックス）