2階微分

微積分学において、関数fの2 階微分、または2 階導関数は、fの導関数の導関数です。非公式には、2 階微分は「変化率の変化率」と表現できます。例えば、物体の位置の時間に関する 2 階微分は、物体の瞬間加速度、つまり物体の速度が時間に対して変化する割合です。ライプニッツ記法では次のようになります。 $${\displaystyle a={\frac {dv}{dt}}={\frac {d^{2}x}{dt^{2}}},}$$ ここで、 aは加速度、vは速度、tは時間、xは位置、dは瞬間的な「デルタ」または変化量です。最後の式${\displaystyle {\tfrac {d^{2}x}{dt^{2}}}}$これは、位置 ( x ) の時間に関する2 階微分です。

関数のグラフにおいて、2階微分の符号はグラフの凹凸と関連しています。2階微分が正の関数のグラフは上に凸の形状となり、2階微分が負の関数のグラフは反対方向に凸の形状となります。

1階微分に対するべき乗則を2回適用すると、2階微分に対するべき乗則は次のようになります。 $${\displaystyle {\frac {d^{2}}{dx^{2}}}x^{n}={\frac {d}{dx}}{\frac {d}{dx}}x^{n}={\frac {d}{dx}}\left(nx^{n-1}\right)=n{\frac {d}{dx}}x^{n-1}=n(n-1)x^{n-2}.}$$

関数の2階微分${\displaystyle f(x)}$通常は次のように表記されます${\displaystyle f''(x)}$[ ^{1 ]}つまり ^：$${\displaystyle f''=\left(f'\right)'}$$ライプニッツの微分記号 を用いる場合、従属変数yの独立変数xに関する2 階微分は次のように表される。 $$\displaystyle {\frac {d^{2}y}{dx^{2}}}.}$$ この表記法は、以下の式から導き出されます。 $$\displaystyle {\frac {d^{2}y}{dx^{2}}}\,=\,{\frac {d}{dx}}\left({\frac {dy}{dx}}\right).}$$

関数が与えられた場合 $${\displaystyle f(x)=x^{3},}$$f の導関数は関数です $${\displaystyle f'(x)=3x^{2}.}$$f の 2 階微分は、${\displaystyle f'}$すなわち $${\displaystyle f''(x)=6x.}$$

2階微分に対して、 単一の極限式を記述することが可能です。$${\displaystyle f''(x)=\lim _{h\to 0}{\frac {f(x+h)-2f(x)+f(xh)}{h^{2}}}.}$$

この極限は、2次対称微分と呼ばれます。^{[ 2 ] [ 3 ]}通常の2次微分が存在しない場合でも、2次対称微分が存在する場合があります。

右側の式は、差分商の差分商として表すことができます。 $${\displaystyle {\frac {f(x+h)-2f(x)+f(xh)}{h^{2}}}={\frac {{\dfrac {f(x+h)-f(x)}{h}}-{\dfrac {f(x)-f(xh)}{h}}}{h}}.}$$この極限は、数列の2階差分 の連続版と見なすことができる。

しかし、上記の限界が存在するということは、関数が${\displaystyle f}$は2階微分を持つ。上記の極限は2階微分を計算する可能性を示すだけで、定義を与えるものではない。反例として符号関数がある。${\displaystyle \operatorname {sgn}(x)}$これは次のように定義されます。 $${\displaystyle \operatorname {sgn}(x)={\begin{cases}-1&{\text{if }}x<0,\\0&{\text{if }}x=0,\\1&{\text{if }}x>0.\end{cases}}}$$

符号関数はゼロで連続ではないため、${\displaystyle x=0}$は存在しません。しかし、上記の制限は存在します。${\displaystyle x=0}$: $${\displaystyle {\begin{aligned}\lim _{h\to 0}{\frac {\operatorname {sgn}(0+h)-2\operatorname {sgn}(0)+\operatorname {sgn}(0-h)}{h^{2}}}&=\lim _{h\to 0}{\frac {\operatorname {sgn}(h)-2\cdot 0+\operatorname {sgn}(-h)}{h^{2}}}\\&=\lim _{h\to 0}{\frac {\operatorname {sgn}(h)+(-\operatorname {sgn}(h))}{h^{2}}}=\lim _{h\to 0}{\frac {0}{h^{2}}}=0.\end{aligned}}}$$

一次導関数が線形近似と関連しているのと同様に、二次導関数は関数fの最適な二次近似と関連しています。これは、ある点における一次導関数と二次導関数がfのそれらと同じである二次関数です。点x = aの周りでの関数fの最適な二次近似の式は次のとおりです。 $${\displaystyle f(x)\approx f(a)+f'(a)(xa)+{\tfrac {1}{2}}f''(a)(xa)^{2}.}$$この二次近似は、 x = aを中心とする関数の 2 次テイラー多項式です。

境界条件の多くの組み合わせに対して、2階微分の固有値と固有ベクトルの明示的な式が得られます。たとえば、${\displaystyle x\in [0,L]}$および同次ディリクレ境界条件（すなわち、${\displaystyle v(0)=v(L)=0}$ここで、vは固有ベクトルであり、固有値は次のようになる。${\displaystyle \lambda _{j}=-{\tfrac {j^{2}\pi ^{2}}{L^{2}}}}$そして対応する固有ベクトル（固有関数とも呼ばれる）は${\displaystyle v_{j}(x)={\sqrt {\tfrac {2}{L}}}\sin \left({\tfrac {j\pi x}{L}}\right)}$。ここ、${\displaystyle v''_{j}(x)=\lambda _{j}v_{j}(x)}$、のために${\displaystyle j=1,\ldots ,\infty }$。

その他のよく知られた事例については、「2階微分の固有値と固有ベクトル」を参照してください。

• 陽気さ、瞬間位相の2階微分
• 有限差分法は、2階微分を近似するために使用される。
• 第2偏微分判定法
• 2階微分の対称性

• 不均等間隔の点からの離散的な2階微分