有理関数

数学において、有理関数とは、分子と分母がともに多項式である代数分数である有理分数によって定義できる関数のことである。多項式の係数は有理数である必要はなく、任意の体Kから取ることができる。この場合、K 上の有理関数および有理分数という。変数の値は、Kを含む任意の体Lから取ることができる。このとき、関数の定義域は分母がゼロでない変数の値の集合であり、終域はLである。

体K上の有理関数の集合は体であり、体K上の多項式関数の環の分数の体である。

関数${\displaystyle f}$^{が[ 1 ]}の形式で書ける場合、それは有理関数と呼ばれます。

${\displaystyle f(x)={\frac {P(x)}{Q(x)}}}$

どこ${\displaystyle P}$そして${\displaystyle Q}$は多項式関数である${\displaystyle x}$そして${\displaystyle Q}$はゼロ関数ではありません。の定義域は${\displaystyle f}$は、すべての値の集合です。${\displaystyle x}$分母が${\displaystyle Q(x)}$ゼロではない。

しかし、もし${\displaystyle \textstyle P}$そして${\displaystyle \textstyle Q}$定数でない多項式の最大公約数を持つ${\displaystyle \textstyle R}$設定${\displaystyle \textstyle P=P_{1}R}$そして${\displaystyle \textstyle Q=Q_{1}R}$有理関数を生成する

${\displaystyle f_{1}(x)={\frac {P_{1}(x)}{Q_{1}(x)}},}$

より広い領域を持つ可能性がある${\displaystyle f}$、そして、${\displaystyle f}$の領域において${\displaystyle f.}$識別するための一般的な使用法${\displaystyle f}$そして${\displaystyle f_{1}}$つまり、「連続性によって」領域を拡張する${\displaystyle f}$の${\displaystyle f_{1}.}$実際、有理分数は、2 つの分数が多項式の分数の同値類として定義できます。${\displaystyle \textstyle {\frac {A(x)}{B(x)}}}$そして${\displaystyle \textstyle {\frac {C(x)}{D(x)}}}$同等とみなされるのは、${\displaystyle A(x)D(x)=B(x)C(x)}$。 この場合${\displaystyle \textstyle {\frac {P(x)}{Q(x)}}}$と同等${\displaystyle \textstyle {\frac {P_{1}(x)}{Q_{1}(x)}}.}$

適切な有理関数とは、${\displaystyle P(x)}$度よりも小さい${\displaystyle Q(x)}$どちらも実数多項式であり、真分数との類推により、${\displaystyle \mathbb {Q} .}$^{[ 2 ]}

有理関数の例

次数3の有理関数と、次数3のグラフ ：${\displaystyle y={\frac {x^{3}-2x}{2(x^{2}-5)}}}$

次数2の有理関数で、グラフの次数は3 である。${\displaystyle y={\frac {x^{2}-3x-2}{x^{2}-4}}}$

有理関数

${\displaystyle f(x)={\frac {x^{3}-2x}{2(x^{2}-5)}}}$

定義されていません

${\displaystyle x^{2}=5\Leftrightarrow x=\pm {\sqrt {5}}.}$

漸近的に${\displaystyle {\tfrac {x}{2}}}$として${\displaystyle x\to \infty .}$

有理関数

${\displaystyle f(x)={\frac {x^{2}+2}{x^{2}+1}}}$

はすべての実数に対して定義されますが、すべての複素数に対して定義されるわけではありません。なぜなら、x がの平方根である場合、${\displaystyle -1}$（つまり、虚数単位またはその負の値）の場合、形式的な評価ではゼロ除算が発生します。

${\displaystyle f(i)={\frac {i^{2}+2}{i^{2}+1}}={\frac {-1+2}{-1+1}}={\frac {1}{0}},}$

これは未定義です。

f ( x ) = πのような定数関数は、定数が多項式であるため、有理関数です。f( x )の値はすべてのxに対して無理数ですが、関数自体は有理関数です。

すべての多項式関数${\displaystyle f(x)=P(x)}$は有理関数であり、${\displaystyle Q(x)=1.}$この形式では記述できない関数、例えば${\displaystyle f(x)=\sin(x),}$これは有理関数ではありません。ただし、「無理数」という形容詞は一般的に関数には使われません。

すべてのローラン多項式は有理関数として表すことができるが、その逆は必ずしも真ではない。つまり、ローラン多項式の環は有理関数の部分環である。

有理関数${\displaystyle f(x)={\tfrac {x}{x}}}$は、除去可能な特異点が存在する 0 を除くすべてのxに対して 1 に等しくなります。 2 つの有理関数の和、積、または商 (ゼロ多項式による除算を除く) は、それ自体が有理関数です。 ただし、標準形への還元プロセスでは、注意しないと、このような特異点が意図せず除去される可能性があります。 有理関数を同値類として定義すると、x / x が1/1 と等価であるため、この問題を回避できます。

任意の有理関数のテイラー級数の係数は線形漸化式を満たし、これは有理関数を不定係数のテイラー級数に等しくし、分母を消去した後に同類項をまとめることによって求めることができる。

例えば、

${\displaystyle {\frac {1}{x^{2}-x+2}}=\sum _{k=0}^{\infty }a_{k}x^{k}.}$

分母を掛けて分配すると、

${\displaystyle 1=(x^{2}-x+2)\sum _{k=0}^{\infty }a_{k}x^{k}}$

${\displaystyle 1=\sum _{k=0}^{\infty }a_{k}x^{k+2}-\sum _{k=0}^{\infty }a_{k}x^{k+1}+2\sum _{k=0}^{\infty }a_{k}x^{k}。}$

和のインデックスを調整してxの同じべき乗を得ると、次のようになります。

${\displaystyle 1=\sum _{k=2}^{\infty }a_{k-2}x^{k}-\sum _{k=1}^{\infty }a_{k-1}x^{k}+2\sum _{k=0}^{\infty }a_{k}x^{k}。}$

同類項をまとめると

${\displaystyle 1=2a_{0}+(2a_{1}-a_{0})x+\sum _{k=2}^{\infty }(a_{k-2}-a_{k-1}+2a_{k})x^{k}.}$

これは元のテイラー級数の収束半径内のすべてのxに対して成り立つので、次のように計算できます。左辺の定数項は右辺の定数項と等しくなければならないので、次のようになります。

${\displaystyle a_{0}={\frac {1}{2}}.}$

すると、左辺にxのべき乗がないので、右辺の係数はすべてゼロでなければならず、これから次のことが導かれる。

${\displaystyle a_{1}={\frac {1}{4}}}$

${\displaystyle a_{k}={\frac {1}{2}}(a_{k-1}-a_{k-2})\quad {\text{for}}\ k\geq 2.}$

逆に、線形漸化式を満たす任意の数列は、テイラー級数の係数として使用した場合、有理関数を決定します。これは、部分分数分解を使用することで、任意の適切な有理関数を1 / ( ax + b )の形の因数の和として書き、これらを等比級数として展開してテイラー係数の明示的な式を与えることができるため、このような漸化式を解くのに役立ちます。これが生成関数法です。

抽象代数学では、多項式の概念は、多項式の係数が任意の体から取られる形式的な表現を含むように拡張されます。この設定では、ある体が与えられた場合、${\displaystyle F}$そしていくつかの不確定な${\displaystyle X}$有理式（有理分数、または代数幾何学では有理関数とも呼ばれる）は、多項式環の分数体の任意の要素である。${\displaystyle F[X]}$任意の有理式は、2つの多項式の商として表すことができる。${\displaystyle P/Q}$と${\displaystyle Q\neq 0}$ただし、この表現方法は唯一無二のものではない。${\displaystyle P/Q}$と同等${\displaystyle R/S}$多項式の場合${\displaystyle P}$、${\displaystyle Q}$、${\displaystyle R}$、 そして${\displaystyle S}$、 いつ${\displaystyle PS=QR}$しかし、${\displaystyle F[X]}$は一意の因数分解領域であり、任意の有理式に対して一意の表現が存在する。${\displaystyle P/Q}$と${\displaystyle P}$そして${\displaystyle Q}$最低次数の多項式と${\displaystyle Q}$単項式となるように選ばれています。これは、整数の分数が共通因数を約分することで常に一意に既約分数で表せるのと似ています。

有理式の領域は次のように表される。${\displaystyle F(X)}$このフィールドは、(フィールドとして) 上に生成されると言われています。${\displaystyle F}$（超越的な要素によって）${\displaystyle X}$、 なぜなら${\displaystyle F(X)}$両方を含む適切なサブフィールドは含まれていません${\displaystyle F}$そしてその要素${\displaystyle X}$。

有理関数は、数値解析において関数の補間や近似に用いられます。例えば、アンリ・パデによって導入されたパデ近似などが挙げられます。有理関数による近似は、数式処理システムやその他の数値計算ソフトウェアに適しています。多項式と同様に、有理関数は容易に計算でき、同時に多項式よりも多様な挙動を表現できます。

有理関数は、物理学における場と力、分析化学における分光法、生化学における酵素反応速度論、電子回路、空気力学、生体内における薬剤濃度、原子や分子の波動関数、画像解像度を向上させるための光学や写真、音響学や音など、科学や工学におけるより複雑な方程式を近似またはモデル化するために使用されます。

信号処理において、無限のインパルス応答を持つ一般的に使用される線形時不変システム（フィルタ）のインパルス応答のラプラス変換（連続システムの場合）またはz変換（離散時間システムの場合）は、複素数上の有理関数である。

• 部分分数分解
• 積分における部分分数分解
• 代数多様体の関数体
• 代数分数―整数根を取ることができる有理関数の一般化 

• 「有理関数」、数学百科事典、EMS Press、2001年 [1994年]
• Press, WH; Teukolsky, SA; Vetterling, WT; Flannery, BP (2007)、「第3.4節 有理関数の補間と外挿」、Numerical Recipes: The Art of Scientific Computing (第3 版)、Cambridge University Press、ISBN 978-0-521-88068-8

• JSXGraphによる有理関数の動的な可視化