ライプニッツの一般原則

微積分学において、ゴットフリート・ヴィルヘルム・ライプニッツにちなんで名付けられた一般ライプニッツの法則^{[ 1 ]}は、 2つの関数の積の導関数に関する積の法則（「ライプニッツの法則」としても知られている）を一般化したものである。この法則は、もし${\displaystyle f}$そして${\displaystyle g}$n回微分可能な関数である場合、積${\displaystyle fg}$はn回微分可能であり、そのn階導関数は次のように与えられる。 $${\displaystyle (fg)^{(n)}=\sum _{k=0}^{n}{n \choose k}f^{(n-k)}g^{(k)},}$$ どこ${\displaystyle {n \choose k}={n! \over k!(n-k)!}}$は二項係数であり、${\displaystyle f^{(j)}}$fのj階微分を表す(特に${\displaystyle f^{(0)}=f}$)

この法則は、積の法則と数学的帰納法を用いて証明できる。

例えば、n = 2 の場合、この規則は2つの関数の積の2階微分を表す式を与える。 $${\displaystyle (fg)''(x)=\sum \limits _{k=0}^{2}{{\binom {2}{k}}f^{(2-k)}(x)g^{(k)}(x)}=f''(x)g(x)+2f'(x)g'(x)+f(x)g''(x).}$$

この公式は、 m 個の微分可能な関数f ₁ ,..., f _mの積に一般化できます。 $${\displaystyle \left(f_{1}f_{2}\cdots f_{m}\right)^{(n)}=\sum _{k_{1}+k_{2}+\cdots +k_{m}=n}{n \choose k_{1},k_{2},\ldots ,k_{m}}\prod _{1\leq t\leq m}f_{t}^{(k_{t})}\,,}$$ ここで、和は、すべてのm組 ( k ₁ ,..., k _m ) の非負整数に及ぶ。${\textstyle \sum _{t=1}^{m}k_{t}=n,}$そして $${\displaystyle {n \choose k_{1},k_{2},\ldots ,k_{m}}={\frac {n!}{k_{1}!\,k_{2}!\cdots k_{m}!}}}$$ は多項係数です。これは代数学における多項式の公式に似ています。

^{一般的なライプニッツの法則[ 2 ]}の証明は^帰納法によって行われる。${\displaystyle f}$そして${\displaystyle g}$なれ${\displaystyle n}$－回微分可能な関数。基本ケースは、${\displaystyle n=1}$次のように主張している。 $${\displaystyle (fg)'=f'g+fg',}$$ これは通常の積の法則であり、真であることが知られています。次に、固定された値に対してこの記述が成り立つと仮定します。${\displaystyle n\geq 1,}$つまり、 $${\displaystyle (fg)^{(n)}=\sum _{k=0}^{n}{\binom {n}{k}}f^{(n-k)}g^{(k)}.}$$

それから、 $${\displaystyle {\begin{aligned}(fg)^{(n+1)}&=\left[\sum _{k=0}^{n}{\binom {n}{k}}f^{(n-k)}g^{(k)}\right]'\\&=\sum _{k=0}^{n}{\binom {n}{k}}f^{(n+1-k)}g^{(k)}+\sum _{k=0}^{n}{\binom {n}{k}}f^{(n-k)}g^{(k+1)}\\&=\sum _{k=0}^{n}{\binom {n}{k}}f^{(n+1-k)}g^{(k)}+\sum _{k=1}^{n+1}{\binom {n}{k-1}}f^{(n+1-k)}g^{(k)}\\&={\binom {n}{0}}f^{(n+1)}g^{(0)}+\sum _{k=1}^{n}{\binom {n}{k}}f^{(n+1-k)}g^{(k)}+\sum _{k=1}^{n}{\binom {n}{k-1}}f^{(n+1-k)}g^{(k)}+{\binom {n}{n}}f^{(0)}g^{(n+1)}\\&={\binom {n+1}{0}}f^{(n+1)}g^{(0)}+\left(\sum _{k=1}^{n}\left[{\binom {n}{k-1}}+{\binom {n}{k}}\right]f^{(n+1-k)}g^{(k)}\right)+{\binom {n+1}{n+1}}f^{(0)}g^{(n+1)}\\&={\binom {n+1}{0}}f^{(n+1)}g^{(0)}+\sum _{k=1}^{n}{\binom {n+1}{k}}f^{(n+1-k)}g^{(k)}+{\binom {n+1}{n+1}}f^{(0)}g^{(n+1)}\\&=\sum _{k=0}^{n+1}{\binom {n+1}{k}}f^{(n+1-k)}g^{(k)}.\end{aligned}}}$$ したがって、次の記述は成り立ちます。${\displaystyle n+1}$証明は完了した。

ライプニッツの法則は二項定理と非常によく似ており、実際、二項定理はライプニッツの法則から直接証明することができる。${\displaystyle f(x)=e^{ax}}$そして${\displaystyle g(x)=e^{bx},}$これにより

${\displaystyle (a+b)^{n}e^{(a+b)x}=e^{(a+b)x}\sum _{k=0}^{n}{\binom {n}{k}}a^{n-k}b^{k},}$

そして両辺を${\displaystyle e^{(a+b)x}.}$^{[ 2 ]： 69}

多変数関数の偏微分を表す多重添え字表記を用いると、ライプニッツの法則はより一般的に次のように表される。 $${\displaystyle \partial ^{\alpha }(fg)=\sum _{\beta \,:\,\beta \leq \alpha }{\alpha \choose \beta }(\partial ^{\beta }f)(\partial ^{\alpha -\beta }g).}$$

この式は、微分演算子の合成の記号を計算する式を導出するために使用できます。実際、PとQを微分演算子 (係数が十分に微分可能である) とし、${\displaystyle R=P\circ Q.}$Rは微分演算子でもあるため、 Rの記号は次のように表されます。 $${\displaystyle R(x,\xi )=e^{-{\langle x,\xi \rangle }}R(e^{\langle x,\xi \rangle }).}$$

直接計算すると次のようになる。 $${\displaystyle R(x,\xi )=\sum _{\alpha }{1 \over \alpha$$ !}\left({\partial \over \partial \xi }\right)^{\alpha }P(x,\xi )\left({\partial \over \partial x}\right)^{\alpha }Q(x,\xi ).}

この公式は一般的にライプニッツの公式として知られています。これは記号空間における合成を定義するために用いられ、それによって環状構造を誘導します。

• 導出（微分代数）
• 影計算