擬似ユークリッド空間

数学および理論物理学において、符号 $($ $k$ $,$ $n$ $-$ $k$ $)の$ 擬ユークリッド空間は、非退化二次形式 $q$ を伴う有限次元実数 $n$ 空間である。このような二次形式は、適切な基底( $e$ $1$ $,$ $...,$ $e$ $n$ $)$ を選択すれば、ベクトル $x$ $=$ $x$ $1$ $e$ $1$ $+ \dots +$ $x$ $n$ $e$ $n$ に適用でき、 $q(x)=\left(x_{1}^{2}+\dots +x_{k}^{2}\right)-\left(x_{k+1}^{2}+\dots +x_{n}^{2}\right),$ これはベクトル $x$ のスカラー二乗と呼ばれる。^[¹^]^:³

ユークリッド空間では、 $k = n で$ あり、これは二次形式が正定値であることを意味します。^{[ 2 ]} $0 < k < n$ の場合、 $q は$ 等方的な二次形式です。1 $\leq i \leq k < j \leq n$ の場合、 $q (e i + e j) = 0$ となり、 $e i + e j$ は零ベクトルになります。k $< n$ $の$ 擬ユークリッド空間では、ユークリッド空間とは異なり、負のスカラー二乗を持つベクトルが存在します。

ユークリッド空間という用語と同様に、擬似ユークリッド空間という用語は、著者によってアフィン空間またはベクトル空間を指すために使用され、後者は擬似ユークリッドベクトル空間^{[ 3 ]}と呼ばれることもあります（点とベクトルの区別を参照）。

幾何学

擬ユークリッド空間の幾何学は、ユークリッド空間のいくつかの性質が適用されないにもかかわらず、一貫性があります。特に、後述するように、擬ユークリッド空間は距離空間ではありません。アフィン構造は変化しないため、直線、平面、一般にアフィン部分空間（平坦）の概念、および線分も変化しません。

正、ゼロ、負のスカラー二乗

$n = 3$ 、 $kは$ $q$ の符号の選択に応じて1または2のいずれかとなる。

ヌルベクトルとは、二次形式がゼロとなるベクトルのことです。ユークリッド空間とは異なり、擬ユークリッド空間ではこのようなベクトルはゼロでないこともあり、その場合は自己直交性を持ちます。二次形式が不定の場合、擬ユークリッド空間には、 ${$ $x$ $|$ $q$ $($ $x$ $) = 0$ $}$ で与えられるヌルベクトルの線形錐が存在します。擬ユークリッド空間が時空のモデルを提供する場合（下記参照）、ヌル錐は原点の光錐と呼ばれます。

ヌル錐は、それぞれ $q$ $($ $x$ $) > 0$ と $q$ $($ $x$ $) < 0の 2 つの$ 開集合を分離します。^{[ 4 ]} $k$ $\geq 2の場合、$ $q$ $($ $x$ $) > 0$ のベクトルの集合は連結です $。k$ $= 1$ の場合、 $x$ $1$ $> 0$ のものと $x$ $1$ $< 0$ のものの 2 つの互いに素な部分から構成されます。同様に、 $n$ $-$ $k$ $\geq 2の場合、$ $q$ $($ $x$ $) < 0$ のベクトルの集合は連結です。n − k = 1 の場合 $、$ $x$ $n$ $>$ $0$ $の$ $ものと$ $x$ $n$ $< 0$ のものの2 つの互いに素な部分から構成されます。

間隔

二次形式 $q は$ 、ユークリッド空間におけるベクトルの二乗に対応します。ベクトルのノルム（および距離）を不変的に定義するには、スカラーの二乗の平方根を求める必要がありますが、これは場合によっては虚数の距離につながります。負の数の平方根を参照してください。しかし、3 辺すべてが正のスカラーの二乗である三角形（平方根が実数で正）であっても、三角形の不等式は一般には成り立ちません。

したがって、擬ユークリッド幾何学ではノルムと距離という用語は避けられ、それぞれスカラーの二乗と時空間隔で置き換えられる。

ただし、接線ベクトルのスカラー二乗がすべて同じ符号を持つ曲線の場合、弧長は定義されます。これは重要な応用例があります。例えば、「固有時間」を参照してください。

回転と球体

このような空間の回転群は、特定の二次形式を参照せずに O( k , n − k ) とも表記される不定直交群 O( q ) です。[ 5 $]$ $この$ $よう$ $な$ $「$ $回転$ $」$ はq $の$ $形式$ $を$ ^保存^し^、したがって $、$ 各ベクトルのスカラーの二乗（正、ゼロ、負のいずれであるかを含む）を保存します。

ユークリッド空間には単位球面が存在するのに対し、擬ユークリッド空間には超曲面 ${x | q (x) = 1 }$ と ${x | q (x) = -1 }$ が存在する。このような超曲面は準球面と呼ばれ、適切な不定直交群によって保存される。

対称双線形形式

二次形式 $q$ は、次のように定義される対称双線形形式を生み出す。 $\langle x,y\rangle ={\tfrac {1}{2}}[q(x+y)-q(x)-q(y)]=\left(x_{1}y_{1}+\ldots +x_{k}y_{k}\right)-\left(x_{k+1}y_{k+1}+\ldots +x_{n}y_{n}\right).$ 二次形式は双線形形式で表現できます: $q (x) = ⟨ x, x ⟩$ 。

$⟨ x, y ⟩ = 0 の$ とき、 $x$ と $y$ は擬ユークリッド空間の直交ベクトルである。

この双線形形式はしばしばスカラー積と呼ばれ、時には「内積」または「ドット積」とも呼ばれますが、内積空間を定義するものではなく、ユークリッドベクトルのドット積の性質も持ちません。

$x$ と $y$ が直交し、 $q (x) q (y)<0で$ ある場合、 $x$ は $y$ と双曲直交する。

実数 $n$ 次元空間の標準基底は直交基底です。擬ユークリッド空間には、双線形形式が不定となるような直交正規基底は存在しません。なぜなら、双線形形式はベクトルノルムを定義するために使用できないからです。

部分空間と直交性

擬ユークリッド空間の（正次元の）部分空間^{[ 6 ]} $Uにおいて、二次形式$ $qが$ $U$ に制限されている場合、次の3つのケースが考えられます。

$q | U$ は正定値または負定値のいずれかです。したがって、 $U$ は本質的にユークリッド空間です $( q$ の符号を除いて)。
$q | U$ は不定ですが、非退化です。すると、 $Uは擬ユークリッドになります。これは$ $dim U \geq 2$ の場合にのみ可能です。dim $U$ $= 2$ $の$ 場合、つまり $U$ が平面である場合、それは双曲平面と呼ばれます。
$q | U$ は退化しています。

擬似ユークリッドベクトルと平面の最も違和感のある性質の 1 つは、（ユークリッド的な直観からすると）直交性です。 2 つの非ゼロのユークリッドベクトルが直交する場合、それらは共線ではありません。任意のユークリッド線形部分空間とその直交補空間との交点は ${0}$ 部分空間です。しかし、前の小節の定義から、スカラーの二乗がゼロのベクトル $ν$ は、それ自体と直交することがすぐにわかります。したがって、零ベクトル $ν$ によって生成される等方直線 $N = ⟨ ν ⟩$ $は、その直交補空間N$ $⊥$ の部分集合です。

擬ユークリッド空間におけるベクトル部分空間の直交補空間の正式な定義は、完全に明確に定義された結果を与え、二次形式の非退化性により、等式 $dim U + dim U ⊥ = n$ を満たします。これはまさに条件です。

U \cap U ⊥ = {0}

または同等に、

U + U ⊥ =

すべての空間、

部分空間 $U$ にヌル方向が含まれている場合、これは破られる可能性があります。^{[ 7 ]}部分空間は任意のベクトル空間と同様に格子を形成しますが、この $⊥演算は$ 内積空間とは対照的に直交補空間ではありません。

ヌルベクトルのみで構成される部分空間 $N$ （つまり、 $N$ に制限されたスカラーの二乗 $q$ $が0$ に等しい場合）については、常に次の式が成り立つ。

N \subset N ⊥

または同等に、

N \cap N ⊥ = N

。

$このような部分空間は、 min(k, n - k)$ 次元まで持つことができる。^{[ 8 ]}

（正の）ユークリッド $k$ 次元部分空間の場合、その直交補空間は $(n - k)$ 次元の負の「ユークリッド」部分空間であり、その逆もまた然りです。一般に、d + 正の次元と d − 負の次元からなる ( d + + d − + d 0 ) 次元部分空間 U の場合 $（$ $シルベスター$ の $慣性$ $の$ 法則を参照） $、その直交「補空間」 U ⊥ は$ ( $k$ − d $+$ $-$ d $0$ $)$ $正$ $の$ $次元$ $と$ $($ $n$ $-$ k $-$ $d$ $-$ $-$ $d$ $0$ $)$ $負$ $の$ $次元$ $を$ 持ち、残りの $d$ $0$ 次元は退化しており、 $U$ $\cap$ $U$ $⊥ の$ 交差を形成します。

平行四辺形の法則とピタゴラスの定理

平行四辺形の法則は次の形をとる。

q(x)+q(y)={\tfrac {1}{2}}(q(x+y)+q(xy)).

和の二乗の恒等式を用いると、任意の三角形について、3辺目のスカラー二乗を2辺のスカラー二乗とその双線形形式の積から表すことができる。

q(x+y)=q(x)+q(y)+2\langle x,y\rangle .

これは、直交ベクトルに対して、ピタゴラスの定理の擬似ユークリッド版が成り立つことを示している。

\langle x,y\rangle =0\Rightarrow q(x)+q(y)=q(x+y).

代数学とテンソル解析

ユークリッド空間と同様に、すべての擬ユークリッドベクトル空間はクリフォード代数を生成します。 $q$ $を-q$ に置き換えると数値は変わりますが幾何学は $変わら$ ない上記の性質とは異なり、二次形式の符号反転は異なるクリフォード代数をもたらすため、たとえば $Cl 1,2 (R)$ と $Cl 2,1 (R)$ は同型ではありません。

任意のベクトル空間と同様に、擬ユークリッドテンソルが存在します。ユークリッド構造と同様に、添え字の上げ下げ演算子がありますが、ユークリッドテンソルの場合とは異なり、これらの操作によって成分の値が変化しない基底は存在しません。ベクトル $v β$ がある場合、対応する共変ベクトルは次のようになります。

v_{\alpha }=q_{\alpha \beta }v^{\beta }\,,

そして標準形式で

q_{\alpha \beta }={\begin{pmatrix}I_{k\times k}&0\\0&-I_{(nk)\times (nk)}\end{pmatrix}}

$v$ $α$ の最初の $k個の成分は数値的には$ $v$ $β$ の成分と同じですが、残りの $n$ $-$ $k$ は符号が逆になります。

反変テンソルと共変テンソルの対応関係により、擬リーマン多様体上のテンソル計算は、リーマン多様体上のテンソル計算の一般化となる。

応用

$n = 2$ 、 $k$ $= 1$ の場合の擬ユークリッド空間における共役双曲線

擬ユークリッド空間に、空間内の平面を張る、非ゼロの二次形式を持つ 2 つのベクトルがあるとします。ベクトルの二次形式の符号が同じであれば、空間形式を平面に制限すると、確定二次形式になります。そうでない場合は、制限によって等方二次形式が得られます。必要に応じて軸を再スケーリングすると、形式は $x 2 - y 2$ となり、この平面は二次形式の理論において双曲平面として知られています。形式をプラスとマイナス 1 に設定すると、解集合は共役双曲線のペアになります。この一対の図形は、はるか昔にペルガのアポロニウスによって記述され、1908 年にヘルマン・ミンコフスキーによって時間と距離の単位を示すために使用されました。

2 つの平面ケースは、2 つの角度理論を与えます。確定ケースは円角に対応し、等方ケースは双曲角を生み出します。円角による回転が複素平面上の円群の群作用で表せるのと同様に、双曲回転は、分裂複素数の平面上の単位双曲群の群作用から生じます。特殊相対性理論では、速度の概念は双曲角であるラピディティに変更されます。物理学の専門用語では、双曲回転はローレンツブーストです。

双曲回転はユークリッド距離を保存しないため、ユークリッド運動ではありません。しかし、面積は保存されるため、ユークリッド幾何学の概念に合致し、この幾何学は擬似ユークリッド幾何学ではありますが、ユークリッド幾何学ではありません。

脚注

↑ Élie Cartan (1981) 『スピノルの理論』、ドーバー出版、ISBN 0-486-64070-1
↑ユークリッド空間は擬似ユークリッド空間とみなされる ― 例えば、 Rafal Ablamowicz、P. Lounesto (2013)『Clifford Algebras and Spinor Structures』、Springer Science & Business Media、p. 32を参照。。
↑ Rafal Ablamowicz; P. Lounesto (2013), Clifford Algebras and Spinor Structures , Springer Science & Business Media , p. 32
↑ $R$ $n$ 上の標準的なトポロジーを仮定する。
↑「回転群」とは何かは、回転の正確な定義に依存します。「O」群には不適切な回転が含まれます。向きを保存する変換は群 $SO(q)$ または $SO(k, n - k)$ を形成しますが、 $k$ と $n$ $-$ $k の$ 両方が正の場合、連結ではありません。正と負のスカラー平方部分で向きを別々に保存する群 $SO$ $+$ $($ $q$ $)は、ユークリッド回転群$ $SO($ $n$ $)$ の（連結）類似物です $。実際、これらの群はすべて次元⁠$ $1$ $/$ $2$ $⁠$ $n$ $($ $n$ $- 1)$ のリー群です。
↑線形部分空間を仮定していますが、同じ結論はアフィン平面にも当てはまります。唯一の複雑な点は、二次形式が常に点ではなくベクトル上で定義されることです。
↑実際には、 $U \cap U ⊥ がゼロにならないのは、$ $U$ に制限された二次形式 $q$ が退化している場合のみです。
↑ Thomas E. Cecil (1992) Lie Sphere Geometry、24ページ、Universitext Springer ISBN 0-387-97747-3

参考文献

カルタン、エリー（1981）[1938]、『スピノル理論』、ニューヨーク：ドーバー出版、3ページ、ISBN 978-0-486-64070-9MR 0631850
Greub, Werner ( 1963)、「§12.4 擬ユークリッド空間」、線形代数（第2 版）、Springer-Verlag、pp. 237–249
ノル、ウォルター（1964）「ユークリッド幾何学とミンコフスキー時間計測」アメリカ数学月報、71：129–144
Novikov, SP ; Fomenko, AT ; [ロシア語からの翻訳：M. Tsaplina] (1990).微分幾何学と位相幾何学の基本要素. ドルドレヒト; ボストン: Kluwer Academic Publishers. ISBN 0-7923-1009-8。
セケレス、ピーター（2004）。現代数理物理学入門：群、ヒルベルト空間、微分幾何学。ケンブリッジ大学出版局。ISBN 0-521-82960-7。
Shafarevich, IR ; AO Remizov (2012).線形代数と幾何学. Springer . ISBN 978-3-642-30993-9。

外部リンク

D.D. ソコロフ（創始者）、「擬ユークリッド空間」、数学百科事典

[1] Élie Cartan (1981) 『スピノルの理論』、ドーバー出版、ISBN 0-486-64070-1

[2] ユークリッド空間は擬似ユークリッド空間とみなされる ― 例えば、 Rafal Ablamowicz、P. Lounesto (2013)『Clifford Algebras and Spinor Structures』、Springer Science & Business Media、p. 32を参照。。

[3] Rafal Ablamowicz; P. Lounesto (2013), Clifford Algebras and Spinor Structures , Springer Science & Business Media , p. 32

[4] $R$ $n$ 上の標準的なトポロジーを仮定する。

[5] 「回転群」とは何かは、回転の正確な定義に依存します。「O」群には不適切な回転が含まれます。向きを保存する変換は群 $SO(q)$ または $SO(k, n - k)$ を形成しますが、 $k$ と $n$ $-$ $k の$ 両方が正の場合、連結ではありません。正と負のスカラー平方部分で向きを別々に保存する群 $SO$ $+$ $($ $q$ $)は、ユークリッド回転群$ $SO($ $n$ $)$ の（連結）類似物です $。実際、これらの群はすべて次元⁠$ $1$ $/$ $2$ $⁠$ $n$ $($ $n$ $- 1)$ のリー群です。

[6] 線形部分空間を仮定していますが、同じ結論はアフィン平面にも当てはまります。唯一の複雑な点は、二次形式が常に点ではなくベクトル上で定義されることです。

[7] 実際には、 $U \cap U ⊥ がゼロにならないのは、$ $U$ に制限された二次形式 $q$ が退化している場合のみです。

[8] Thomas E. Cecil (1992) Lie Sphere Geometry、24ページ、Universitext Springer ISBN 0-387-97747-3

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