積（数学）

環状構造における残基クラス${\displaystyle \mathbb {Z} /N\mathbb {Z} }$追加可能:

${\displaystyle (a+N\mathbb {Z} )+(b+N\mathbb {Z} )=a+b+N\mathbb {Z} }$

そして乗算した：

${\displaystyle (a+N\mathbb {Z} )\cdot (b+N\mathbb {Z} )=a\cdot b+N\mathbb {Z} }$

実数からそれ自身への2つの関数は、畳み込みと呼ばれる別の方法で乗算することができます。

もし

${\displaystyle \int \limits _{-\infty }^{\infty }|f(t)|\,\mathrm {d} t<\infty \qquad {\mbox{and}}\qquad \int \limits _{-\infty }^{\infty }|g(t)|\,\mathrm {d} t<\infty ,}$

すると積分

${\displaystyle (f*g)(t)\;:=\int \limits _{-\infty }^{\infty }f(\tau )\cdot g(t-\tau )\,\mathrm {d} \tau }$

これは明確に定義されており、畳み込みと呼ばれます。

フーリエ変換の下では、畳み込みは点ごとの関数乗算となる。

2つの多項式の積は次のように表されます。

${\displaystyle {\biggl (}\sum _{i=0}^{n}a_{i}X^{i}{\biggr )}\cdot {\biggl (}\sum _{j=0}^{m}b_{j}X^{j}{\biggr )}=\sum _{k=0}^{n+m}c_{k}X^{k}}$

と

${\displaystyle c_{k}=\sum _{i+j=k}a_{i}\cdot b_{j}}$

ベクトル空間の定義から、任意のスカラーと任意のベクトルの積を形成でき、写像が得られる。$\displaystyle \mathbb {R} \times V\rightarrow V}$。

スカラー積は双線形写像である。

${\displaystyle \cdot :V\times V\rightarrow \mathbb {R} }$

以下の条件で、${\displaystyle v\cdot v>0}$すべての人々のために${\displaystyle 0\not =v\in V}$。

スカラー積から、ノルムを定義するには、${\displaystyle \|v\|:={\sqrt {v\cdot v}}}$。

スカラー積を用いることで、2つのベクトル間の角度を定義することも可能になる。

${\displaystyle \cos \angle (v,w)={\frac {v\cdot w}{\|v\|\cdot \|w\|}}}$

で${\displaystyle n}$n次元ユークリッド空間において、標準的なスカラー積（ドット積と呼ばれる）は次のように表される。

${\displaystyle {\biggl (}\sum _{i=1}^{n}\alpha _{i}e_{i}{\biggr )}\cdot {\biggl (}\sum _{i=1}^{n}\beta _{i}e_{i}{\biggr )}=\sum _{i=1}^{n}\alpha _{i}\,\beta _{i}}$

3次元空間における2つのベクトルの外積は、2つのベクトルに垂直なベクトルであり、その長さは2つのベクトルによって形成される平行四辺形の面積に等しい。

クロス積は形式的な^{[ a ]}行列式としても表すことができる。

${\displaystyle \mathbf {u\times v} ={\begin{vmatrix}\mathbf {i} &\mathbf {j} &\mathbf {k} \\u_{1}&u_{2}&u_{3}\\v_{1}&v_{2}&v_{3}\\\end{vmatrix}}}$

線形写像は、基礎となる体Fを持つ2 つのベクトル空間VとWの間の関数fとして定義され、^{[ 3 ]を満たす。}

${\displaystyle f(t_{1}x_{1}+t_{2}x_{2})=t_{1}f(x_{1})+t_{2}f(x_{2}),\forall x_{1},x_{2}\in V,\forall t_{1},t_{2}\in \mathbb {F} .}$

有限次元ベクトル空間のみを考慮する場合、

${\displaystyle f(\mathbf {v} )=f\left(v_{i}\mathbf {b_{V}} ^{i}\right)=v_{i}f\left(\mathbf {b_{V}} ^{i}\right)={f^{i}}_{j}v_{i}\mathbf {b_{W}} ^{j},}$

ここで、b _Vとb _{W は}VとWの基底を表し、v _{i は}b _V ⁱ上のvの成分を表し、アインシュタインの総和規約が適用されます。

ここで、有限次元ベクトル空間間の2つの線形写像の合成を考えます。線形写像fがVからWへ写像し、線形写像gがWからUへ写像するとします。すると、次の式が得られます。

${\displaystyle g\circ f(\mathbf {v} )=g\left({f^{i}}_{j}v_{i}\mathbf {b_{W}} ^{j}\right)={g^{j}}_{k}{f^{i}}_{j}v_{i}\mathbf {b_{U}} ^{k}.}$

または行列形式で表すと次のようになります。

${\displaystyle g\circ f(\mathbf {v} )=\mathbf {G} \mathbf {F} \mathbf {v} ,}$

ここで、Fのi行j列の要素はF _ijと表記され、f ^j _iであり、G _ij =g ^j _iである。

2つ以上の線形写像の合成も、同様に一連の行列乗算によって表現できる。

実数値の要素を持つ2つの行列が与えられた場合、${\displaystyle A}$⁠で⁠$\displaystyle \textstyle \mathbb {R} ^{s\times r}}$そして​​${\displaystyle B}$⁠で⁠$\displaystyle \textstyle \mathbb {R} ^{r\times t}}$（列の数）${\displaystyle A}$行数と一致する必要があります${\displaystyle B}$⁠）、彼らの製品はマトリックスです。${\displaystyle C=AB}$⁠で⁠$\displaystyle \textstyle \mathbb {R} ^{s\times t}}$⁠そのエントリは、対応する行のエントリのペアごとの積の合計によって与えられます。${\displaystyle A}$⁠そして列の⁠${\displaystyle B}$⁠ :

${\displaystyle c_{ij}=\sum _{k=1}^{r}a_{ik}b_{kj}=a_{i1}b_{1j}+a_{i2}b_{2j}+\cdots +a_{ir}b_{rj}}$

線形関数の合成と2つの行列の積の間には関係がある。これを確認するには、ベクトル空間U、V、Wの （有限）次元をそれぞれr = dim(U)、s = dim(V)、t = dim(W)とする。${\displaystyle {\mathcal {U}}=\{u_{1},\ldots ,u_{r}\}}$Uの 基礎となる、${\displaystyle {\mathcal {V}}=\{v_{1},\ldots ,v_{s}\}}$Vの基礎となり、 ${\displaystyle {\mathcal {W}}=\{w_{1},\ldots ,w_{t}\}}$W の基底とする。この基底に関して、 ${\displaystyle A=M_{\mathcal {V}}^{\mathcal {U}}(f)\in \mathbb {R} ^{s\times r}}$ f : U → V を表す行列とし、${\displaystyle B=M_{\mathcal {W}}^{\mathcal {V}}(g)\in \mathbb {R} ^{r\times t}}$ g : V → W を表す行列をとする。すると、

${\displaystyle B\cdot A=M_{\mathcal {W}}^{\mathcal {U}}(g\circ f)\in \mathbb {R} ^{s\times t}}$

行列は${\displaystyle g\circ f:U\rightarrow W}$。

言い換えれば、行列積は線形関数の合成を座標で表したものである。

2つの有限次元ベクトル空間VとWが与えられたとき、それらのテンソル積は、以下の式を満たす(2,0)テンソルとして定義できる。

${\displaystyle V\otimes W(v,m)=V(v)W(w),\forall v\in V^{*},\forall w\in W^{*},}$

ここで、V ^*とW ^*はVとWの双対空間を表す。^{[ 4 ]}

無限次元ベクトル空間の場合、以下の関係も成り立つ。

• ヒルベルト空間のテンソル積
• 位相テンソル積。

テンソル積、外積、クロネッカー積はすべて、同じ基本的な考え方を表しています。これらの違いは、クロネッカー積はあらかじめ固定された基底に関する行列のテンソル積であるのに対し、テンソル積は通常、その本来の定義で与えられるという点です。外積は、単にクロネッカー積をベクトル（行列ではなく）に限定したものです。

一般に、線形代数のテンソル積のように組み合わせることができる2つの数学的対象がある場合、それは一般的にモノイド圏の内部積として理解できます。つまり、モノイド圏はテンソル積の意味を正確に捉え、テンソル積がなぜそのような振る舞いをするのかという概念を正確に捉えています。より正確には、モノイド圏とは、（特定の型の）テンソル積を持つすべてのもののクラスです。

線形代数におけるその他の積の種類には、以下のようなものがあります。

• アダマール製品
• クローネッカー製品
• テンソルの積：
  • ウェッジ製品または外装製品
  • インテリア製品
  • 外製品
  • テンソル積