交互系列テスト

一連の形式

$${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }(-1)^{n}a_{n}=a_{0}-a_{1}+a_{2}-a_{3}+\cdots }$$

すべてのa _nが正であるか、すべてのa _nが負であるかのいずれかであるような数を交代数列と呼びます。

交代級数判定法は、次の 2 つの条件が満たされれば交代級数が収束することを保証します。^{[ 1 ] [ 2 ] [ 3 ]}

1. ${\displaystyle |a_{n}|}$単調に減少する、^{[ a ]}つまり、${\displaystyle |a_{n+1}|\leq |a_{n}|}$、 そして
2. ${\displaystyle \lim _{n\to \infty }a_{n}=0}$。

さらに、Lを級数の和とすると、部分和は${\textstyle S_{k}=\sum _{n=0}^{k}(-1)^{n}a_{n}\!}$Lを近似し、誤差は次の省略項によって制限される。

$${\displaystyle \left|S_{k}-L\right\vert \leq \left|S_{k}-S_{k+1}\right\vert =a_{k+1}.\!}$$

部分和が両方とも${\textstyle S_{2m+1}=\sum _{n=1}^{2m+1}(-1)^{n-1}a_{n}}$奇数個の項があり、${\textstyle S_{2m}=\sum _{n=1}^{2m}(-1)^{n-1}a_{n}}$偶数個の項を持つ場合、同じ数Lに収束する。したがって、通常の部分和${\textstyle S_{k}=\sum _{n=1}^{k}(-1)^{n-1}a_{n}}$Lにも収束する。

奇数部分和は単調に減少する。

$${\displaystyle S_{2(m+1)+1}=S_{2m+1}-a_{2m+2}+a_{2m+3}\leq S_{2m+1}}$$

一方、偶数部分和は単調増加する。

$${\displaystyle S_{2(m+1)}=S_{2m}+a_{2m+1}-a_{2m+2}\geq S_{2m}}$$

どちらも、 n が_nとともに単調に減少するためです。

さらに、n_は正であるため、${\displaystyle S_{2m+1}-S_{2m}=a_{2m+1}\geq 0}$したがって、これらの事実をまとめて、次のような示唆に富む不等式を導き出すことができる。

$${\displaystyle a_{1}-a_{2}=S_{2}\leq S_{2m}\leq S_{2m+1}\leq S_{1}=a_{1}.}$$

ここで、a ₁ − a ₂は単調減少数列S _2m+1の下限であることに注意すると、単調収束定理により、 m が無限大に近づくにつれてこの数列は収束することがわかります。同様に、偶数部分和の数列も収束します。

最終的に、それらは同じ数に収束しなければならない。${\displaystyle \lim _{m\to \infty }(S_{2m+1}-S_{2m})=\lim _{m\to \infty }a_{2m+1}=0}$。

極限をLとすると、単調収束定理はさらに次の情報も教えてくれる。

$${\displaystyle S_{2m}\leq L\leq S_{2m+1}}$$

任意のmに対して。これは、交代級数の部分和も最終極限を境に上下に「交互に」変化することを意味します。より正確には、項の数が奇数（偶数）の場合、つまり最後の項がプラス（マイナス）項の場合、部分和は最終極限を境に上（下）になります。

この理解は、以下に示す部分和の誤差範囲を直ちに導き出す。

私たちは、${\displaystyle \left|S_{k}-L\right|\leq a_{k+1}\!}$2つのケースに分割することによって。

k = 2 m +1、つまり奇数の場合、

$${\displaystyle \left|S_{2m+1}-L\right|=S_{2m+1}-L\leq S_{2m+1}-S_{2m+2}=a_{(2m+1)+1}.}$$

k = 2 m、つまり偶数の場合、

$${\displaystyle \left|S_{2m}-L\right|=L-S_{2m}\leq S_{2m+1}-S_{2m}=a_{2m+1}}$$

ご希望に応じて。

どちらの場合も、基本的に前の証明で導出された最後の不等式に基づいている。

Philip Calabrese (1962) ^{[ 15 ]}と Richard Johnsonbaugh (1979) ^{[ 16 ]}はより厳密な境界を見つけています。^{[ 17 ]}

交代高調波級数

$${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{n+1}}{n}}=1-{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{3}}-{\frac {1}{4}}+{\frac {1}{5}}-\cdots }$$

交代級数判定の条件を両方とも満たし、収束する。

結論が真であるためには、テストの2つの条件が両方とも満たされなければなりません。例えば、次の数列を考えてみましょう。

$${\displaystyle {\frac {1}{{\sqrt {2}}-1}}-{\frac {1}{{\sqrt {2}}+1}}+{\frac {1}{{\sqrt {3}}-1}}-{\frac {1}{{\sqrt {3}}+1}}+\cdots \ .}$$

符号は交互に変化し、項はゼロに近づきます。しかし、単調性は存在せず、テストを適用することはできません。実際、級数は発散します。実際、部分和については${\textstyle S_{2n}}$我々は持っています${\textstyle S_{2n}={\frac {2}{1}}+{\frac {2}{2}}+{\frac {2}{3}}+\cdots +{\frac {2}{n-1}}}$これは調和級数の部分和の2倍であり、発散する。したがって、元の級数は発散する。

ライプニッツのテストの単調性は必要条件ではないため、テスト自体は十分条件ではあるが、必要条件ではない。

収束する非単調級数の例は次のとおりです。

$${\displaystyle \sum _{n=2}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{n+(-1)^{n}}}\quad {\text{and}}\quad \sum _{n=1}^{\infty }(-1)^{n}{\frac {\cos ^{2}n}{n^{2}}}\ .}$$

実際、すべての単調級数に対して、アグニューの定理の条件を満たす置換で項を入れ替えることで、同じ和に収束する無数の非単調級数を得ることが可能です。^{[ 18 ]}