正弦波

正弦波、正弦波、または正弦曲線（記号：∿）は、波形（形状）が三角関数の正弦関数である周期 波です。力学では、時間の経過に伴う直線運動として、これは単振動運動に相当し、回転としては等速円運動に相当します。正弦波は、風波、音波、単色放射などの光波など、物理学でよく発生します。工学、信号処理、数学では、フーリエ解析によって一般関数をさまざまな周波数、相対位相、大きさの正弦波の合計に分解します。

同じ周波数（ただし位相は任意）の任意の 2 つの正弦波を線形結合すると、同じ周波数の別の正弦波が生成されます。この特性は周期波の中では独特です。逆に、ある位相をゼロ基準として選択すると、任意位相の正弦波は、位相がゼロと 1/4 周期の 2 つの正弦波（それぞれ正弦成分と余弦 成分）の線形結合として表すことができます。

正弦波

220 Hz の正弦波 5 秒。これは、 1 秒あたりf = 220 回の振動を持つ正弦関数によって記述される音波です。

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正弦波は、倍音のない単一の周波数を表し、音響的に純粋な音であると考えられています。異なる周波数の正弦波を追加すると、異なる波形が生成されます。基本波に加えて高次の倍音が存在すると、音色が変化します。これが、同じ音程で演奏したのに、異なる楽器で演奏すると音が変わる理由です。

任意の位相と振幅を持つ正弦波は正弦波と呼ばれ、一般的な形式は次のようになります: ^[1] ここで: $${\displaystyle y(t)=A\sin(\omega t+\varphi )=A\sin(2\pi ft+\varphi )}$$

• ${\displaystyle A}$、振幅、関数のゼロからのピーク偏差。
• ${\displaystyle t}$実数の 独立変数。通常は秒単位で時間を表します。
• ${\displaystyle \omega }$角周波数、関数引数の変化率（ラジアン/秒単位） 。
• ${\displaystyle f}$通常の周波数、1 秒あたりに発生する振動数 (サイクル数) 。
• ${\displaystyle \varphi}$位相は、その周期のどこで振動がt = 0 になるかをラジアン単位で指定します。
  • がゼロ以外の場合、波形全体が秒数だけ時間的に後方にシフトしているように見えます。負の値は遅延を表し、正の値は前進を表します。${\displaystyle \varphi}$${\displaystyle {\tfrac {\varphi }{\omega }}}$
  • 位相に（1 サイクル）加算または減算すると、同等の波形が生成されます。${\displaystyle 2\pi }$

位置と時間の両方に存在する正弦波には次の特徴もあります。

• 波が伝播する次元上の位置を表す空間変数。${\displaystyle x}$
• 波数（または角波数）は、角周波数と線速度（伝播速度）の比例関係を表します。 ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle \omega }$${\displaystyle v}$
  • 波数は角周波数と次の式で関係付けられます。ここで( λ )は波長です。${\textstyle k{=}{\frac {\omega }{v}}{=}{\frac {2\pi f}{v}}{=}{\frac {2\pi }{\lambda }} }$${\displaystyle \lambda}$

移動方向に応じて、次の形式になります。

• ${\displaystyle y(x,t)=A\sin(kx-\omega t+\varphi )}$波が右に動いている場合、または
• ${\displaystyle y(x,t)=A\sin(kx+\omega t+\varphi )}$波が左に移動している場合。

正弦波は分布線形システム内で形を変えずに伝播するため、^{[定義が必要]}波の伝播を解析するためによく使用されます。

同じ振幅と周波数を持つ 2 つの波が反対方向に伝わり、重なり合うと、定在波パターンが生成されます。

弦をはじくと、重なり合う波は弦の固定端点から反射した波になります。弦の共振周波数は弦の唯一の定在波であり、弦の長さの 2 倍の波長 (基本周波数に相当) とその整数分の 1 (高調波に相当) の 波長でのみ発生します。

前述の式は、単一の線に沿ったある位置と時間における波の変位を示します。これは、たとえば、ワイヤに沿った波の値と考えることができます。 ${\displaystyle y}$${\displaystyle x}$${\displaystyle t}$

2 次元または 3 次元の空間では、位置と波数がベクトルとして解釈され、それらの積がドット積として解釈される場合、同じ方程式が進行する平面波を記述します。池に石を落とした後の水の波の高さなど、より複雑な波の場合は、より複雑な方程式が必要になります。 ${\displaystyle x}$${\displaystyle k}$

フランスの数学者ジョセフ・フーリエは、正弦波を単純な構成要素として足し合わせることで、方形波を含むあらゆる周期波形を近似できることを発見しました。これらのフーリエ級数は、信号処理や時系列の統計分析で頻繁に使用されます。その後、フーリエ変換によってフーリエ級数が拡張され、一般関数を処理できるようになり、フーリエ解析という分野が誕生しました。

任意の正弦波を時間に関して 微分することは、その振幅に角周波数を掛けて 1/4 周期分進めることと見ることができます。

${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {d}{dt}}[A\sin(\omega t+\varphi )]&=A\omega \cos(\omega t+\varphi )\\&=A\omega \sin(\omega t+\varphi +{\tfrac {\pi }{2}})\,.\end{aligned}}}$

微分器は、複素周波数平面の原点にゼロを持ちます。微分器にはカットオフ周波数や平坦な通過帯域はありませんが、周波数応答のゲインは周波数の 10 倍ごとに +20 dB の割合で増加します (ルート パワー量の場合)。これは、1 次ハイパス フィルタのストップバンドと同じ正の傾斜です。n次ハイパスフィルタは、フィルタのカット オフ^周波数よりも大幅に^低い周波数帯域を持つ信号の n次時間導関数^を近似的に適用します。

任意の正弦波を時間に関して 積分することは、その振幅を角周波数で割り、それを 1/4 周期遅らせることと見ることができます。

${\displaystyle {\begin{aligned}\int A\sin(\omega t+\varphi )dt&=-{\frac {A}{\omega }}\cos(\omega t+\varphi )+C\\&=-{\frac {A}{\omega }}\sin(\omega t+\varphi +{\tfrac {\pi }{2}})+C\\&={\frac {A}{\omega }}\sin(\omega t+\varphi -{\tfrac {\pi }{2}})+C\,.\end{aligned}}}$

積分範囲が正弦波の周期の整数倍である 場合、積分定数は ゼロになります。${\displaystyle C}$

積分器には、複素周波数平面の原点に極があります。積分器にはカットオフ周波数や平坦な通過帯域はありませんが、周波数応答のゲインは周波数の 10倍ごとに -20 dB の割合で低下します (ルート パワー量の場合)。これは、1^次ローパス フィルタのストップバンドと同じ負の傾斜です。n 次^ローパスフィルタは、フィルタのカットオフ周波数よりも大幅に高い周波数帯域を持つ信号の n^回目の積分をほぼ実行します。

• 「正弦波」。数学の謎。2021年11月17日。 2022年9月30日閲覧。