対数微分

微積分学において、対数微分 または対数による微分は、関数fの対数導関数を用いて関数を微分する 方法である^[1]。 $${\displaystyle (\ln f)'={\frac {f'}{f}}\quad \implies \quad f'=f\cdot (\ln f)'.}$$

この手法は、関数自体よりも関数の対数を微分する方が簡単な場合によく使用されます。これは通常、対象の関数がいくつかの部分の積で構成されている場合で、対数変換により個別の部分の和（微分がはるかに簡単）に変換されます。また、変数または関数の累乗された関数に適用する場合にも役立ちます。対数微分は、積を和に、除算を減算に変換するために、連鎖律と対数の特性（特に自然対数、またはe を底とする対数）に依存しています。 ^{[2] [3]}この原理は、これらの関数がゼロでない限り、 ほぼすべての微分可能関数の微分で、少なくとも部分的に実装できます。

この方法が使用されるのは、対数の性質が、微分化される複雑な関数を素早く単純化する手段を提供するからである。^[4]これらの性質は、両辺の自然対数を取った後、予備的な微分化の前に操作することができる。最も一般的に使用される対数法則は^{[3]である。} $${\displaystyle \ln(ab)=\ln(a)+\ln(b),\qquad \ln \left({\frac {a}{b}}\right)=\ln(a)-\ln(b),\qquad \ln(a^{n})=n\ln(a).}$$

ファア・ディ・ブルーノの公式を用いると、n次の対数微分は次のようになる。 これを用いると、最初の4つの微分は次のようになる。 $${\displaystyle {\frac {d^{n}}{dx^{n}}}\ln f(x)=\sum _{m_{1}+2m_{2}+\cdots +nm_{n}=n}{\frac {n!}{m_{1}!\,m_{2}!\,\cdots \,m_{n}!}}\cdot {\frac {(-1)^{m_{1}+\cdots +m_{n}-1}(m_{1}+\cdots +m_{n}-1)!}{f(x)^{m_{1}+\cdots +m_{n}}}}\cdot \prod _{j=1}^{n}\left({\frac {f^{(j)}(x)}{j!}}\right)^{m_{j}}.}$$$${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {d^{2}}{dx^{2}}}\ln f(x)&={\frac {f''(x)}{f(x)}}-\left({\frac {f'(x)}{f(x)}}\right)^{2}\\[1ex]{\frac {d^{3}}{dx^{3}}}\ln f(x)&={\frac {f^{(3)}(x)}{f(x)}}-3{\frac {f'(x)f''(x)}{f(x)^{2}}}+2\left({\frac {f'(x)}{f(x)}}\right)^{3}\\[1ex]{\frac {d^{4}}{dx^{4}}}\ln f(x)&={\frac {f^{(4)}(x)}{f(x)}}-4{\frac {f'(x)f^{(3)}(x)}{f(x)^{2}}}-3\left({\frac {f''(x)}{f(x)}}\right)^{2}+12{\frac {f'(x)^{2}f''(x)}{f(x)^{3}}}-6\left({\frac {f'(x)}{f(x)}}\right)^{4}\end{aligned}}}$$

2つの関数の積に自然対数を適用して 積を 和に変換します。 連鎖法と和法を 適用して微分する と、となり、整理すると^[5]となり、 これが微分に対する積の法則です。 $${\displaystyle f(x)=g(x)h(x)}$$$${\displaystyle \ln(f(x))=\ln(g(x)h(x))=\ln(g(x))+\ln(h(x)).}$$$${\displaystyle {\frac {f'(x)}{f(x)}}={\frac {g'(x)}{g(x)}}+{\frac {h'(x)}{h(x)}},}$$ $${\displaystyle f'(x)=f(x)\times \left\{{\frac {g'(x)}{g(x)}}+{\frac {h'(x)}{h(x)}}\right\}=g(x)h(x)\times \left\{{\frac {g'(x)}{g(x)}}+{\frac {h'(x)}{h(x)}}\right\}=g'(x)h(x)+g(x)h'(x),}$$

2つの関数の商に自然対数を適用して 、割り算 を減算に変換します 。連鎖法と和法 を適用して微分 する と、次の式が得られます。これを整理すると、次の式が得られます。 $${\displaystyle f(x)={\frac {g(x)}{h(x)}}}$$$${\displaystyle \ln(f(x))=\ln \left({\frac {g(x)}{h(x)}}\right)=\ln(g(x))-\ln(h(x))}$$$${\displaystyle {\frac {f'(x)}{f(x)}}={\frac {g'(x)}{g(x)}}-{\frac {h'(x)}{h(x)}},}$$$${\displaystyle f'(x)=f(x)\times \left\{{\frac {g'(x)}{g(x)}}-{\frac {h'(x)}{h(x)}}\right\}={\frac {g(x)}{h(x)}}\times \left\{{\frac {g'(x)}{g(x)}}-{\frac {h'(x)}{h(x)}}\right\}={\frac {g'(x)h(x)-g(x)h'(x)}{h(x)^{2}}},}$$

これは微分に対する 商の規則です。

形式の関数の場合、 自然対数は指数を積に変換します。 連鎖法則と積法則を 適用して微分すると、次の式が得られ 、整理する と次の式が得られます。f をexpで書き直し、連鎖法則を適用しても、 同じ 結果が得られます。$${\displaystyle f(x)=g(x)^{h(x)}}$$$${\displaystyle \ln(f(x))=\ln \left(g(x)^{h(x)}\right)=h(x)\ln(g(x))}$$$${\displaystyle {\frac {f'(x)}{f(x)}}=h'(x)\ln(g(x))+h(x){\frac {g'(x)}{g(x)}},}$$$${\displaystyle f'(x)=f(x)\times \left\{h'(x)\ln(g(x))+h(x){\frac {g'(x)}{g(x)}}\right\}=g(x)^{h(x)}\times \left\{h'(x)\ln(g(x))+h(x){\frac {g'(x)}{g(x)}}\right\}.}$$

大文字のπ表記法を使用して、 関数指数を持つ関数の有限積をとします。 $${\displaystyle f(x)=\prod _{i}(f_{i}(x))^{\alpha _{i}(x)}}$$

自然対数を適用すると（大文字のシグマ表記） となり 、微分すると、 元の関数の導関数を得るように整理すると、 $${\displaystyle \ln(f(x))=\sum _{i}\alpha _{i}(x)\cdot \ln(f_{i}(x)),}$$$${\displaystyle {\frac {f'(x)}{f(x)}}=\sum _{i}\left[\alpha _{i}'(x)\cdot \ln(f_{i}(x))+\alpha _{i}(x)\cdot {\frac {f_{i}'(x)}{f_{i}(x)}}\right].}$$$${\displaystyle f'(x)=\overbrace {\prod _{i}(f_{i}(x))^{\alpha _{i}(x)}} ^{f(x)}\times \overbrace {\sum _{i}\left\{\alpha _{i}'(x)\cdot \ln(f_{i}(x))+\alpha _{i}(x)\cdot {\frac {f_{i}'(x)}{f_{i}(x)}}\right\}} ^{[\ln(f(x))]'}.}$$

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