関数の定義域

数学において、関数の定義域とは、その関数が受け入れる入力値の集合のことである。これは、と表記されることもある。${\displaystyle \operatorname {dom} (f)}$または${\displaystyle \operatorname {dom} f}$ここでfは関数です。平易な言葉で言えば、関数の定義域は一般的に「 x が取り得る値」と考えることができます。^{[ 1 ]}

より正確には、関数が与えられた場合${\displaystyle f\colon X\to Y}$関数fの定義域はXです。現代の数学用語では、定義域は関数の性質ではなく、関数の定義の一部です。

XとYがともに実数の集合である特殊な場合、関数fはデカルト座標系でグラフ化できます。この場合、定義域はグラフのx軸上に、関数のグラフをx軸に投影した形で表されます。

関数の場合${\displaystyle f\colon X\to Y}$集合Yは終域と呼ばれます。これは、すべての出力が属しなければならない集合です。関数がXの要素に割り当てる特定の出力の集合は、その値域または像と呼ばれます。${\displaystyle f}$はYの部分集合であり、添付の図では黄色の楕円で示されています。

任意の関数は、その定義域のサブセットに制限することができます。${\displaystyle f\colon X\to Y}$に${\displaystyle A}$、 どこ${\displaystyle A\subseteq X}$は次のように書かれています。${\displaystyle \left.f\right|_{A}\colon A\to Y}$。

実関数fが式で与えられる場合、変数の値によっては定義されないことがあります。この場合、それは部分関数と呼ばれ、式を実数に評価できる実数の集合をfの自然定義域または定義域と呼びます。多くの場合、部分関数は単に関数と呼ばれ、その自然定義域は単に定義域と呼ばれます。

ドメインという用語は、数学解析において別の意味でもよく用いられます。ドメインとは、位相空間における空でない連結開集合のことです。特に、実解析および複素解析においては、ドメインとは実座標空間の空でない連結開部分集合のことです。$\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$または複素座標空間${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}.}$

このような領域は関数の定義域として用いられることがあるが、関数はより一般的な集合上で定義される場合もある。この2つの概念は、例えば偏微分方程式の研究のように混同されることがある。この場合、領域は の開連結部分集合である。$\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$問題が提起される場所では、それは分析スタイルの領域であると同時に、求められる未知の関数の領域でもある。

例えば、集合論では、関数の定義域を適切なクラスXとすることが便利な場合があり、その場合、形式的にはトリプル( X , Y , G )というものは存在しない。このような定義では、関数は定義域を持たないが、一部の著者はf : X → Yの形式で関数を導入した後、非公式に定義域を使用している。^{[ 2 ]}

• 関数の引数
• 属性ドメイン
• 全単射、単射、全射
• 値域
• ドメイン分解
• 有効領域
• 内機能
• 画像（数学）
• リプシッツ領域
• 素朴集合論
• 関数の値域
• サポート（数学）

• ブルバキ、ニコラス(1970)。テオリ・デ・アンサンブル。数学の要素。スプリンガー。ISBN 9783540340348。
• エクルズ、ピーター・J.（1997年12月11日）。『数学的推論入門：数、集合、関数』ケンブリッジ大学出版局。ISBN 978-0-521-59718-0。
• Mac Lane, Saunders (1998年9月25日). 『働く数学者のためのカテゴリー』 . Springer Science & Business Media. ISBN 978-0-387-98403-2。
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