不定積分
の 傾き 場。 任意の定数 c を 変化させることで生成される無限の解のうち 3 つを示します 。
F
(
x
)
=
x
3
3
−
x
2
2
−
x
+
c
{\displaystyle F(x)={\frac {x^{3}}{3}}-{\frac {x^{2}}{2}}-x+c}
微積分学 において 、 連続関数 f の原始微分 、 逆微分 、 原始関数 、 原始積分 または 不定積分 [注 1] とは、 微分可能な関数 F であり、 その 導関数は元の関数 f に等しい。これは記号的に F' = f と表される 。 [1] [2] 原始微分を求める過程は 原始微分 （または 不定積分 ）と呼ばれ、その逆の操作は 微分と呼ばれ、微分を求める過程である。原始微分は F や G などの大文字 のローマ字 で表記されることが多い 。
不定積分は、微積分学の第二基本定理 を通じて 定積分 と関連しています 。つまり、リーマン積分可能な 閉区間 上の関数の定積分は、区間の端点で評価された不定積分の値の差に等しくなります。
物理学 では、反微分は 直線運動 の文脈で生じる（例えば、 位置 、 速度 、 加速度 の関係を説明するとき ）。 [3] 反微分の概念の 離散的 同等物は 反差分 である。
例 関数 は の原始微分です 。 の導関数 は です。 定数 の導関数 は 0 なので、 には 、 などの原始微分が 無数に あります 。したがって、 のすべての原始微分は、 における c の値を変更することで取得できます。 ここで、 c は 積分定数 と呼ばれる任意の定数です 。 与えられた関数 の原始微分の グラフは、互いの 垂直方向の平行移動であり、各グラフの垂直位置は c の値 によって異なります 。
F
(
x
)
=
x
3
3
{\displaystyle F(x)={\tfrac {x^{3}}{3}}}
f
(
x
)
=
x
2
{\displaystyle f(x)=x^{2}}
x
3
3
{\displaystyle {\tfrac {x^{3}}{3}}}
x
2
{\displaystyle x^{2}}
x
2
{\displaystyle x^{2}}
x
3
3
,
x
3
3
+
1
,
x
3
3
−
2
{\displaystyle {\tfrac {x^{3}}{3}},{\tfrac {x^{3}}{3}}+1,{\tfrac {x^{3}}{3}}-2}
x
2
{\displaystyle x^{2}}
F
(
x
)
=
x
3
3
+
c
{\displaystyle F(x)={\tfrac {x^{3}}{3}}+c}
より一般的には、 n ≠ −1 、および n = −1 の 場合、 べき関数は 原始微分を持ちます 。
f
(
x
)
=
x
n
{\displaystyle f(x)=x^{n}}
F
(
x
)
=
x
n
+
1
n
+
1
+
c
{\displaystyle F(x)={\tfrac {x^{n+1}}{n+1}}+c}
F
(
x
)
=
ln
|
x
|
+
c
{\displaystyle F(x)=\ln |x|+c}
物理学 では、 加速度 を積分すると 速度 と定数が得られます 。定数は速度の微分を取ると失われる初期速度項です。定数項の微分はゼロだからです。これと同じパターンが、運動（位置、速度、加速度など）のさらなる積分と微分にも当てはまります。 [3]したがって、積分により加速度、速度、 変位 の関係が生成されます 。
∫
a
d
t
=
v
+
C
∫
v
d
t
=
s
+
C
{\displaystyle {\begin{aligned}\int a\,\mathrm {d} t&=v+C\\\int v\,\mathrm {d} t&=s+C\end{aligned}}}
用途と特性 微積分の基本定理 を用いて、定積分 を計算する ために不定積分を使用することができます 。F が区間 上の連続関数 f の不定積分である場合 、 次 の よう に なります。
[
a
,
b
]
{\displaystyle [a,b]}
∫
a
b
f
(
x
)
d
x
=
F
(
b
)
−
F
(
a
)
.
{\displaystyle \int _{a}^{b}f(x)\,\mathrm {d} x=F(b)-F(a).}
このため、与えられた関数 f の無限個の原始積分はそれぞれf の「不定積分」と呼ばれ 、境界のない積分記号を使用して表されます。
∫
f
(
x
)
d
x
.
{\displaystyle \int f(x)\,\mathrm {d} x.}
F が f の原始関数で 、関数 f が何らかの区間で定義されている場合、 f の 他の原始関数 G は F と定数だけ異なります。つまり、すべての x に対して となる 数 c が 存在します。cは 積分定数 と呼ばれます。 Fの 定義 域が2 つ以上の (開) 区間の 互いに素な和集合 である場合 、区間ごとに異なる積分定数を選択できます。たとえば、
G
(
x
)
=
F
(
x
)
+
c
{\displaystyle G(x)=F(x)+c}
F
(
x
)
=
{
−
1
x
+
c
1
x
<
0
−
1
x
+
c
2
x
>
0
{\displaystyle F(x)={\begin{cases}-{\dfrac {1}{x}}+c_{1}&x<0\\[1ex]-{\dfrac {1}{x}}+c_{2}&x>0\end{cases}}}
は、その自然領域における 最も一般的な反微分である。
f
(
x
)
=
1
/
x
2
{\displaystyle f(x)=1/x^{2}}
(
−
∞
,
0
)
∪
(
0
,
∞
)
.
{\displaystyle (-\infty ,0)\cup (0,\infty ).}
すべての 連続関数 f に は原始微分があり、原始微分 Fの 1 つは、 f の定義域内の
任意の a に対して、上限が可変である
f の定積分によって与えられます。下限を変更すると他の原始微分が生成されますが、必ずしもすべての原始微分が生成されるわけではありません。これは 、微積分の基本定理 の別の定式化です 。
F
(
x
)
=
∫
a
x
f
(
t
)
d
t
,
{\displaystyle F(x)=\int _{a}^{x}f(t)\,\mathrm {d} t~,}
初等関数 には、その原始関数が存在しても、初等関数では表現できないものが 数多くあります 。
初等関数には、 多項式 、 指数関数 、 対数 、 三角関数 、 逆三角関数 、およびそれらの合成と 線形結合 による組み合わせがあります。これらの 非初等積分の例としては、
誤差 関数
∫
e
−
x
2
d
x
,
{\displaystyle \int e^{-x^{2}}\,\mathrm {d} x,}
フレネル 関数
∫
sin
x
2
d
x
,
{\displaystyle \int \sin x^{2}\,\mathrm {d} x,}
正弦 積分
∫
sin
x
x
d
x
,
{\displaystyle \int {\frac {\sin x}{x}}\,\mathrm {d} x,}
対数 積分関数 と
∫
1
log
x
d
x
,
{\displaystyle \int {\frac {1}{\log x}}\,\mathrm {d} x,}
2年生の夢
∫
x
x
d
x
.
{\displaystyle \int x^{x}\,\mathrm {d} x.}
より詳しい議論については、 微分ガロア理論 も参照してください。
統合のテクニック 基本関数の原始積分を求めるのは、その導関数を求めるよりもかなり難しいことが多い（実際、不定積分を計算するための定義済みの方法は存在しない）。 [4] 一部の基本関数では、他の基本関数の原始積分を求めることは不可能である。詳細については、 基本関数 と 非基本積分 を参照のこと。
原始導関数を見つけるための特性と手法は数多く存在します。たとえば、次のようなものがあります。
積分の線形性 （ 複雑な積分をより単純なものに分解する） 置換積分は、 三角関数の恒等式 や 自然対数 と組み合わせられることが多い。 逆 連鎖律法 （置換積分の特殊なケース） 部分積分 （関数の積を積分する） 逆関数の積分 （可逆かつ連続な関数 fの逆関数 f −1 の原始関数をf −1 と f の原始関数で 表す式 ）。 積分における部分分数 の方法（これにより、すべての 有理関数 （2つの多項式の分数） を積分できます） リッシュ アルゴリズム 多重積分のための追加テクニック（例えば 二重積分 、 極座標 、 ヤコビ行列 、 ストークスの定理 を参照） 数値積分（ exp(− x 2 ) の場合のように、基本的な不定積分が存在しない場合に定積分を近似する手法 ） 積分関数の代数的操作（置換積分などの他の積分手法を使用できるようにするため） 繰り返し積分のためのコーシーの公式 （関数の n 倍の不定積分を計算する）
∫
x
0
x
∫
x
0
x
1
⋯
∫
x
0
x
n
−
1
f
(
x
n
)
d
x
n
⋯
d
x
2
d
x
1
=
∫
x
0
x
f
(
t
)
(
x
−
t
)
n
−
1
(
n
−
1
)
!
d
t
.
{\displaystyle \int _{x_{0}}^{x}\int _{x_{0}}^{x_{1}}\cdots \int _{x_{0}}^{x_{n-1}}f(x_{n})\,\mathrm {d} x_{n}\cdots \,\mathrm {d} x_{2}\,\mathrm {d} x_{1}=\int _{x_{0}}^{x}f(t){\frac {(x-t)^{n-1}}{(n-1)!}}\,\mathrm {d} t.}
コンピュータ代数システムを 使用すると、上記の記号的手法で必要な作業の一部またはすべてを自動化できます。これは、必要な代数操作が非常に複雑または長い場合に特に便利です。すでに導出された積分は、 積分表 で調べることができます。
非連続関数の 非連続関数には不定積分が存在する可能性があります。この分野にはまだ未解決の問題が残っていますが、次のことがわかっています。
不連続点の集合が多数ある非常に 異常な関数 でも、原始導関数が存在する場合があります。 場合によっては、このような異常な関数の原始関数は リーマン積分 によって見つかることがありますが、他の場合には、これらの関数はリーマン積分可能ではありません。 関数の定義域が開区間であると仮定します。
関数f が 不定積分を持つ ための必要条件は、 f が 中間値特性 を持つことであるが、これは十分条件ではない 。つまり、 [ a , b ] が f の定義域の部分区間であり 、 y が f ( a ) と f ( b ) の間の任意の実数である場合、 a と b の間に、 f ( c ) = y となる c が 存在する。これは ダルブーの定理 の結果である 。 f の不連続点の集合は 、乏しい集合 でなければなりません 。この集合は、 F-シグマ 集合でもあります (任意の関数の不連続点の集合はこの型でなければならないため)。さらに、任意の乏しい F-シグマ集合に対して、 不連続点の集合として与えられた集合を持つ、原始導関数を持つ関数 f を構築することができます。 f が原始微分を持ち、 定義域の閉じた有限部分区間で 有界であり、 ルベーグ測度 0 の不連続点の集合を持つ場合 、原始微分はルベーグの意味で積分することによって見つけることができます。実際、 ヘンストック-クルツワイル積分の ようなより強力な積分を使用すると、原始微分が存在するすべての関数は積分可能であり、その一般積分はその原始微分と一致します。 f が 閉区間 上で 原始微分 F を持つ場合 、任意の分割の選択に対して 平均値定理 で指定された サンプル点を選択すると 、対応するリーマン和は値 に収束します 。 ただし 、 f が有界でない 場合、または fが有界であっても f の不連続点の集合が 正のルベーグ測度を持つ場合は、分割がどれだけ細かくても、サンプル点の選択が異なる とリーマン和の値が大幅に異なる場合があります。以下の例 4 を参照してください。
[
a
,
b
]
{\displaystyle [a,b]}
a
=
x
0
<
x
1
<
x
2
<
⋯
<
x
n
=
b
,
{\displaystyle a=x_{0}<x_{1}<x_{2}<\dots <x_{n}=b,}
x
i
∗
∈
[
x
i
−
1
,
x
i
]
{\displaystyle x_{i}^{*}\in [x_{i-1},x_{i}]}
F
(
b
)
−
F
(
a
)
{\displaystyle F(b)-F(a)}
∑
i
=
1
n
f
(
x
i
∗
)
(
x
i
−
x
i
−
1
)
=
∑
i
=
1
n
[
F
(
x
i
)
−
F
(
x
i
−
1
)
]
=
F
(
x
n
)
−
F
(
x
0
)
=
F
(
b
)
−
F
(
a
)
{\displaystyle {\begin{aligned}\sum _{i=1}^{n}f(x_{i}^{*})(x_{i}-x_{i-1})&=\sum _{i=1}^{n}[F(x_{i})-F(x_{i-1})]\\&=F(x_{n})-F(x_{0})=F(b)-F(a)\end{aligned}}}
x
i
∗
{\displaystyle x_{i}^{*}}
いくつかの例 機能
f
(
x
)
=
2
x
sin
(
1
x
)
−
cos
(
1
x
)
{\displaystyle f(x)=2x\sin \left({\frac {1}{x}}\right)-\cos \left({\frac {1}{x}}\right)}
は 連続ではないが 、不変である。
f
(
0
)
=
0
{\displaystyle f(0)=0}
x
=
0
{\displaystyle x=0}
F
(
x
)
=
x
2
sin
(
1
x
)
{\displaystyle F(x)=x^{2}\sin \left({\frac {1}{x}}\right)}
ここで、 f は 有限の閉区間で有界であり、0 でのみ不連続である ため、積分によって不定積分 F を得ることができます 。
F
(
0
)
=
0
{\displaystyle F(0)=0}
F
(
x
)
=
∫
0
x
f
(
t
)
d
t
{\displaystyle F(x)=\int _{0}^{x}f(t)\,\mathrm {d} t}
の関数
は で連続ではありませんが、
で 不変です
。例 1 とは異なり、 f ( x ) は 0 を含む任意の区間で有界ではないため、リーマン積分は定義されません。
f
(
x
)
=
2
x
sin
(
1
x
2
)
−
2
x
cos
(
1
x
2
)
{\displaystyle f(x)=2x\sin \left({\frac {1}{x^{2}}}\right)-{\frac {2}{x}}\cos \left({\frac {1}{x^{2}}}\right)}
f
(
0
)
=
0
{\displaystyle f(0)=0}
x
=
0
{\displaystyle x=0}
F
(
x
)
=
x
2
sin
(
1
x
2
)
{\displaystyle F(x)=x^{2}\sin \left({\frac {1}{x^{2}}}\right)}
F
(
0
)
=
0
{\displaystyle F(0)=0}
f ( x ) が例 1 の関数であり、 F が その原始関数であり、 が 開区間の 稠密な 可算 部分 集合である 場合 、
関数には
原始関数が存在します
。 g
の不連続点の集合は、 まさに集合 です 。 g は有限閉区間で有界であり、不連続点の集合は測度 0 であるため、原始関数 G は 積分によって求めることができます。
{
x
n
}
n
≥
1
{\displaystyle \{x_{n}\}_{n\geq 1}}
(
−
1
,
1
)
,
{\displaystyle (-1,1),}
g
(
x
)
=
∑
n
=
1
∞
f
(
x
−
x
n
)
2
n
{\displaystyle g(x)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {f(x-x_{n})}{2^{n}}}}
G
(
x
)
=
∑
n
=
1
∞
F
(
x
−
x
n
)
2
n
.
{\displaystyle G(x)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {F(x-x_{n})}{2^{n}}}.}
{
x
n
}
n
≥
1
{\displaystyle \{x_{n}\}_{n\geq 1}}
開区間の 稠密 可算 部分集合を とします 。どこでも連続な厳密に増加する関数を考えます。
次の式が示せます。
{
x
n
}
n
≥
1
{\displaystyle \{x_{n}\}_{n\geq 1}}
(
−
1
,
1
)
.
{\displaystyle (-1,1).}
F
(
x
)
=
∑
n
=
1
∞
1
2
n
(
x
−
x
n
)
1
/
3
.
{\displaystyle F(x)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{2^{n}}}(x-x_{n})^{1/3}.}
F
′
(
x
)
=
∑
n
=
1
∞
1
3
⋅
2
n
(
x
−
x
n
)
−
2
/
3
{\displaystyle F'(x)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{3\cdot 2^{n}}}(x-x_{n})^{-2/3}}
図1. 図2. 級数が収束するすべての値 x に対して となり、 F ( x )のグラフは他のすべての x の値で垂直接線を持ちます 。特に、グラフは集合内のすべての点で垂直接線を持ちます 。
{
x
n
}
n
≥
1
{\displaystyle \{x_{n}\}_{n\geq 1}}
さらに、 導関数が定義されているすべての x に対して、逆関数は どこでも微分可能であり、
F
(
x
)
≥
0
{\displaystyle F(x)\geq 0}
G
=
F
−
1
{\displaystyle G=F^{-1}}
g
(
x
)
=
G
′
(
x
)
=
0
{\displaystyle g(x)=G'(x)=0}
区間内で稠密な 集合内の任意の x に対して 、 g は原始微分 G を 持つ 。一方、
{
F
(
x
n
)
}
n
≥
1
{\displaystyle \{F(x_{n})\}_{n\geq 1}}
[
F
(
−
1
)
,
F
(
1
)
]
.
{\displaystyle [F(-1),F(1)].}
∫
F
(
−
1
)
F
(
1
)
g
(
x
)
d
x
=
G
F
(
1
)
−
G
F
(
−
1
)
=
2
,
{\displaystyle \int _{F(-1)}^{F(1)}g(x)\,\mathrm {d} x=GF(1)-GF(-1)=2,}
の任意の分割に対して 、リーマン和のサンプル点を集合 から選択して 、和の値を 0 にすることができるためである。したがって、 g は 正のルベーグ測度の不連続点の集合を持つことになる。右の図 1 は、 g ( x ) のグラフの近似値を示しており、 級数は 8 項に切り捨てられている。図 2 は、やはり 8 項に切り捨てられた、原始積分 G ( x ) の近似値のグラフを示している。一方、リーマン積分が ルベーグ積分 に置き換えられると、 ファトゥの補題 または 優勢収束定理により、その文脈では g は 微積分の基本定理を満たすこと が示される。
[
F
(
−
1
)
,
F
(
1
)
]
{\displaystyle [F(-1),F(1)]}
{
F
(
x
n
)
}
n
≥
1
{\displaystyle \{F(x_{n})\}_{n\geq 1}}
{
x
n
=
cos
(
n
)
}
n
≥
1
{\displaystyle \{x_{n}=\cos(n)\}_{n\geq 1}}
例3と例4では、関数 g の不連続点の集合は有限開区間でのみ稠密です。 しかし、これらの例は、実数直線全体で稠密な不連続点の集合を持つように簡単に修正できます 。
とする
と、は 上で稠密な不連続点の集合を持ち 、 は不定積分を持ちます。
(
a
,
b
)
.
{\displaystyle (a,b).}
(
−
∞
,
∞
)
{\displaystyle (-\infty ,\infty )}
λ
(
x
)
=
a
+
b
2
+
b
−
a
π
tan
−
1
x
.
{\displaystyle \lambda (x)={\frac {a+b}{2}}+{\frac {b-a}{\pi }}\tan ^{-1}x.}
g
(
λ
(
x
)
)
λ
′
(
x
)
{\displaystyle g(\lambda (x))\lambda '(x)}
(
−
∞
,
∞
)
{\displaystyle (-\infty ,\infty )}
G
⋅
λ
.
{\displaystyle G\cdot \lambda .}
例 5 と同様の方法を使用して、 例 4 の g を 修正し、すべての有理数 で がゼロになるようにすることができます。 正規分割上の左辺または右辺のリーマン和の極限として定義される リーマン積分の単純なバージョンを使用すると、 a と b が両方とも有理数である場合に、区間上のそのような関数 g の積分はではなく 0 になることがわかります 。 したがって、微積分の基本定理は見事に破綻します。
[
a
,
b
]
{\displaystyle [a,b]}
G
(
b
)
−
G
(
a
)
{\displaystyle G(b)-G(a)}
不定積分を持つ関数は、リーマン積分可能ではない場合があります。 ボルテラ関数 の微分がその一例です。
もし ならば 。
d
d
x
f
(
x
)
=
g
(
x
)
{\displaystyle {\mathrm {d} \over \mathrm {d} x}f(x)=g(x)}
∫
g
(
x
)
d
x
=
f
(
x
)
+
C
{\displaystyle \int g(x)\mathrm {d} x=f(x)+C}
∫
1
d
x
=
x
+
C
{\displaystyle \int 1\ \mathrm {d} x=x+C}
∫
a
d
x
=
a
x
+
C
{\displaystyle \int a\ \mathrm {d} x=ax+C}
∫
x
n
d
x
=
x
n
+
1
n
+
1
+
C
;
n
≠
−
1
{\displaystyle \int x^{n}\mathrm {d} x={\frac {x^{n+1}}{n+1}}+C;\ n\neq -1}
∫
sin
x
d
x
=
−
cos
x
+
C
{\displaystyle \int \sin {x}\ \mathrm {d} x=-\cos {x}+C}
∫
cos
x
d
x
=
sin
x
+
C
{\displaystyle \int \cos {x}\ \mathrm {d} x=\sin {x}+C}
∫
sec
2
x
d
x
=
tan
x
+
C
{\displaystyle \int \sec ^{2}{x}\ \mathrm {d} x=\tan {x}+C}
∫
csc
2
x
d
x
=
−
cot
x
+
C
{\displaystyle \int \csc ^{2}{x}\ \mathrm {d} x=-\cot {x}+C}
∫
sec
x
tan
x
d
x
=
sec
x
+
C
{\displaystyle \int \sec {x}\tan {x}\ \mathrm {d} x=\sec {x}+C}
∫
csc
x
cot
x
d
x
=
−
csc
x
+
C
{\displaystyle \int \csc {x}\cot {x}\ \mathrm {d} x=-\csc {x}+C}
∫
1
x
d
x
=
ln
|
x
|
+
C
{\displaystyle \int {\frac {1}{x}}\ \mathrm {d} x=\ln |x|+C}
∫
e
x
d
x
=
e
x
+
C
{\displaystyle \int \mathrm {e} ^{x}\mathrm {d} x=\mathrm {e} ^{x}+C}
∫
a
x
d
x
=
a
x
ln
a
+
C
;
a
>
0
,
a
≠
1
{\displaystyle \int a^{x}\mathrm {d} x={\frac {a^{x}}{\ln a}}+C;\ a>0,\ a\neq 1}
∫
1
a
2
−
x
2
d
x
=
arcsin
(
x
a
)
+
C
{\displaystyle \int {\frac {1}{\sqrt {a^{2}-x^{2}}}}\ \mathrm {d} x=\arcsin \left({\frac {x}{a}}\right)+C}
∫
1
a
2
+
x
2
d
x
=
1
a
arctan
(
x
a
)
+
C
{\displaystyle \int {\frac {1}{a^{2}+x^{2}}}\ \mathrm {d} x={\frac {1}{a}}\arctan \left({\frac {x}{a}}\right)+C}
参照
注記
^ 原始積分は 一般積分 、時には 積分 とも呼ばれる。後者の用語は一般的なもので、不定積分（原始積分）だけでなく 定積分も指す。 積分 という語が 追加の指定なしに使用される場合、読者は文脈からそれが定積分を指すのか不定積分を指すのかを推測することになっている。著者によっては、関数の不定積分をその関数の無限に可能な原始積分の集合と定義する。他の著者はそれをその集合から任意に選択された要素と定義する。この記事では後者のアプローチを採用する。英語のAレベル数学の教科書には、 完全原始という 用語が使われている- L. Bostock and S. Chandler (1978) Pure Mathematics 1 。 任意定数を含む微分方程式の解は一般解（または完全原始的）と呼ばれる 。
参考文献
^ スチュワート、ジェームズ (2008)。 微積分学：初期超越論 （第6版）。 ブルックス/ コール 。ISBN 978-0-495-01166-8 。 ^ ラーソン、ロン ; エドワーズ、ブルース H. (2009). 微積分 (第 9 版). Brooks/Cole . ISBN 978-0-547-16702-2 。 ^ ab "4.9: Antiderivatives". Mathematics LibreTexts . 2017-04-27 . 2020-08-18 閲覧 。 ^ 「Antiderivative and Indefinite Integration | Brilliant Math & Science Wiki」. bright.org . 2020年8月18日 閲覧 。
さらに読む カール・R・ストロンバーグ著『古典的実解析入門 』、ワズワース、1981年（参照） デイブ・L・レンフロによる導関数の連続性に関する歴史的エッセイ
外部リンク
![{\displaystyle [a,b]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9c4b788fc5c637e26ee98b45f89a5c08c85f7935)
![{\displaystyle F(x)={\begin{cases}-{\dfrac {1}{x}}+c_{1}&x<0\\[1ex]-{\dfrac {1}{x}}+c_{2}&x>0\end{cases}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/60dc09aa2f12fedbfbe454d8e86433b2aa341ca0)
![{\displaystyle x_{i}^{*}\in [x_{i-1},x_{i}]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/dafeab86f1179399f11208ee27a15c76434aed3d)
![{\displaystyle {\begin{aligned}\sum _{i=1}^{n}f(x_{i}^{*})(x_{i}-x_{i-1})&=\sum _{i=1}^{n}[F(x_{i})-F(x_{i-1})]\\&=F(x_{n})-F(x_{0})=F(b)-F(a)\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4321d3c55961ff5581fbbab0e33baeeef460cdd9)
![{\displaystyle [F(-1),F(1)].}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0f99ea5d11fcb11397621be19d57bc4811cff8ee)
![{\displaystyle [F(-1),F(1)]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/24a5e43972427c5813e949951ef3ee62efbfcc1a)
