凹関数

数学において、凹関数とは、定義域内の任意の凸要素の組み合わせにおける関数値が、それらの定義域要素の凸組み合わせ以上である関数のことである。同様に、凹関数とは、そのハイポグラフが凸である任意の関数のことである。凹関数のクラスは、ある意味では凸関数のクラスの反対である。凹関数は、同義語として、下向き凹、下向き凹、上向き凸、凸キャップ、または上向き凸とも呼ばれる。

区間（またはより一般的にはベクトル空間の凸集合）上の実数値関数が 凹であるとは、区間内の任意のおよびに対して、かつ任意の に対して、次のことを言う。^[1]${\displaystyle f}$${\displaystyle x}$${\displaystyle y}$${\displaystyle \alpha \in [0,1]}$

${\displaystyle f((1-\alpha )x+\alpha y)\geq (1-\alpha )f(x)+\alpha f(y)}$

関数が厳密に凹であると言われるのは、

${\displaystyle f((1-\alpha )x+\alpha y)>(1-\alpha )f(x)+\alpha f(y)\,}$

任意のおよびに対して。 ${\displaystyle \alpha \in (0,1)}$${\displaystyle x\neq y}$

関数 の場合、この 2 番目の定義は、 との間に厳密に存在する任意の に対して、のグラフ上の点が点と を結ぶ直線の上にあることを単に述べています。 ${\displaystyle f:\mathbb {R} \to \mathbb {R} }$${\displaystyle z}$${\displaystyle x}$${\displaystyle y}$${\displaystyle (z,f(z))}$${\displaystyle f}$${\displaystyle (x,f(x))}$${\displaystyle (y,f(y))}$

関数の上側輪郭集合が凸集合である場合、その関数は準凹である。^[2]${\displaystyle f}$${\displaystyle S(a)=\{x:f(x)\geq a\}}$

1. 微分可能関数 fが区間上で（厳密に）凹関数となるのは、その微分関数f′がその区間上で（厳密に）単調減少する場合のみである。つまり、凹関数は増加しない（減少する）傾きを持つ。^{[3] [4]}
2. 凹面が変化する点（凹面と凸面の間）が変曲点である。^[5]
3. f が2 回微分可能であれば、fが凹となるのは、 f "が非正の場合（または、非公式には、「加速度」が非正の場合）のみです。 f "が負の場合、f は厳密に凹ですが、逆は真ではありません。これは、f ( x ) = − x ⁴で示されます。
4. fが凹で微分可能な場合、その1次テイラー近似によって上界が与えられる：^[2] $${\displaystyle f(y)\leq f(x)+f'(x)[yx]}$$
5. 区間C上のルベーグ可測関数が凹関数となるのは、それが中点凹関数である場合、つまりC内の任意のxとyに対してであるときのみである。 $${\displaystyle f\left({\frac {x+y}{2}}\right)\geq {\frac {f(x)+f(y)}{2}}}$$
6. 関数fが凹関数で、f (0) ≥ 0ならば、f は上で劣加法性を持つ。証明: ${\displaystyle [0,\infty )}$
   • fは凹で1 ≥ t ≥ 0なので、y = 0とすると$${\displaystyle f(tx)=f(tx+(1-t)\cdot 0)\geq tf(x)+(1-t)f(0)\geq tf(x).}$$
   • のために：${\displaystyle a,b\in [0,\infty )}$$${\displaystyle f(a)+f(b)=f\left((a+b){\frac {a}{a+b}}\right)+f\left((a+b){\frac {b}{a+b}}\right)\geq {\frac {a}{a+b}}f(a+b)+{\frac {b}{a+b}}f(a+b)=f(a+b)}$$

1. 関数f が凸集合に対して凹となるのは、関数−fがその集合に対して凸関数 となる場合のみである。
2. 2 つの凹関数の和はそれ自体が凹であり、 2 つの凹関数の点ごとの最小値も凹です。つまり、与えられた領域上の凹関数の集合は半体を形成します。
3. 関数の定義域の内部における厳密な局所最大値の近くでは、関数は必ず凹になります。逆に、厳密に凹な関数の導関数がある点でゼロになる場合、その点は局所最大値になります。
4. 凹関数の任意の局所的最大値は、大域的最大値でもあります。厳密に凹な関数には、最大で 1 つの大域的最大値があります。

• 関数とはその定義域で凹であり、その 2 次導関数とは常に負です。${\displaystyle f(x)=-x^{2}}$${\displaystyle g(x)={\sqrt {x}}}$${\displaystyle f''(x)=-2}$${\textstyle g''(x)=-{\frac {1}{4x^{3/2}}}}$
• 対数関数はその導関数が減少関数であるため、その定義域上で凹です。${\displaystyle f(x)=\log {x}}$${\displaystyle (0,\infty )}$${\displaystyle {\frac {1}{x}}}$
• 任意のアフィン関数は 凹と凸の両方の性質を持ちますが、厳密に凹でも厳密に凸でもありません。${\displaystyle f(x)=ax+b}$
• 正弦関数は区間 上で凹です。${\displaystyle [0,\pi ]}$
• 関数（ただし は非負定値行列Bの行列式）は凹関数である。^[6]${\displaystyle f(B)=\log |B|}$${\displaystyle |B|}$

• 大気中の電波減衰の計算における光線の屈曲には凹関数が関係します。
• 不確実性下での選択に関する期待効用理論では、リスク回避的な意思決定者の基数効用関数は凹状になります。
• ミクロ経済理論では、生産関数は通常、その領域の一部またはすべてにおいて凹型であると想定されており、その結果、投入要素に対する収穫逓減が生じる。^[7]
• 熱力学と情報理論では、エントロピーは凹関数である。熱力学的エントロピーの場合、相転移がなければ、拡がり変数の関数としてのエントロピーは厳密に凹である。システムが相転移を起こすことができ、異なる相の2つのサブシステムに分割できる場合（相分離、たとえば沸騰）、サブシステムのエントロピー最大パラメータは、2つの相の間の直線上に正確に結合されたエントロピーをもたらす。これは、相転移のあるシステムの「有効エントロピー」が相分離のないエントロピーの凸包であることを意味する。したがって、相分離を含むシステムのエントロピーは厳密には凹ではない。^[8]

• 凹多角形
• ジェンセンの不等式
• 対数凹関数
• 準凹関数
• 凹面化

• Crouzeix, J.-P. (2008)。「準凹面」。Durlauf, Steven N.、Blume, Lawrence E (編)。『新パルグレイブ経済学辞典』（第 2 版）。Palgrave Macmillan。pp. 815–816。doi : 10.1057 /9780230226203.1375。ISBN 978-0-333-78676-5。
• ラオ、シンギレス S. (2009)。エンジニアリング最適化: 理論と実践。ジョン ワイリー アンド サンズ。p. 779。ISBN 978-0-470-18352-6。