ベクトル値関数

ベクトル関数aのスカラー変数qに関する偏微分は次のように定義されます^{[ 1 ]}$$${\displaystyle {\frac {\partial \mathbf {a} }{\partial q}}=\sum _{i=1}^{n}{\frac {\partial a_{i}}{\partial q}}\mathbf {e} _{i}}$$$ ここでa _iは、 e _iの方向におけるaのスカラー成分です。これは、aとe _iの方向余弦、またはそれらの内積とも呼ばれます。ベクトルe ₁、e ₂、e ₃は、微分が取られる参照フレームに固定された正規直交基底を形成します。

a を時間tなどの単一のスカラー変数のベクトル関数とみなすと、上記の式はtに関するaの一次常微分に帰着します。^{[ 1 ]}$${\displaystyle {\frac {d\mathbf {a} }{dt}}=\sum _{i=1}^{n}{\frac {da_{i}}{dt}}\mathbf {e} _{i}.}$$

ベクトルa がn個のスカラー変数q _r ( r = 1, ..., n )の関数であり、各q _rが時間tのみの関数である場合、 tに関するaの通常の微分は、全微分として知られる形式で次のように表すことができます^{[ 1 ]}$${\displaystyle {\frac {d\mathbf {a} }{dt}}=\sum _{r=1}^{n}{\frac {\partial \mathbf {a} }{\partial q_{r}}}{\frac {dq_{r}}{dt}}+{\frac {\partial \mathbf {a} }{\partial t}}.}$$

一部の著者は、 D / Dtのように、全微分演算子を示すために大文字のDを使用することを好みます。全微分は、変数q _rの時間変動によるaの変化を考慮する点で、時間偏微分とは異なります。

スカラー値関数の場合、参照フレームは1つしか存在しないのに対し、ベクトル値関数の導関数を求めるには、参照フレームを選択する必要があります（少なくとも、固定されたデカルト座標系が暗黙的に指定されていない場合）。参照フレームが選択されると、ベクトル値関数の導関数は、スカラー値関数の導関数を計算するのと同様の手法を用いて計算できます。一般的に、異なる参照フレームを選択すると、導関数も異なります。異なる参照フレームにおける導関数には、特定の運動学的関係があります。

上記のベクトル関数の導関数の公式は、基底ベクトルe ₁、e ₂、e _{3が定数、つまり}aの導関数が取られる参照系で固定されているという仮定に基づいており、したがってe ₁、e ₂、e _{3の導関数はそれぞれ恒等的にゼロになります。これは、固定座標系における}ベクトル場を扱う問題や、物理学の単純な問題ではしばしば当てはまります。しかし、多くの複雑な問題では、複数の移動参照系におけるベクトル関数の導関数が関係しており、基底ベクトルが必ずしも定数であるとは限りません。基底ベクトルe ₁、e ₂、e ₃が参照系 E では固定されているが、参照系 N では固定されていないような場合、参照系 N におけるベクトルの通常の時間微分に対するより一般的な公式は^{[ 1 ]です。}$${\displaystyle {\frac {{}^{\mathrm {N} }d\mathbf {a} }{dt}}=\sum _{i=1}^{3}{\frac {da_{i}}{dt}}\mathbf {e} _{i}+\sum _{i=1}^{3}a_{i}{\frac {{}^{\mathrm {N} }d\mathbf {e} _{i}}{dt}}}$$ ここで、微分演算子の左にある上付き文字 N は、微分が取られる参照系を示します。前述のように、右辺の第 1 項は、e ₁、e ₂、e ₃が定数である参照系 E におけるaの微分に等しくなります。また、右辺の第 2 項は、 2 つの参照系の相対角速度にベクトルa自体をクロス乗算したものに等しくなることも示せます。 ^{[ 1 ]} したがって、代入後、2 つの参照系におけるベクトル関数の微分を関連付ける式は次のようになります。^{[ 1 ]}$${\displaystyle {\frac {{}^{\mathrm {N} }d\mathbf {a} }{dt}}={\frac {{}^{\mathrm {E} }d\mathbf {a} }{dt}}+{}^{\mathrm {N} }\mathbf {\omega } ^{\mathrm {E} }\times \mathbf {a} }$$ ここで、NωE^は基準座標系Eの基準座標系Nに対する角速度である。

この公式がよく使われる例の一つは、ロケットなどの宇宙物体の速度を、地上に対するロケットの速度測定値を用いて慣性座標系で求める場合です。位置r ^Rにあるロケット R の慣性座標系 N における速度^N v ^Rは、次の公式を用いて求めることができます 。$${\displaystyle {\frac {{}^{\mathrm {N} }d}{dt}}(\mathbf {r} ^{\mathrm {R} })={\frac {{}^{\mathrm {E} }d}{dt}}(\mathbf {r} ^{\mathrm {R} })+{}^{\mathrm {N} }\mathbf {\omega } ^{\mathrm {E} }\times \mathbf {r} ^{\mathrm {R} }.}$$ ここで、^NωEは慣性系Nに対する地球の角速度である。速度は位置の微分であるため、NvR^とEvR^{はそれぞれ参照系NとEにおける}rR^の微分である。代入により ^、$${\displaystyle {}^{\mathrm {N} }\mathbf {v} ^{\mathrm {R} }={}^{\mathrm {E} }\mathbf {v} ^{\mathrm {R} }+{}^{\mathrm {N} }\mathbf {\omega } ^{\mathrm {E} }\times \mathbf {r} ^{\mathrm {R} }}$$ ここで、^E v ^Rは、地球に固定された基準座標系 E から測定したロケットの速度ベクトルです。

ベクトル関数の積の導関数は、スカラー関数の積の導関数と同様の挙動を示します。^{[ a ]}具体的には、ベクトルのスカラー乗算 の場合、 p がqのスカラー変数関数である場合、^{[ 1 ]}$$\displaystyle {\frac {\partial }{\partial q}}(p\mathbf {a} )={\frac {\partial p}{\partial q}}\mathbf {a} +p{\frac {\partial \mathbf {a} }{\partial q}}.}$$

ドット乗算の場合、2 つのベクトルaとbはどちらもqの関数であり、^{[ 1 ]}$${\displaystyle {\frac {\partial }{\partial q}}(\mathbf {a} \cdot \mathbf {b} )={\frac {\partial \mathbf {a} }{\partial q}}\cdot \mathbf {b} +\mathbf {a} \cdot {\frac {\partial \mathbf {b} }{\partial q}}。$$

同様に、2 つのベクトル関数の外積の導関数は^{[ 1 ]です。}$${\displaystyle {\frac {\partial }{\partial q}}(\mathbf {a} \times \mathbf {b} )={\frac {\partial \mathbf {a} }{\partial q}}\times \mathbf {b} +\mathbf {a} \times {\frac {\partial \mathbf {b} }{\partial q}}.}$$

実数tの関数fで、その値は空間内にあります。$\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$次のように書くことができます${\displaystyle \mathbf {f} (t)=(f_{1}(t),f_{2}(t),\ldots ,f_{n}(t))}$その導関数は $${\displaystyle \mathbf {f} '(t)=(f_{1}'(t),f_{2}'(t),\ldots ,f_{n}'(t)).}$$f が複数の変数の関数である 場合、例えば$t ∈ ℝᵐ$すると、fの成分の偏微分は、${\displaystyle n\times m}$fのヤコビ行列と呼ばれる行列。

fの引数が実数であり、X がヒルベルト空間である場合、点tにおけるfの導関数は、有限次元の場合と同様に定義できる。 $${\displaystyle \mathbf {f} '(t)=\lim _{h\to 0}{\frac {\mathbf {f} (t+h)-\mathbf {f} (t)}{h}}.}$$有限次元の場合の結果のほとんどは、必要な変更 を加えれば無限次元の場合にも当てはまります。微分は、複数の変数の関数 (例:${\displaystyle t\in \mathbb {R} ^{n}}$あるいは${\displaystyle t\in Y}$（ここで、Yは無限次元ベクトル空間である）。

注： Xがヒルベルト空間である場合、任意の導関数（およびその他の極限）は成分ごとに計算できることが容易に示されます。 $${\displaystyle \mathbf {f} =(f_{1},f_{2},f_{3},\ldots )}$$ （つまり、${\displaystyle \mathbf {f} =f_{1}\mathbf {e} _{1}+f_{2}\mathbf {e} _{2}+f_{3}\mathbf {e} _{3}+\cdots }$、どこ${\displaystyle \mathbf {e} _{1},\mathbf {e} _{2},\mathbf {e} _{3},\ldots }$は空間Xの正規直交基底であり、${\displaystyle f'(t)}$存在するならば、 $${\displaystyle \mathbf {f} '(t)=(f_{1}'(t),f_{2}'(t),f_{3}'(t),\ldots ).}$$しかし、成分ごとの微分が存在するからといって、微分が存在するとは限らない。ヒルベルト空間における成分ごとの収束は、ヒルベルト空間の実際の位相 に関して収束することを保証するものではないからである。

上記のほとんどのことは、他の位相ベクトル空間Xでも同様に当てはまります。しかし、バナッハ空間の設定では、古典的な結果の多くが成り立たない場合があります。例えば、適切なバナッハ空間に値をとる絶対連続関数は、どこにも導関数を持たない場合があります。さらに、ほとんどのバナッハ空間の設定では、正規直交基底は存在しません。