ボナヴェントゥーラ・カヴァリエリ

カヴァリエリの最初の著書は、1632年に初版が出版され、1650年に一度再版された『Lo Specchio Ustorio, overo, Trattato delle settioni coniche』、または『The Burning Mirror』、または『a Treatise on Conic Sections』である。^{[ 7 ]}『Lo Specchio Ustorio』 の目的は、アルキメデスがシラクサに近づくローマ艦隊を燃やすために鏡をどのように使用したのかという、いまだに議論されている問題に取り組むことであった。^{[ 5 ] [ 8 ]}この本は、この目的を超えて、円錐曲線、光の反射、放物線の性質についても探求した。この本の中で、彼は放物線、双曲線、楕円の形をした鏡、およびこれらの鏡のさまざまな組み合わせの理論を展開した。彼は、後に示されたように、光が有限かつ確定的な速度を持つならば、放物面鏡、双曲面鏡、または楕円鏡の焦点における像の干渉は最小限になることを実証した。ただし、これは理論上のことであり、必要な鏡は当時の技術では製造できなかった。これにより、当時存在していた望遠鏡よりも優れた像が得られるはずだった。^{[ 5 ] [ 9 ]}

彼はまた、曲線のいくつかの性質も実証した。第一に、放物線の軸に平行な光線が焦点を通るように反射した場合、入射角と反射角の和は、他の同様の光線の場合と等しくなる。次に、双曲線と楕円についても同様の結果を示した。反射望遠鏡の設計に役立つ第二の結果は、放物線の外側の点から焦点まで線を延長すると、放物線の外側表面でのこの線の反射は軸に平行になるということである。その他の結果としては、線が双曲線とその外部焦点を通る場合、双曲線の内部でのその反射は内部焦点を通るという性質、その逆で、放物線を通って内部焦点に向かう光線は、外側表面から外部焦点に反射されるという性質、そして線が楕円の一方の内部焦点を通る場合、楕円の内面でのその反射はもう一方の内部焦点を通るという性質などがある。これらの性質のいくつかは以前から指摘されていたが、カヴァリエリは多くの性質の最初の証明を与えた。^{[ 5 ]}

『Lo Specchio Ustorio』には、実用的な目的で反射面と反射モードの表も含まれていた。^{[ 5 ]}

カヴァリエリの著作には、鏡を用いた新しいタイプの望遠鏡、反射望遠鏡の理論的な設計も含まれており、これは当初アルキメデスの鏡の疑問に答えるために開発され、その後、望遠鏡としてはるかに小さなスケールで応用された。^{[ 5 ] [ 10 ]}彼は、望遠鏡モデルに反射鏡を組み込むための3つの異なる概念を示した。プラン1は、太陽に向けて大きな凹面鏡を配置し、光を2番目の小さな凸面鏡に反射させるものであった。カヴァリエリの2番目の概念は、主となる切頭放物面鏡と2番目の凸面鏡で構成されていた。彼の3番目のオプションは、凸面副レンズを凹面レンズに置き換えたもので、以前の概念と非常によく似ていた。^{[ 5 ]}

ガリレオの初期の業績に触発されたカヴァリエリは、微積分への不可分法と呼ばれる新しい幾何学的アプローチを開発し、このテーマに関する論文『Geometria indivisibilibus continuorum nova quadam ratione promota』（連続体の不可分法による新しい方法によって開発された幾何学）を出版した。これは1627年に書かれたが、出版されたのは1635年であった。この著作の中で、カヴァリエリは、図の「すべての線」または「すべての平面」と呼ばれる実体を、図の範囲内にある無数の平行線または平面で、それぞれ図の面積と体積に匹敵するものとみなしている。後の数学者たちは、彼の方法を改良して、「すべての直線」と「すべての平面」を面積と体積に等しいものとして扱うようになったが、カヴァリエリは連続体の構成の問題を回避しようとして、両者は比較可能ではあるが等しくはないと主張した。^{[ 1 ]}

これらの平行な要素は、それぞれ面積と体積の不可分量と呼ばれ、カヴァリエリの方法の構成要素であり、積分計算の基本的な特徴でもある。彼はまた、不可分量の方法を用いて、現在では次のように書かれている結果を計算した。$\int _{0}^{1}x^{2}\,dx={\frac {1}{3}}$彼はアルキメデス螺旋の囲まれた面積を計算する過程で、後にそれを他の図形にも一般化し、例えば円錐の体積は外接円柱の体積の3分の1であることを示した。^{[ 11 ]}

不可分量の原理の直接的な応用例として、カヴァリエリの原理がある。この原理は、2つの物体の体積は、対応する断面の面積が常に等しい場合に等しいと述べている。2つの断面は、物体と、選択された基底面から等距離にある平面との交点である場合に対応する。（この原理は、中国の祖庚之（480 - 525）によって、球の体積を計算するという特定の場合にすでに使用されていた。^{[ 12 ]}）

カヴァリエリが提唱した不可分数の方法は強力でしたが、その有用性は2つの点で制限されていました。第一に、カヴァリエリの証明は直感的で、後に正しいことが証明されましたが、厳密ではありませんでした。第二に、彼の文章は難解で分かりにくかったのです。同時代の多くの数学者が不可分数の方法を発展させましたが、『不可分数の幾何学』に対する批判は厳しいものでした。アンドレ・タケとポール・グルダンは共に『不可分数の幾何学』に対する反論を発表しました。グルダンの特に詳細な批判では、カヴァリエリの方法はヨハネス・ケプラーとバルトロメオ・ソヴェロの研究から派生したものだと示唆し、その方法の厳密性の欠如を攻撃し、2つの無限の間には意味のある比率は存在し得ないため、一方を他方と比較することは無意味であると主張しました。^{[ 4 ] [ 1 ]}

カヴァリエリの『幾何学的演習六つ』（1647年）は、グルディンの批判に直接応える形で書かれた。当初はガリレオ風の対話形式で草稿が作成されたが、文通相手から不必要に扇動的であるとして反対された。盗作の告発は根拠のないものであったが、『幾何学的演習』の大部分はグルディンの議論の数学的な内容を扱っていた。グルディンは、自分の著作では「すべての線」を図形の面積とは別の実体として扱っていると不誠実に主張し、さらに「すべての線」と「すべての平面」は絶対的な無限ではなく相対的な無限を扱っているため比較できると主張した。これらの議論は同時代の人々には説得力がなかった。^{[ 1 ]}それにもかかわらず、『幾何学的演習』は不可分量の方法に大きな改善をもたらした。変数に変換を適用することで、彼は以前の積分結果を一般化し、$\int _{0}^{1}x^{n}\,dx={\frac {1}{n+1}}$のために${\displaystyle n\in \{3,\dots ,9\}}$これは現在カヴァリエリの求積公式として知られています。^{[ 4 ] [ 11 ]}

カヴァリエリは晩年、天文学に関する2冊の本を出版した。これらの本は占星術の用語を用いているものの、彼は本文中で占星術を信じておらず、実践もしていないと述べている。それらの本は『 Nuova pratica astrologica』（1639年）と『Trattato della ruota planetaria perpetua 』（1646年）である。

彼は対数の表を出版し、天文学や地理学の分野におけるそれらの実用的な使用を強調した。^{[ 4 ] [ 1 ] [ 6 ]}

カヴァリエーリは、自身が管理していた修道院のために水力ポンプも製作した。マントヴァ公爵も同様のものを入手した。^{[ 6 ]}