数学 において、多変数関数 の偏微分と は、他の変数を一定に保った状態で、そのうちの1つの変数に関して微分した値のことです （すべての変数が変化することを許容する全微分とは対照的です）。偏微分は 、ベクトル解析 や微分幾何学 で用いられます。
関数の偏導関数f （ x 、 y 、 … ） {\displaystyle f(x,y,\dots )} x {\displaystyle x}
f x {\displaystyle f_{x}} 、
f x ′ {\displaystyle f'_{x}} 、
∂ x f {\displaystyle \partial _{x}f} 、
D x f {\displaystyle \ D_{x}f} 、
D e 1 f {\displaystyle D_{\mathbf {e} _{1}}f} 、
D 1 f {\displaystyle D_{1}f} 、
∂ ∂ x f {\displaystyle {\frac {\partial }{\partial x}}f} 、 または
∂ f ∂ x \displaystyle {\frac {\partial f}{\partial x}}} 。
これは関数の変化率ですx {\displaystyle x}
時には、z = f （ x 、 y 、 … ） {\displaystyle z=f(x,y,\ldots )} z {\displaystyle z} x {\displaystyle x} ∂ z ∂ x 。 {\displaystyle {\tfrac {\partial z}{\partial x}}.}
f x ′ （ x 、 y 、 … ） 、 ∂ f ∂ x （ x 、 y 、 … ） 。 {\displaystyle f'_{x}(x,y,\ldots ),{\frac {\partial f}{\partial x}}(x,y,\ldots ).}
偏微分を表す記号は∂ です。数学におけるこの記号の最初の使用例の一つは、1770 年のコンドルセ侯爵 によるもので、彼はこれを偏差分に使用しました。 [ 1 ] 現代の偏微分表記は、アドリアン＝マリー・ルジャンドル (1786 年)によって考案されましたが、彼は後にそれを放棄しました。カール・グスタフ・ヤコブ・ヤコビは 1841 年にこの記号を再導入しました。[ 2 ]
意味 通常の微分と同様に、偏微分は極限 として定義されます。Uを の開集合 とします。R n \displaystyle \mathbb {R} ^{n}} f : U → R {\displaystyle f:U\to \mathbb {R} } fの偏導関数 1 = （ 1 1 、 … 、 1 n ） ∈ U {\displaystyle \mathbf {a} =(a_{1},\ldots ,a_{n})\in U} i 番目の変数x i
∂ ∂ x 私 f （ 1 ） = リム h → 0 f （ 1 1 、 … 、 1 私 − 1 、 1 私 + h 、 1 私 + 1 … 、 1 n ） − f （ 1 1 、 … 、 1 私 、 … 、 1 n ） h = リム h → 0 f （ 1 + h e 私 ） − f （ 1 ） h {\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {\partial }{\partial x_{i}}}f(\mathbf {a} )&=\lim _{h\to 0}{\frac {f(a_{1},\ldots ,a_{i-1},a_{i}+h,a_{i+1}\,\ldots ,a_{n})\ -f(a_{1},\ldots ,a_{i},\dots ,a_{n})}{h}}\\&=\lim _{h\to 0}{\frac {f(\mathbf {a} +h\mathbf {e} _{i})-f(\mathbf {a} )}{h}}\end{aligned}}}
どこe 私 {\displaystyle \mathbf {e_{i}} } はi 番目の変数x i 単位ベクトル です。実際、最後の等式は、偏微分が方向微分 に等しく、方向は私 {\displaystyle i} 標準基底 ベクトル。
たとえすべての偏微分が∂ f / ∂ x 私 （ 1 ） {\displaystyle \partial f/\partial x_{i}(a)} a において、関数は必ずしもそこで連続で ある必要はありません。しかし、すべての偏導関数がa の近傍 に存在し、そこで連続である場合、f はその近傍で 完全に微分可能 であり、全導関数は連続です。この場合、fは C 1 f : U → R m {\displaystyle f:U\to \mathbb {R} ^{m}} 。
偏微分∂ f ∂ x {\textstyle {\frac {\partial f}{\partial x}}} はU 上で定義された関数であり、再び偏微分することができます。導関数の方向が繰り返されない場合、それは 混合偏微分 fはその点 (またはその集合) で C 2 クレローの定理 によって交換できます。
∂ 2 f ∂ x 私 ∂ x j = ∂ 2 f ∂ x j ∂ x 私 。 {\displaystyle {\frac {\partial ^{2}f}{\partial x_{i}\partial x_{j}}}={\frac {\partial ^{2}f}{\partial x_{j}\partial x_{i}}}.}
表記法 以下の例では、f を x 、y 、z の関数とします。
1階偏微分：
∂ f ∂ x = f x ′ = ∂ x f 。 {\displaystyle {\frac {\partial f}{\partial x}}=f'_{x}=\partial _{x}f.}
2階偏微分：
∂ 2 f ∂ x 2 = f x x 」 = ∂ x x f = ∂ x 2 f 。 {\displaystyle {\frac {\partial ^{2}f}{\partial x^{2}}}=f''_{xx}=\partial _{xx}f=\partial _{x}^{2}f.}
2次混合微分 ：
∂ 2 f ∂ y ∂ x = ∂ ∂ y （ ∂ f ∂ x ） = （ f x ′ ） y ′ = f x y 」 = ∂ y x f = ∂ y ∂ x f 。 {\displaystyle {\frac {\partial ^{2}f}{\partial y\,\partial x}}={\frac {\partial }{\partial y}}\left({\frac {\partial f}{\partial x}}\right)=(f'_{x})'_{y}=f''_{xy}=\partial _{yx}f=\partial _{y}\partial _{x}f.}
高階偏微分および混合微分：
∂ 私 + j + k f ∂ x 私 ∂ y j ∂ z k = f （ 私 、 j 、 k ） = ∂ x 私 ∂ y j ∂ z k f 。 {\displaystyle {\frac {\partial ^{i+j+k}f}{\partial x^{i}\partial y^{j}\partial z^{k}}}=f^{(i,j,k)}=\partial _{x}^{i}\partial _{y}^{j}\partial _{z}^{k}f.}
複数の変数の関数を扱う場合、これらの変数のいくつかは互いに関連している可能性があるため、曖昧さを避けるためにどの変数を定数として保持しているかを明示的に指定する必要がある場合があります。統計力学などの分野では、 y とz を定数として保持したfの x に関する偏微分は、しばしば次のように表されます。
（ ∂ f ∂ x ） y 、 z 。 {\displaystyle \left({\frac {\partial f}{\partial x}}\right)_{y,z}.}
慣例として、表記の明瞭さと簡潔さのために、偏微分記号（ライプニッツ記法）を使用する際には、関数引数を含めることで、偏微分関数 と特定の点における関数の値が 混同されます 。したがって、次のような式は
∂ f （ x 、 y 、 z ） ∂ x {\displaystyle {\frac {\partial f(x,y,z)}{\partial x}}}
は関数に使用されますが、
∂ f （ u 、 v 、 w ） ∂ u {\displaystyle {\frac {\partial f(u,v,w)}{\partial u}}}
関数の値として使用される可能性がある。（ x 、 y 、 z ） = （ u 、 v 、 w ） {\displaystyle (x,y,z)=(u,v,w)} 。 （ x 、 y 、 z ） = （ 17 、 u + v 、 v 2 ） {\displaystyle (x,y,z)=(17,u+v,v^{2})} 。
∂ f （ x 、 y 、 z ） ∂ x （ 17 、 u + v 、 v 2 ） {\displaystyle {\frac {\partial f(x,y,z)}{\partial x}}(17,u+v,v^{2})}
または
∂ f （ x 、 y 、 z ） ∂ x | （ x 、 y 、 z ） = （ 17 、 u + v 、 v 2 ） {\displaystyle \left.{\frac {\partial f(x,y,z)}{\partial x}}\right|_{(x,y,z)=(17,u+v,v^{2})}}
ライプニッツ記法を使用するため。したがって、これらの場合、オイラー微分演算子記法を使用する方が望ましい場合がある。D 私 {\displaystyle D_{i}} i 番目の変数に関する偏微分記号として表されます。例えば、次のように記述します。D 1 f （ 17 、 u + v 、 v 2 ） {\displaystyle D_{1}f(17,u+v,v^{2})} D 1 f {\displaystyle D_{1}f} 関数を表します。 [ 3 ]
高階偏微分の場合、偏微分（関数）はD 私 f {\displaystyle D_{i}f} j 番目の変数に関して、D j （ D 私 f ） = D 私 、 j f {\displaystyle D_{j}(D_{i}f)=D_{i,j}f} 、 D j ∘ D 私 = D 私 、 j {\displaystyle D_{j}\circ D_{i}=D_{i,j}} クレロー の定理 は、D 私 、 j = D j 、 私 {\displaystyle D_{i,j}=D_{j,i}} f に関する比較的緩やかな正則性条件が満たされている限り。
勾配 複数の変数を持つ関数の重要な例として、スカラー値関数が挙げられる。 f （ x 1 、 … 、 x n ） {\displaystyle f(x_{1},\ldots ,x_{n})} R n {\displaystyle \mathbb {R} ^{n}} R 2 {\displaystyle \mathbb {R} ^{2}} R 3 {\displaystyle \mathbb {R} ^{3}} f は偏微分を持つ。 ∂ f / ∂ x j {\displaystyle \partial f/\partial x_{j}} 各変数x j a では、これらの偏微分はベクトルを定義します。
∇ f （ 1 ） = （ ∂ f ∂ x 1 （ 1 ） 、 … 、 ∂ f ∂ x n （ 1 ） ） 。 {\displaystyle \nabla f(a)=\left({\frac {\partial f}{\partial x_{1}}}(a),\ldots ,{\frac {\partial f}{\partial x_{n}}}(a)\right).}
このベクトルは、点a におけるf の勾配 が ある領域内のすべての点で微分可能であれば、勾配はベクトル値関数∇ f a を ベクトル∇ f ( a ) に変換します。したがって、勾配はベクトル場 を生成します。
記号の誤用として よくあるのは、 3次元ユークリッド空間において、 デル演算子 （∇ ）を次のように定義することである。R 3 {\displaystyle \mathbb {R} ^{3}} 単位ベクトル を持つ私 ^ 、 j ^ 、 k ^ {\displaystyle {\hat {\mathbf {i} }},{\hat {\mathbf {j} }},{\hat {\mathbf {k} }}}
∇ = [ ∂ ∂ x ] 私 ^ + [ ∂ ∂ y ] j ^ + [ ∂ ∂ z ] k ^ {\displaystyle \nabla =\left[{\frac {\partial }{\partial x}}\right]{\hat {\mathbf {i} }}+\left[{\frac {\partial }{\partial y}}\right]{\hat {\mathbf {j} }}+\left[{\frac {\partial }{\partial z}}\right]{\hat {\mathbf {k} }}}
あるいは、より一般的には、n 次元ユークリッド空間の場合R n {\displaystyle \mathbb {R} ^{n}} x 1 、 … 、 x n {\displaystyle x_{1},\ldots ,x_{n}} e ^ 1 、 … 、 e ^ n {\displaystyle {\hat {\mathbf {e} }}_{1},\ldots ,{\hat {\mathbf {e} }}_{n}}
∇ = ∑ j = 1 n [ ∂ ∂ x j ] e ^ j = [ ∂ ∂ x 1 ] e ^ 1 + [ ∂ ∂ x 2 ] e ^ 2 + ⋯ + [ ∂ ∂ x n ] e ^ n {\displaystyle \nabla =\sum _{j=1}^{n}\left[{\frac {\partial }{\partial x_{j}}}\right]{\hat {\mathbf {e} }}_{j}=\left[{\frac {\partial }{\partial x_{1}}}\right]{\hat {\mathbf {e} }}_{1}+\left[{\frac {\partial }{\partial x_{2}}}\right]{\hat {\mathbf {e} }}_{2}+\dots +\left[{\frac {\partial }{\partial x_{n}}}\right]{\hat {\mathbf {e} }}_{n}}
例 f が 複数の変数の関数であると仮定します。たとえば、
z = f （ x 、 y ） = x 2 + x y + y 2 。 {\displaystyle z=f(x,y)=x^{2}+xy+y^{2}.}
z = x 2 + xy + y 2 のグラフ。
(1, 1) における偏微分で
y を 一定に保つ場合、対応する
接線は xz 平面に平行です。
上のグラフの一部を切り取ったもので、xz 平面上のy =1
この関数のグラフは、ユークリッド空間における曲面を定義します。この 曲面 上の すべての点には、無限個の接線が存在します。偏微分とは、これらの接線のうちの1つを選び、その 傾きを 求める操作です。通常、最も関心のある接線は、 xz 平面に平行な接線と、 yz 平面に平行な接線です（これらはそれぞれ、y またはxを 一定に保つことによって得られます）。
点 P (1, 1)で関数に接し、 xz 平面に平行な直線の傾きを求めるには、 y を 定数として扱います。グラフとこの平面は右側に示されています。下に、y = 1平面上での関数の形状を示します。yを 定数と仮定して方程式の導関数 を求めると、点( x , y )における f の傾きは次のようになります。
∂ z ∂ x = 2 x + y 。 {\displaystyle {\frac {\partial z}{\partial x}}=2x+y.}
したがって、 (1, 1) では、代入により、傾きは3 です。したがって、
∂ z ∂ x = 3 {\displaystyle {\frac {\partial z}{\partial x}}=3}
点(1, 1) において。つまり、グラフに示すように、点(1, 1) におけるzの x に関する偏微分は3 です。
関数f は、他の変数によって添え字付けられた1つの変数の関数の族として再解釈することができる。
f （ x 、 y ） = f y （ x ） = x 2 + x y + y 2 。 {\displaystyle f(x,y)=f_{y}(x)=x^{2}+xy+y^{2}.}
言い換えれば、yのすべての値は、1 つの変数 x の関数である関数f y [ 5 ]
f y （ x ） = x 2 + x y + y 2 。 {\displaystyle f_{y}(x)=x^{2}+xy+y^{2}.}
このセクションでは、添え字表記f y y の固定値に依存する関数を表します。
y の値、例えばa が選択されると、f ( x , y ) は、 xz 平面上に曲線x 2 + ax + a 2 f a
f 1 （ x ） = x 2 + 1 x + 1 2 。 {\displaystyle f_{a}(x)=x^{2}+ax+a^{2}.}
この式において、a は定数 であり変数 ではないため、f a は実変数x のみの関数となります。したがって、1 変数関数の導関数の定義が適用されます。
f 1 ′ （ x ） = 2 x + 1 。 {\displaystyle f_{a}'(x)=2x+a.}
上記の手順は、任意のaに対して実行できます。導関数をまとめて関数にすると、 f のx 方向の変化を表す関数が得られます。
∂ f ∂ x （ x 、 y ） = 2 x + y 。 {\displaystyle {\frac {\partial f}{\partial x}}(x,y)=2x+y.}
これは、 fの x に関する偏微分です。ここで「∂ 」は、 偏微分記号 ∂ 」は「パーシャル」と発音されることもあります。
高階偏微分 2次以上の偏導関数は、単変数関数の高階導関数と同様に定義されます。関数の場合f （ x 、 y 、 。 。 。 ） {\displaystyle f(x,y,...)} x に関する「独自の」2階偏微分は、単に偏微分の偏微分（両方ともx に関するもの）である。[ 6 ] ：
∂ 2 f ∂ x 2 ≡ ∂ ∂ f / ∂ x ∂ x ≡ ∂ f x ∂ x ≡ f x x 。 {\displaystyle {\frac {\partial ^{2}f}{\partial x^{2}}}\equiv \partial {\frac {\partial f/\partial x}{\partial x}}\equiv {\frac {\partial f_{x}}{\partial x}}\equiv f_{xx}.}
x とy に関する交差偏微分は、fを x に関して偏微分し、次にその結果をy に関して偏微分することによって得られます。
∂ 2 f ∂ y ∂ x ≡ ∂ ∂ f / ∂ x ∂ y ≡ ∂ f x ∂ y ≡ f x y 。 {\displaystyle {\frac {\partial ^{2}f}{\partial y\,\partial x}}\equiv \partial {\frac {\partial f/\partial x}{\partial y}}\equiv {\frac {\partial f_{x}}{\partial y}}\equiv f_{xy}.}
シュワルツの定理 によれば、2階微分が連続であれば、交差偏微分の式は、1階微分をどの変数に関して行い、2階微分をどの変数に関して行うかによって影響を受けない。つまり、
∂ 2 f ∂ x ∂ y = ∂ 2 f ∂ y ∂ x {\displaystyle {\frac {\partial ^{2}f}{\partial x\,\partial y}}={\frac {\partial ^{2}f}{\partial y\,\partial x}}}
または同等にf y x = f x y 。 {\displaystyle f_{yx}=f_{xy}.}
自己偏導関数と交差偏導関数は、最適化 問題における2次条件 で使用されるヘッセ行列 に現れる。高次の偏導関数は、逐次微分によって得られる。
アンチ誘導体類似体 偏微分には、通常の微分における原始関数 に相当する概念が存在する。偏微分が与えられれば、元の関数を部分的に復元することができる。
例を考えてみましょう
∂ z ∂ x = 2 x + y 。 {\displaystyle {\frac {\partial z}{\partial x}}=2x+y.}
いわゆる偏積分は、偏微分と同様に、x に関して（yを定数として）計算することができる。
z = ∫ ∂ z ∂ x d x = x 2 + x y + g （ y ） 。 {\displaystyle z=\int {\frac {\partial z}{\partial x}}\,dx=x^{2}+xy+g(y).}
ここで、積分定数は もはや定数ではなく、x を 除く元の関数のすべての変数の関数になります。その理由は、偏微分を行う際に他のすべての変数は定数として扱われるため、x を含まない関数は偏微分を行うと消滅してしまうからです。そのため、原始関数を求める際にはこの点を考慮する必要があります。これを最も一般的に表現する方法は、定数を他のすべての変数の未知の関数として表すことです。
したがって、関数の集合はx 2 + x y + g （ y ） {\displaystyle x^{2}+xy+g(y)} 、 gは任意の 1 引数関数であり、変数 x 、y に関する関数でx 偏微分を生成できた関数の集合全体を表します。2 x + y {\displaystyle 2x+y}
関数のすべての偏導関数が既知である場合（例えば、勾配が 既知である場合）、上記のプロセスによって原始関数を一致させることで、定数を除いて元の関数を再構築できます。ただし、1変数の場合とは異なり、すべての関数の集合が、単一の関数のすべての（1次）偏導関数の集合になるとは限りません。言い換えれば、すべてのベクトル場が保存的で あるとは限りません。
アプリケーション
幾何学 円錐の体積は高さと半径によって決まる 円錐 の体積Vは 、 円錐の高さ h と半径 r によって次の式で表されます。
V （ r 、 h ） = π r 2 h 3 。 {\displaystyle V(r,h)={\frac {\pi r^{2}h}{3}}.}
Vの r に関する偏微分は
∂ V ∂ r = 2 π r h 3 、 {\displaystyle {\frac {\partial V}{\partial r}}={\frac {2\pi rh}{3}},}
これは、円錐の半径を変化させ、高さを一定に保った場合の体積の変化率を表します。h に関する偏微分は次 のようになります。1 3 π r 2 {\textstyle {\frac {1}{3}}\pi r^{2}}
対照的に、r とh に関するV の全 微分は
d V d r = 2 π r h 3 ⏞ ∂ V ∂ r + π r 2 3 ⏞ ∂ V ∂ h d h d r 、 d V d h = π r 2 3 ⏞ ∂ V ∂ h + 2 π r h 3 ⏞ ∂ V ∂ r d r d h 。 {\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {dV}{dr}}&=\overbrace {\frac {2\pi rh}{3}} ^{\frac {\partial V}{\partial r}}+\overbrace {\frac {\pi r^{2}}{3}} ^{\frac {\partial V}{\partial h}}{\frac {dh}{dr}}\,,\\{\frac {dV}{dh}}&=\overbrace {\frac {\pi r^{2}}{3}} ^{\frac {\partial V}{\partial h}}+\overbrace {\frac {2\pi rh}{3}} ^{\frac {\partial V}{\partial r}}{\frac {dr}{dh}}\,.\end{aligned}}}
全微分と偏微分の違いは、偏微分では変数間の間接的な依存関係が排除される点にある。
（何らかの恣意的な理由で）円錐の比率が同じでなければならず、高さと半径が固定比率k である場合、
k = h r = d h d r 。 {\displaystyle k={\frac {h}{r}}={\frac {dh}{dr}}.}
これはr に関する全微分値を与える。
d V d r = 2 π r h 3 + π r 2 3 k 、 {\displaystyle {\frac {dV}{dr}}={\frac {2\pi rh}{3}}+{\frac {\pi r^{2}}{3}}k\,,}
これは以下のように簡略化できます
d V d r = k π r 2 、 {\displaystyle {\frac {dV}{dr}}=k\pi r^{2},}
同様に、 h に関する全微分は
d V d h = π r 2 。 {\displaystyle {\frac {dV}{dh}}=\pi r^{2}.}
体積の r とh に関する全微分は、これら2つの変数のスカラー関数として、勾配 ベクトルによって与えられる。
∇ V = （ ∂ V ∂ r 、 ∂ V ∂ h ） = （ 2 3 π r h 、 1 3 π r 2 ） 。 {\displaystyle \nabla V=\left({\frac {\partial V}{\partial r}},{\frac {\partial V}{\partial h}}\right)=\left({\frac {2}{3}}\pi rh,{\frac {1}{3}}\pi r^{2}\right).}
最適化 偏微分は、選択変数が複数ある微積分ベースの最適化 問題に必ず現れます。たとえば、経済学 では、企業は2種類の異なる生産物の量x とy の選択に関して、利益 π( x , y ) を最大化したいと考えるかもしれません。この最適化の一次条件は πx = 0 = πy です 、 2 つ の一 条件 は2 つの未知数に関する2つの方程式のシステム を 形成します。
偏微分は、ギブス・デュエム方程式のような熱力学方程式、 シュレーディンガー波動方程式 のような量子力学方程式、および数理物理学 の他の方程式に現れます。ここで偏微分において一定に保たれる変数は、次の例のように三成分混合系におけるギブスエネルギーの場合のモル分率 x i
G 2 ¯ = G + （ 1 − x 2 ） （ ∂ G ∂ x 2 ） x 1 x 3 {\displaystyle {\bar {G_{2}}}=G+(1-x_{2})\left({\frac {\partial G}{\partial x_{2}}}\right)_{\frac {x_{1}}{x_{3}}}}
ある成分のモル分率を、 他の成分のモル分率および二成分モル比の関数として表す。
x 1 = 1 − x 2 1 + x 3 x 1 x 3 = 1 − x 2 1 + x 1 x 3 {\textstyle {\begin{aligned}x_{1}&={\frac {1-x_{2}}{1+{\frac {x_{3}}{x_{1}}}}}\\x_{3}&={\frac {1-x_{2}}{1+{\frac {x_{1}}{x_{3}}}}}\end{aligned}}}
微分商は、上記のような一定の比率で形成することができる。
（ ∂ x 1 ∂ x 2 ） x 1 x 3 = − x 1 1 − x 2 （ ∂ x 3 ∂ x 2 ） x 1 x 3 = − x 3 1 − x 2 {\displaystyle {\begin{aligned}\left({\frac {\partial x_{1}}{\partial x_{2}}}\right)_{\frac {x_{1}}{x_{3}}}&=-{\frac {x_{1}}{1-x_{2}}}\\\left({\frac {\partial x_{3}}{\partial x_{2}}}\right)_{\frac {x_{1}}{x_{3}}}&=-{\frac {x_{3}}{1-x_{2}}}\end{aligned}}}
三成分系および多成分系におけるモル分率の比X、Y、Zは次のように表すことができます。
X = x 3 x 1 + x 3 Y = x 3 x 2 + x 3 Z = x 2 x 1 + x 2 {\displaystyle {\begin{aligned}X&={\frac {x_{3}}{x_{1}+x_{3}}}\\Y&={\frac {x_{3}}{x_{2}+x_{3}}}\\Z&={\frac {x_{2}}{x_{1}+x_{2}}}\end{aligned}}}
これは、次のような偏微分方程式 を解くために使用できます。
（ ∂ μ 2 ∂ n 1 ） n 2 、 n 3 = （ ∂ μ 1 ∂ n 2 ） n 1 、 n 3 {\displaystyle \left({\frac {\partial \mu _{2}}{\partial n_{1}}}\right)_{n_{2},n_{3}}=\left({\frac {\partial \mu _{1}}{\partial n_{2}}}\right)_{n_{1},n_{3}}}
この等式は、モル分率の微分商を片側に持つように変形することができる。
経済 偏微分は経済学 において重要な役割を果たしており、経済行動を記述するほとんどの関数は、その行動が複数の変数に依存することを前提としている。例えば、社会消費関数は、 消費財への支出額が所得と富の両方に依存すると記述するかもしれない。この場合、限界消費性向は、 消費関数を所得に関して偏微分したものである。
注記 ↑ カジョリ、フロリアン（1952）、『数学記号の歴史 』第2巻 （第3 版）、オープンコート出版、596 ↑ ミラー、ジェフ（日付不明）。 「微積分記号の初期の使用」 。オコナー、ジョン・J、 ロバートソン、エドモンド・F （編）。MacTutor 数学史アーカイブ 。 セント・アンドリュース大学。 2023年6月15日 取得 。 ↑ スピヴァク、M. (1965). 多様体上の微積分 . ニューヨーク: WA ベンジャミン. p. 44. ISBN 9780805390216 。↑ R. Wrede; MR Spiegel (2010). Advanced Calculus (3rd ed.). Schaum's Outline Series. ISBN 978-0-07-162366-7 。↑ これは、積空間 と 関数空間の 構成間の 随伴性 として表現することもできます。 ↑ Chiang, Alpha C. (1984). Fundamental Methods of Mathematical Economics (3rd ed.). McGraw-Hill. 
![{\displaystyle \nabla =\left[{\frac {\partial }{\partial x}}\right]{\hat {\mathbf {i} }}+\left[{\frac {\partial }{\partial y}}\right]{\hat {\mathbf {j} }}+\left[{\frac {\partial }{\partial z}}\right]{\hat {\mathbf {k} }}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b7c70b5bce4676294a2be68361d333b3f44ce478)
![{\displaystyle \nabla =\sum _{j=1}^{n}\left[{\frac {\partial }{\partial x_{j}}}\right]{\hat {\mathbf {e} }}_{j}=\left[{\frac {\partial }{\partial x_{1}}}\right]{\hat {\mathbf {e} }}_{1}+\left[{\frac {\partial }{\partial x_{2}}}\right]{\hat {\mathbf {e} }}_{2}+\dots +\left[{\frac {\partial }{\partial x_{n}}}\right]{\hat {\mathbf {e} }}_{n}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4449e767ec489248b3a285415bf722bd550932c7)
